iterative methods for sparse linear systems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9780534947767

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• Iterative Methods
• Sparse Linear Systems
• Numerical Analysis
• Scientific Computing
• Linear Algebra
• Mathematics
• Algorithms
• Computational Mathematics
• Engineering
• Applied Mathematics

经典数值分析：线性代数方程组的求解与优化 内容概要： 本书深入探讨了线性代数方程组 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 的数值求解方法，侧重于理论基础的严谨性与实际应用的可操作性。全书结构清晰，从最基本的直接法（如高斯消元法和LU分解）出发，系统地过渡到更为复杂且高效的迭代方法。内容涵盖了对大型稀疏和稠密系统的处理策略，重点分析了收敛性、稳定性和计算效率。此外，本书还对矩阵分解技术、特征值问题的数值算法进行了详尽的阐述，并结合现代计算环境下的并行化策略进行了讨论。 第一部分：基础与直接求解方法 本书的开篇部分旨在为读者奠定坚实的数学和计算基础。我们首先回顾了线性代数中关于矩阵理论、范数、秩和条件数的关键概念。理解这些概念对于评估数值方法的稳定性和准确性至关重要。 第1章：线性代数基础与误差分析 详细介绍了向量空间、矩阵运算的性质。重点讨论了浮点运算的特性，如何量化和控制计算过程中的舍入误差。条件数 $kappa(mathbf{A})$ 的引入，使读者能够量化系统对输入扰动的敏感性，这是选择合适求解策略的首要考量。 第2章：直接求解法：高斯消元与分解 深入讲解了高斯消元法及其在求解一般稠密系统中的应用。详尽分析了其 $O(n^3)$ 的计算复杂度和对内存的需求。在此基础上，详细推导并讨论了主要的矩阵分解技术，包括： LU 分解： 如何通过初等矩阵实现分解，以及它在求解多个右端项问题时的效率优势。 Cholesky 分解： 针对对称正定系统（SPD）的特殊且高效的分解方法，强调了其稳定性和计算量减半的优势。 QR 分解： 通过 Gram-Schmidt 正交化或 Householder 变换实现，不仅可用于求解线性最小二乘问题，也是判断矩阵秩和求解特征值问题的关键工具。 本章还探讨了为提高数值稳定性而采用的行或列主元选择策略（Pivoting），以及这些策略对计算成本的影响。 第二部分：系统预处理与优化技术 直接法在处理超大型系统时，计算成本和内存消耗往往是不可接受的。本部分转向如何通过有效的预处理和结构化方法来优化计算过程，特别是针对具有特定结构的大型矩阵。 第3章：矩阵的结构化与稀疏性 专门讨论了稀疏矩阵的存储格式，如坐标表（COO）、压缩行存（CSR）和压缩列存（CSC）。详细分析了如何利用这些格式来优化稀疏矩阵的乘法运算，从而将计算复杂度从与 $n^2$ 或 $n^3$ 相关的量级降低到与非零元个数 $nnz$ 相关的量级。 第4章：最小二乘问题的数值解法 线性最小二乘问题 $min_{mathbf{x}} |mathbf{Ax} - mathbf{b}|_2$ 在数据拟合和回归分析中极为常见。本章系统比较了基于 QR 分解、SVD 分解以及正规方程组（Normal Equations）的解法，分析了它们在处理病态数据时的优劣。特别强调了秩亏缺情况下的处理方法。 第三部分：特征值问题的数值算法 特征值分析是科学计算和工程分析的核心。本部分聚焦于如何高效、准确地计算矩阵的特征值和特征向量。 第5章：相似变换与特征值分解 讨论了矩阵相似变换的基本原理，即保持特征值不变的变换。重点介绍了 Hessenberg 形式的构造，这是许多高效特征值算法（如 QR 算法）的预处理步骤。 第6章：迭代法求解特征值问题 系统阐述了求解最大特征值和最小特征值的经典迭代方法： 幂法（Power Iteration）： 用于寻找最大特征值及其对应向量，分析了其收敛速度及其局限性。 反幂法（Inverse Iteration）： 结合了矩阵求逆（或求解线性系统）的能力，用于逼近特定目标值附近的特征值。 Rayleigh 商迭代： 一种二次收敛的精妙方法，展示了如何通过自适应调整目标值来高效定位特征值。 Lanczos 算法与 Arnoldi 算法： 这是求解大型稀疏对称和非对称矩阵特征值问题的基石，详细解释了如何构建极小化的 Krylov 子空间，以及如何利用三对角化（Lanczos）或 Hessenberg 化（Arnoldi）来快速提取特征信息。 第四部分：现代计算环境与高级话题 本部分将理论知识与实际高性能计算环境相结合，探讨了并行计算在矩阵求解中的应用。 第7章：并行化策略与高性能计算 探讨了如何将直接法和迭代法适应于多核处理器和分布式内存系统。讨论了矩阵乘法、LU分解和Krylov子空间算法的并行化模型，例如数据划分策略（Data Partitioning）和通信开销的最小化。 第8章：矩阵的分解与重构 讨论了奇异值分解（SVD）的数值计算，强调了其在数据降维、图像处理和求解近似逆问题中的重要性。同时，也涉及了如何利用矩阵的低秩近似来简化大型模型。 总结与展望 全书的脉络强调从精确、基于分解的求解方法，到针对大规模问题的、基于迭代和子空间投影的近似求解方法。本书旨在培养读者在面对不同规模、不同结构线性系统时，具备选择、实现和分析最优数值策略的综合能力。其内容深度足以支撑高级本科生和研究生的课程需求，同时其对实际计算效率的关注，也为工程应用人员提供了宝贵的参考。

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从内容深度来看，这本书似乎停滞在了几十年前的技术水平。书中提到的“前沿”算法，放在今天看来已经是基础中的基础，很多更有效、更现代的预处理技术和并行化策略完全没有涉及。章节的组织也显得有些过时，更像是对传统数值分析教材的简单重述，缺乏对当前研究热点的关注。对于那些希望了解如何应对大规模、高维稀疏问题的读者，这本书提供的工具箱显得过于简陋。很多关于矩阵分解、特征值计算的讨论，都停留在理论证明层面，鲜有关于如何用现代计算工具（如GPU加速或分布式计算）进行优化的实例。读完之后，我感觉我掌握了一些经典的理论框架，但对于解决当下的实际工程问题，依然感到力不从心。

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这本书的排版和装帧实在是一言难尽，拿到手上就感觉像是上世纪八十年代的教科书。纸张泛黄，字体大小不一，有些地方的图表模糊不清，根本看不出线条的走势。阅读体验非常糟糕，尤其是在处理那些复杂的数学公式时，经常需要猜测作者到底想表达什么。这本书的结构也显得非常松散，章节之间的过渡生硬，仿佛是把几篇不相关的讲义拼凑在了一起。作者在介绍新概念时，往往没有提供足够的背景知识铺垫，对于初学者来说，理解起来非常吃力。例如，在讨论某种特定算法的收敛性时，突然跳跃到了一个高深的数学定理，却没有给出必要的引用或解释，让人感觉像是被直接扔进了深水区。

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这本书的参考文献列表也透露出一种陈旧的气息，大部分引用都集中在二十世纪末期，对于近十年来的重要进展几乎只字未提。这直接影响了读者对该领域最新发展趋势的把握。此外，书中关于软件实现的讨论也极其笼统，只是泛泛地提到了“使用高效的稀疏矩阵存储格式”，但具体到每种格式的优缺点对比，或者不同编程语言下的具体实现技巧，则完全缺失。对于希望将理论直接转化为代码的工程师来说，这本书几乎没有提供任何可操作的指导。它更像是一部纯粹的理论专著，而非一本结合了理论与实践的参考书，让人在合上书本时，更多的是一种理论上的满足感，而非工程上的获得感。

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我尝试着跟随书中的例子进行演算，但发现许多步骤都被巧妙地“省略”了。作者似乎默认读者已经对这些基础知识了如指掌，对于那些需要详细推导才能理解的地方，他只是用一句“显然地”或者“通过简单的代换”带过了。这对于希望通过实践来巩固理论的学习者来说，无疑是一种打击。更令人沮丧的是，书中的习题设计似乎也缺乏系统性，有些题目过于简单，像是在重复课本上的定义，而有些则难度陡增，需要结合书本以外的其他资料才能勉强作答。我花了大量时间去验证书中的某个数值模拟结果，结果发现计算过程中引用的某个参数在书中根本没有明确给出，这让我怀疑作者是否真的在每一个例子上都进行了细致的校对。

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这本书的语言风格极其晦涩难懂，充满了陈旧的数学术语，仿佛作者是在用一种只有他自己能理解的“黑话”进行交流。很多句子结构复杂，主语、谓语、宾语之间关系不清，需要反复阅读才能勉强抓住其核心意思。作者在解释算法的直觉来源时，总是倾向于使用最抽象的数学语言，而不是用更直观的方式来描述其物理或工程意义。例如，当介绍一个迭代法的稳定性条件时，作者只是给出了一个复杂的行列式不等式，却完全没有提及这个条件在实际计算中意味着什么，或者说，为什么这个条件很重要。这使得我对算法的“为什么”的理解停留在表面，而无法深入其内在机理。

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