Combinatory Analysis (Phoenix Edition) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Percy A. MacMahon

出品人:

页数:340

译者:

出版时间:2004-07-06

价格:USD 95.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780486495866

丛书系列:

图书标签:

• 组合分析
• 组合数学
• 排列组合
• 数学
• 高等数学
• 离散数学
• 数学教材
• Phoenix Edition
• 数学研究
• 算法

《离散结构与计数原理：从基础到前沿》 第一部分：奠基与核心概念 第一章：集合论的坚实地基 本书伊始，我们深入探索集合论的基础，这是所有离散数学分支的逻辑基石。我们不仅仅停留在集合的定义、子集和幂集等基本概念，更着重于集合运算在实际问题建模中的应用。重点章节将详述文氏图与容斥原理的严谨推导及其在复杂交集和并集计数中的强大效力。我们细致分析了笛卡尔积在定义关系和函数空间上的关键作用，并通过大量实例阐明有限集和无限集之间的可数性与不可数性问题，为后续的排列组合提供精确的数学语言。 第二章：排列组合的艺术与科学 本章是组合分析的核心所在。我们系统地介绍了排列（Permutations）的各种形式，包括无重复、有重复，以及在特定约束条件下的排列。随后，我们转向组合（Combinations），从最基础的选择问题，过渡到组合恒等式的证明与应用。我们花费大量篇幅讨论著名的二项式定理及其推广形式——多项式定理，并展示如何利用这些工具来展开表达式或求解概率分布中的系数。此外，本章还引入了卡特兰数（Catalan Numbers）及其在括号匹配、二叉树结构、山形线计数中的经典应用，强调了它们在描述递归结构中的重要地位。 第三章：鸽巢原理的简洁威力 鸽巢原理（Pigeonhole Principle）看似简单，却是解决“存在性”问题的利器。我们从最直观的陈述开始，逐步深入到推广的鸽巢原理。通过构造性的证明和反证法的巧妙结合，我们展示了如何用它来解决整数论、图论中的边界问题，以及在数据存储和索引设计中的理论基础。本章的案例研究侧重于如何识别和证明特定对象必然存在于某一类别中的情景。 第二章：数数法的精进：生成函数 第四章：指数的魔法：普通生成函数 生成函数（Generating Functions）是连接连续与离散世界的桥梁，也是处理复杂计数问题的“瑞士军刀”。本章聚焦于普通生成函数（Ordinary Generating Functions, OG Fs）。我们详述了如何通过幂级数来编码序列，如何通过代数运算（加法、乘法、微分、积分）来构造新序列。关键应用包括：使用OGFs来解决线性递推关系的封闭形式解、处理带限制的组合问题，以及利用其收敛性与生成函数所代表的序列之间的关系。我们尤其关注如何通过部分分式分解来提取序列的精确项。 第五章：有标签对象的计数：指数生成函数 当对象具有不同的身份（标签）时，普通生成函数不再适用。本章引入指数生成函数（Exponential Generating Functions, E G Fs），专门用于处理可区分元素的问题，例如排列、有序集合或带标签的结构。我们详细比较了OGFs和EGFs的应用场景差异，并通过对函数乘法、导数运算的分析，展示了如何有效地计算与排列和有标签结构相关的计数问题。本章还探讨了EGFs在连接集合论概念（如函数和映射）与组合结构上的理论深度。 第三部分：结构与限制的深入分析 第六章：递推关系的求解艺术 递推关系是描述序列之间相互依赖性的数学语言。本章系统地回顾和深化了求解线性齐次与非齐次递推关系的方法。我们不仅复习了使用特征方程的经典方法，更将生成函数方法作为一种统一的、更强大的工具来处理复杂的初始条件和非齐次项。我们还将讨论常系数线性递推关系在算法分析（如分治算法的时间复杂度）中的实际意义，展示如何通过组合结构来直观理解递推解。 第七章：容斥原理的深化与应用 在第一章中引入容斥原理后，本章将其提升到更抽象的层次。我们探讨了广义容斥原理，特别是与莫比乌斯反演公式（Möbius Inversion Formula）在偏序集上的应用。我们将容斥原理与图论中的连通性计数、集合覆盖问题以及在数论中求解欧拉 $phi$ 函数的推广形式紧密结合，展示了其在更广阔的数学领域中的通用性。 第八章：容错计数：容忍特定错误的组合 本章专注于解决“至多 $k$ 个满足条件”或“恰好 $k$ 个满足条件”等精确约束的计数问题。我们引入了容错计数（Counting with Allowances）的概念，并应用容斥原理的变体来计算满足特定数量限制的结构。这包括了对“错排问题”（Derangements）的深入分析，并将其推广到更一般的带有限制匹配或分配场景中。 第四部分：连接图论与代数 第九章：图的组合性质 本章将组合分析的工具应用于图论的结构计数。我们讨论了树（Trees）的计数问题，重点分析了普吕弗序列（Prufer Sequences）及其在无标签和有标签树计数中的核心作用。此外，我们还探讨了图的染色问题，引入了染色多项式的概念，解释了如何使用生成函数和容斥原理来推导特定图类（如完全图、轮图）的染色多项式，并阐明了其在计算可分性等问题上的意义。 第十章：有限域上的计数结构 在本书的收尾部分，我们将视野扩展到代数结构。本章探讨了在有限域（Finite Fields）上构造组合对象，特别是关于设计理论（Design Theory）的基础。我们将介绍平衡不完全区组设计（BIBDs）的基本参数和存在性条件。虽然不深入到高级代数几何，但本章旨在展示组合原理在编码理论、密码学等现代应用领域中，是如何作为代数结构分析的底层支持。 --- 本书旨在为读者提供一个严谨、全面且应用驱动的组合分析训练。内容涵盖了从基础计数到高级生成函数的深层技术，强调理论推导的严密性和在解决实际复杂问题时的工具性，确保读者能够构建起稳固的离散数学思维框架。

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