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出版者:

作者:Shapira, Y.

出品人:

页数:248

译者:

出版时间:

价格:$ 190.97

装帧:

isbn号码:9781402074851

丛书系列:

图书标签:

• multi
• grid
• Multigrid Method
• Matrix Computation
• Numerical Analysis
• Scientific Computing
• Partial Differential Equations
• Linear Algebra
• Algorithms
• Mathematics
• Computational Mathematics
• Engineering Mathematics

精选计算方法与数值分析文库 计算物理中的数值逼近与迭代方法 本书是计算物理领域内一套深度聚焦于核心数值算法与应用实践的专著集合中的一册。本卷集中探讨了在处理复杂物理系统和工程问题时，如何高效、准确地利用现代数值方法进行求解。全书结构严谨，内容涵盖了从基础理论推导到前沿算法实现的完整路径，旨在为研究生、科研人员以及需要深入理解计算工具的工程师提供一本兼具理论深度和工程实用性的参考手册。 第一部分：连续方程的离散化基础 本部分首先为后续高级方法奠定坚实的数学和数值基础。我们详尽回顾了偏微分方程（PDEs）在计算域上进行离散化的核心技术。 有限差分法（FDM）的精度与稳定性分析： 深入分析了不同阶数的中心差分、前向差分和后向差分格式，特别关注了在非均匀网格下，如何通过高阶差分逼近提高计算精度。稳定性分析部分，着重探讨了 CFL 条件在双曲型和抛物型方程求解中的约束作用，并通过冯·诺依曼稳定性分析方法，揭示了时间步长选择对解收敛性的关键影响。 有限体积法（FVM）在守恒律问题中的应用： 针对流体力学和传热学中的守恒型方程，详细阐述了 FVM 的构造原理，特别是通量计算的重要性。讨论了黎曼求解器（如 Roe, HLLC）在构建界面通量计算中的作用，以及如何通过限制器（Limiters）技术在保持高分辨率的同时避免数值振荡，实现激波的精确捕捉。 有限元方法（FEM）的理论框架： 本章引入了变分原理和弱形式，解释了基函数（形函数）的选择对解的连续性和精度是如何产生影响的。通过对拉格朗日、二次形和立方形基函数的讨论，读者将能理解为什么 FEM 在处理复杂几何边界和材料不连续性时具有天然优势。重点讲解了在结构力学和电磁场分析中，如何构建刚度矩阵和载荷向量。 第二部分：线性代数系统的求解器 绝大多数科学计算问题最终归结为求解大型、稀疏线性方程组 $Ax=b$。本部分系统地梳理了直接法和迭代法的优势与局限。 直接求解法的高效实现： 虽然对于非常大的系统，直接法在内存占用上不占优势，但其精确性在基准测试和中小规模问题中不可替代。我们详细分析了 LU 分解（包括 Doolittle 和 Crout 算法）、Cholesky 分解（针对对称正定系统）的计算复杂度，并讨论了带宽化和稀疏矩阵存储格式（如 CSR, CSC）对内存和计算效率的优化作用。 经典迭代法及其收敛性分析： 对雅可比（Jacobi）法和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）法进行了深入的代数收敛性分析，并介绍了松弛（SOR）技术，探讨了最佳松弛参数 $omega$ 的选取原则。 Krylov 子空间方法的深度剖析： 这是求解大规模稀疏系统的核心。我们对共轭梯度法（CG）进行了详尽的推导和分析，特别是它仅适用于对称正定系统。随后，扩展到非对称系统，详细介绍了双共轭梯度法（BiCG）及其变种如 BiCGSTAB 和 QMR，重点讲解了残差向量的构建和收敛加速的机制。 第三部分：预处理技术与加速策略 迭代法的效率往往取决于预处理器的质量。本部分专门讨论了如何通过巧妙的预处理来显著加速收敛速度，尤其在涉及强对流项或各向异性问题时。 代数预处理技术： 重点介绍了不完全分解预处理器，包括 ILU（不完全 LU 分解）和 ICC（不完全 Cholesky 分解）系列。我们不仅展示了如何构造这些分解，还分析了在不同层次的填充（L/U 矩阵的非零元素数量）与收敛速度之间的权衡关系。 几何多尺度方法： 引入了处理网格依赖性问题的创新思路。阐述了区域分解法（如 Schwarz 类型的交替方向隐式方法 ADI）如何通过在不同尺度上协调求解过程来提高计算效率。 第四部分：非线性问题的求解 许多物理定律，如流体动力学中的纳维-斯托克斯方程或材料的本构关系，都是非线性的。 牛顿法及其变体： 系统地介绍了牛顿迭代法在线性化非线性方程组中的应用，包括如何构建雅可比矩阵。讨论了欠松弛牛顿法（Under-Relaxed Newton Method）在处理病态问题时的稳定性。 拟牛顿方法： 针对计算雅可比矩阵成本高昂的情况，本章详细介绍了 BFGS 和 DFP 等拟牛顿方法，它们通过历史信息近似构建Hessian矩阵的逆，从而避免了显式矩阵求逆的开销。 附录：高性能计算与并行化基础 本附录简要概述了在现代多核处理器和分布式内存架构上实现上述算法并行化的基础知识，包括数据划分策略和 MPI/OpenMP 的基本编程模型在数值迭代中的应用场景。 本书的特点在于其对算法细节的深入挖掘，拒绝停留在表面公式的罗列，力求让读者理解每一步数学操作背后的计算意义和性能影响。通过丰富的理论证明和实例分析，本书为读者搭建了一座从经典数值分析到现代高效求解范式之间的坚实桥梁。

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这部书的深度和广度着实令人印象深刻，它不仅仅是一本技术手册，更像是一次对数值计算核心思想的哲学探讨。从内容上看，作者似乎对偏微分方程的数值解法有着近乎偏执的钻研精神，书中对离散化误差的分析细致入微，每一个数学推导都像是精心雕琢的艺术品。我尤其欣赏其中对算子谱理论的引入，这使得原本抽象的迭代方法有了一个坚实的理论支撑。读这本书的过程，就像是攀登一座信息密集的山峰，每爬升一层，视野就开阔一分，但随之而来的挑战也更严峻。它绝不是为初学者准备的“快速入门指南”，它要求读者对线性代数和泛函分析有扎实的背景知识，否则很容易在复杂的符号和冗长的证明中迷失方向。对于那些致力于高性能计算和复杂系统建模的科研人员而言，这本书无疑是案头必备的参考书，它提供的视角和工具箱是其他同类著作难以比拟的。如果说有什么遗憾，或许是图示略显单调，如果能多一些直观的几何解释，对于理解高维问题的收敛性会更有帮助。

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这本书给我的感觉是，它是一代宗师级别的学者，将毕生的心血倾注其中。它的价值不在于讲解多少种算法，而在于构建了一个理解数值稳定性和效率的思维框架。书中对算子性质的探讨，很多细节之处，即便是有经验的工程师也会感到豁然开朗。例如，在处理边界条件耦合的部分，作者提出了一种优雅的处理方式，极大地简化了代码的复杂度，同时保证了精度的提升。虽然排版略显传统，有些章节的数学符号密集得让人望而生畏，但一旦你突破了初期的阅读障碍，你会发现其内容的精妙之处。这本书更像是为那些立志于在计算科学领域做出原创性贡献的人准备的“内功心法”，它不教授花哨的招式，而是修炼内力，一旦内力深厚，任何招式都能信手拈来，且威力无穷。对于需要深入理解数值方法的理论基础的研究人员来说，这本书是无价之宝。

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我是在一个复杂流体力学模拟项目的压力下开始阅读这本书的，当时我们急需一个更稳定、收敛更快的求解器。这本书提供的思路，尤其是关于非线性迭代中预处理器的选择，为我们指明了方向。它没有直接给出“即插即用”的解决方案，而是通过透彻的原理分析，教会我们如何根据具体问题的特性，设计出最适合的预处理方案。书中对离散化误差源的分类清晰明了，这在排查数值不稳定问题时特别有用。相比于市面上那些堆砌了大量案例但缺乏理论深度的书籍，这本书的价值在于其普适性和基础性。它教会你的是“为什么”和“如何从零开始构建”，而不是简单的“怎么用现成的工具”。这本书的结构安排也很有章法，从基础的单尺度方法逐步过渡到多尺度方法的复杂构造，层次分明，逻辑链条完整无缺。

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这本书的语言风格非常严谨，几乎没有任何口语化的表达，每一个句子都承载着明确的数学含义。我花了很长时间才适应这种高密度的信息输入方式。其中关于并行化策略的章节，展现了作者对现代计算架构的深刻洞察力，它不仅讨论了理论上的并行分解，还涉及到了实际的内存访问模式和通信开销优化，这使得本书的适用范围从纯粹的理论研究扩展到了实际的超级计算机应用。特别是对稀疏矩阵存储格式的讨论，细致到了位操作层面，这对于追求极致效率的程序员来说，简直是宝藏。不过，这种深度也带来了一个副作用——可读性略逊一筹。如果作者能在关键的定理和引理后面，用几句精炼的白话总结一下其物理或几何意义，可能会让那些在数学海洋中挣扎的读者感觉更轻松一些。总的来说，这是一本需要高度专注力才能消化的学术巨著。

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老实说，这本书的阅读体验是相当“硬核”的。它聚焦于一个非常细分的领域，并且深入挖掘到了底层实现逻辑。我尝试着跟着书中的章节，去复现一些关键的算法，发现作者在描述算法的每一步时都力求精确无误，这对于编写健壮的求解器至关重要。书中关于网格生成和自适应策略的讨论，体现了作者对实际工程问题的深刻理解，而不是仅仅停留在理论层面。比如，它详细阐述了不同网格划分策略对计算稳定性和精度的影响，这种将理论与实践紧密结合的方式，是这本书最大的价值所在。然而，对于那些期望快速了解“最新进展”的读者来说，这本书可能略显“老派”。它的重点在于构建一个坚实、可靠的基础框架，而不是追逐那些昙花一现的新鲜概念。这本书更像是一部经典老电影，内容朴实，但经得起时间的考验，每一次重温都能发现新的细节和妙处。

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