奇异摄动问题数值方法引论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:467

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出版时间:1992-6

价格:10.30元

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isbn号码:9787536616226

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• 奇异摄动
• 数值方法
• 微分方程
• 边界层
• 正则化
• 渐近展开
• 数值分析
• 科学计算
• 数学模型
• 工程应用

深入解析奇异摄动问题，开启数值计算新篇章 奇异摄动问题，作为数学和工程领域中一类极具挑战性的研究对象，以其内在的复杂性和广泛的应用前景，吸引着无数科研工作者。这类问题往往涉及不同尺度参数的相互作用，其解在某些区域表现出剧烈的变化，而在另一些区域则相对平滑，这种“奇异性”使得传统的数值方法常常难以获得准确且高效的解。本书旨在为读者提供一个系统、深入的视角，全面介绍奇异摄动问题的数值方法，帮助读者掌握分析和解决这类问题的关键技术。 为何关注奇异摄动问题？ 在自然科学和工程技术的诸多分支中，奇异摄动问题无处不在。在流体力学中，粘性流动的边界层问题、传热问题中的高梯度区域；在化学反应动力学中，快慢反应的耦合；在控制理论中，多时间尺度系统的分析；在固体力学中，材料的薄膜或细杆问题；甚至在金融建模中，高频交易和低频行为的交织，都可能归结为奇异摄动问题的范畴。这些问题的核心挑战在于，当一个或多个参数趋于零时，系统的行为会发生根本性的改变，常规的数值离散化方法在这种情况下往往会失效，产生严重的误差，甚至无法收敛。因此，开发和应用专门的数值方法，对于理解和预测这些系统的行为至关重要。 本书的核心内容概览 本书的编写，力求循序渐进，从基础概念出发，逐步深入到高级算法和实际应用。 第一部分：奇异摄动问题的数学基础与特性 在深入数值方法之前，建立扎实的理论基础是必不可少的。本部分将首先阐述奇异摄动问题的定义、分类及其基本数学性质。我们将详细讨论“奇异摄动”这一概念的含义，以及它如何影响方程解的结构。重点将放在分析具有小参数 $epsilon$ 的摄动项对原方程解的影响，特别是当 $epsilon o 0$ 时，解如何趋向于一个“退化”方程的解，同时又保留一些“边界层”或“过渡层”的结构。我们将介绍渐近分析的基本思想，例如匹配渐近展开法，这是一种强大的解析工具，可以帮助我们理解奇异摄动问题的解的渐近行为，从而为设计数值方法提供理论指导。此外，还会讨论一些典型的奇异摄动问题模型，如边值问题、初值问题和一些积分方程，并通过具体的例子展示其解的特性，例如层流边界层、激波等，使读者对奇异摄动问题的“奇异性”有直观的认识。 第二部分：经典数值方法的局限性与挑战 在全面介绍专门方法之前，辨析现有方法的不足至关重要。本部分将回顾一些常见的数值方法，如有限差分法、有限元法和谱方法，并分析它们在处理奇异摄动问题时遇到的困难。我们将具体解释为什么标准网格下的有限差分法在存在剧烈梯度区域（如边界层）时，会导致计算不稳定或精度显著下降。对于有限元法，我们将讨论网格划分的挑战，以及如何在边界层区域密集网格而其他区域稀疏网格，以捕捉高梯度信息，这本身就是一项复杂的工程。此外，还会探讨一些在标准方法中可能出现的数值误差，例如截断误差、舍入误差在奇异摄动问题中的累积效应，以及离散化可能导致的“振荡”或“过冲/欠冲”现象。通过这些分析，读者将清晰地认识到开发专门数值方法的必要性。 第三部分：基于网格适应与改进的数值方法 针对标准方法的局限性，本部分将重点介绍一系列旨在克服这些困难的数值技术。 适应性网格方法 (Adaptive Mesh Refinement, AMR)： 这是提高数值解精度的关键技术之一。我们将详细介绍 AMR 的基本原理，即如何根据误差估计自适应地在解的剧烈变化区域（如边界层）加密网格，而在平滑区域则保持稀疏网格，从而在保证整体计算效率的同时，精确捕捉到关键的解的特征。我们将讨论不同的误差估计策略，以及网格加密和粗化的算法。 奇点处理技术： 对于存在激波或尖点的奇异摄动问题，传统的网格方法往往难以处理。本部分将介绍一些专门处理这类问题的技术，例如“人工粘性”方法，它通过引入额外的耗散项来数值地模拟激波的形成和传播，从而避免数值不稳定。我们还会探讨具有高阶精度的迎风格式，这些格式能够有效地抑制数值振荡，使得高梯度区域的数值解更加稳定和准确。 多尺度方法： 考虑到奇异摄动问题本身就包含不同时间或空间尺度的信息，多尺度方法应运而生。本部分将介绍一些处理多尺度问题的数值框架，例如基于多网格的思想，在不同尺度的网格上进行计算，并实现不同尺度信息之间的耦合。我们将探讨如何设计能够同时处理慢变量和快变量的数值格式，以避免因尺度差异过大而导致的计算效率低下。 第四部分：特殊类型的奇异摄动问题的数值方法 除了通用方法，针对特定结构的奇异摄动问题，也发展了更为高效和精确的数值方法。 边界层问题： 针对包含强边界层的方程，我们将介绍一些专门的数值方法，例如“奇点摄动有限元法”或“指数修正有限差分法”。这些方法通过在方程的离散化过程中显式地考虑边界层的数学结构，从而能够有效地处理高梯度区域，即使在粗糙网格下也能获得高精度的解。我们将深入分析这些方法的理论依据和实现细节。 具有正则奇点的奇异摄动问题： 有些奇异摄动问题虽然存在小参数，但其解的奇异性可能以更温和的方式呈现，例如在某些点上导数趋于无穷。本部分将介绍处理这类问题的数值技术，例如使用特殊函数或插值技术来逼近这些奇异行为。 高维与非线性奇异摄动问题： 随着应用需求的不断增长，高维和非线性奇异摄动问题的求解变得越来越重要。我们将介绍一些用于处理这类复杂问题的数值策略，例如基于模型降阶的技术，通过保留系统的主要动态特性来降低问题的维度，从而提高计算效率。对于非线性问题，我们将讨论如何结合迭代方法和上述的网格适应或多尺度技术，以获得稳定且准确的数值解。 第五部分：数值方法的稳定性、收敛性与误差分析 任何数值方法的有效性都离不开对其稳定性和收敛性的严格分析。本部分将深入探讨这些关键的理论问题。我们将介绍分析奇异摄动问题数值格式稳定性的相关理论，例如von Neumann 稳定性分析，并讨论如何在存在小参数时进行误差分析。我们将重点研究在不同网格策略下，数值解的收敛阶，以及如何证明数值解在小参数趋于零时，能够一致地收敛于解析解的渐近展开。还将讨论如何估计数值误差，以及如何利用误差估计来指导网格自适应过程，确保数值解的可靠性。 第六部分：应用案例与实践指导 理论的学习最终需要回归到实际应用。本部分将通过多个来自不同领域的实际应用案例，展示本书介绍的数值方法是如何被应用于解决现实问题的。我们将选取一些典型的例子，例如： 流体力学中的边界层分析： 演示如何使用适应性网格方法和迎风格式来模拟高雷诺数流动的边界层行为，并分析其对整体流动特性的影响。 化学反应动力学中的多尺度模型： 展示如何利用多尺度方法来模拟同时包含快慢反应过程的化学系统，并分析不同尺度参数对反应路径的影响。 弹性力学中的薄膜稳定性问题： 阐述如何应用专门处理具有高梯度区域的数值方法来分析薄膜在特定载荷下的屈曲行为。 工程控制中的奇异摄动系统分析： 演示如何利用数值方法来分析具有快慢动态耦合的控制系统，并设计相应的控制器。 在每个案例中，我们不仅会展示数值方法的具体实现过程，还会深入解读计算结果的物理或工程意义，并提供实际操作中的一些技巧和注意事项。 本书的读者对象 本书适合于对奇异摄动问题感兴趣的研究生、博士后研究人员、以及在相关领域工作的工程师和科研人员。具备一定的数值分析和微分方程基础知识的读者将更容易理解书中的内容。本书也可以作为高等院校相关专业（如计算数学、应用数学、力学、化学工程、航空航天工程等）的高年级本科生或研究生的教材。 展望 奇异摄动问题的数值方法是一个充满活力且不断发展的研究领域。本书希望通过系统性的介绍，能够激发读者在这一领域的进一步探索和创新。随着计算能力的不断提升和新算法的不断涌现，我们有理由相信，未来将有更多高效、精确的数值方法被开发出来，为解决更复杂、更具挑战性的奇异摄动问题提供有力的支持。本书的出版，旨在为这一进程贡献一份力量，为相关领域的学术研究和工程应用提供一份坚实的参考。

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