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出版者:Dover Publications

作者:Nora Hartsfield

出品人:

页数:272

译者:

出版时间:2003-12-29

价格:USD 18.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486432328

丛书系列:

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经典之作：代数图论导论 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面且深入的代数图论导论。代数图论作为数学的一个活跃分支，它巧妙地将抽象代数结构（如群论、环论和域论）与图的组合性质相结合，从而为解决复杂的图论问题提供了强有力的工具。本书结构严谨，内容详实，覆盖了从基础概念到前沿研究的多个重要领域。 第一部分：基础与预备知识 本部分为后续深入学习奠定坚实的数学基础。 第一章：图论基础回顾 虽然本书侧重于代数方法，但我们首先对图论的基本概念进行系统回顾，确保读者具备必要的术语和直观理解。内容包括图的定义、子图、同构性、连通性、路径与回路、特殊图类（如完全图、二分图、平面图）的性质。我们特别强调了矩阵表示法——邻接矩阵、关联矩阵和拉普拉斯矩阵，这些矩阵将成为后续代数分析的核心对象。 第二章：群论基础 代数图论的核心工具之一是群论。本章详细介绍了群的基本定义、子群、陪集、正规子群、商群、同态与同构定理。重点关注置换群（Symmetry Groups）和自同构群（Automorphism Groups）的概念，因为图的对称性是代数分析的关键切入点。此外，还引入了有限域上的群结构，为编码理论中的图结构打下基础。 第三章：线性代数与向量空间 图的代数分析主要依赖于线性代数。本章复习了向量空间、线性无关性、基和维数，重点讲解了矩阵的特征值、特征向量、迹、行列式以及矩阵的 Jordan 标准形。我们将重点探讨拉普拉斯矩阵的谱性质，如其零特征值与图的连通性之间的关系，以及其他特征值在图划分和谱聚类中的应用。 第二部分：图的矩阵表示与谱理论 这是代数图论的核心。本部分深入探讨了图的代数表示及其带来的深刻洞察。 第四章：拉普拉斯矩阵的深入分析 我们详细分析了无向图和有向图的拉普拉斯矩阵 ($L$) 及其组合拉普拉斯矩阵 ($Q$)。内容包括： 谱间隙 (Spectral Gap)： 解释了第二小特征值（代数连通性指标）如何量化图的连通性强度，以及它在网络分析中的重要性。 特征向量的组合意义： 探讨了特征向量分量与图的嵌入、划分之间的关系，特别是 Fiedler 向量的应用。 Kirchhoff’s 定理（矩阵树定理）： 使用行列式理论推导了计算生成树数量的精确公式，并讨论了其在概率论中的解释。 第五章：图的自同构群 图的对称性通过其自同构群 $Aut(G)$ 来度量。本章结合群论知识，系统研究了如何计算和描述图的自同构群。 动作与轨道： 解释了群在图的顶点集和边集上的作用，并利用轨道-稳定化子定理分析图的对称结构。 正则图与完全图： 对 $k$-正则图和完全图的自同构群进行具体分析，并引入了度量图同构的代数不变量。 第六章：代数图论中的编码与设计 本章将代数工具应用于组合设计和错误修正码。 强正则图 (SRG)： 定义了 SRG 及其参数，并展示了如何使用代数条件（如邻接矩阵的特征多项式）来判定是否存在特定类型的图。 平衡不完全区组设计 (BIBD)： 介绍了 BIBD 的结构，并展示了如何利用代数方法（如 Hadamard 矩阵和 Schur 方程）来构造和分析这些设计，这些设计在实验设计中至关重要。 第三部分：环与域上的代数图论 本部分将分析提升到更抽象的代数结构层面。 第七章：群环与图的表示 我们将图的顶点集 $V$ 上的函数空间视为一个向量空间，并定义了基于图结构上的群作用。 群环 (Group Algebras)： 探讨了图的群环 $mathbb{C}[G]$，其中 $G = Aut(G)$ 是图的自同构群。利用表示论（Representation Theory），我们可以通过分解群环来研究图的代数性质。 不可约表示与图的分类： 阐述了如何利用群的不可约表示来区分本质上不同的图，即使它们具有相同的邻接矩阵或拉普拉斯矩阵。 第八章：张量积与图的构造 本书探讨了通过代数构造来构建更大、更复杂的图的方法。 张量积与 Kronecker 积： 定义了图的张量积（Cartesian Product）和 Kronecker 积，并详细推导了这些新图的邻接矩阵、拉普拉斯矩阵的特征值与原图特征值的关系。这对于构建具有特定谱性质的图网络（如循环网络）至关重要。 第九章：代数方法在特定图类中的应用 本章聚焦于现代代数图论的几个重要应用领域： Cayley 图与 Cayley 色图： 利用群论中的生成元集合来构造图，并分析这些图的连通性、直径以及它们与基础群的结构之间的关系。 距离正则图 (Distance-Regular Graphs)： 这是一个高度对称的图类，其性质完全由其邻接矩阵的特征值和内积关系（Adjacency Algebra 结构）决定。本书将使用线性代数和多项式代数来完全刻画这类图。 结论与展望 本书最后总结了代数图论在网络科学、量子信息和组合优化中的潜在应用，并展望了代数几何与图论交叉研究的前沿方向。 本书的写作风格严谨而清晰，大量使用数学证明和清晰的图示例子，旨在培养读者运用高级代数工具分析组合对象的能力。它不仅适合高年级本科生和研究生，也是希望拓展研究视野的成熟研究人员的宝贵参考资料。

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