数值计算方法习题及习题解答 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:机械工业出版社

作者:马东升

出品人:

页数:203

译者:

出版时间:2006-8

价格:19.0

装帧:平装

isbn号码:9787111193074

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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好的，这是一份图书简介，聚焦于计算数学领域中与“数值计算方法”相关的其他重要分支和主题，同时避免提及您指定的习题解答集的内容。 --- 深入探索计算科学的基石：《矩阵分析与特征值计算专题研究》 本书导读： 在现代科学与工程的宏大图景中，计算方法是连接理论模型与实际问题的桥梁。本书聚焦于计算数学中至关重要但常被视为独立学科的矩阵理论与特征值问题。我们不再满足于对数值方法本身的介绍，而是深入剖析驱动这些方法的数学内核——矩阵的结构、性质及其在计算中的敏感性。 本书的编写旨在为读者提供一个扎实的理论基础，并衔接前沿的计算技术。它不仅仅是一本工具书，更是一部引导读者理解“为什么”某种方法有效，以及“在什么条件下”它依然有效的方法论著作。 第一部分：矩阵理论的深度剖析 矩阵，作为线性代数最核心的载体，其性质决定了计算的稳定性和效率。本卷首先回顾了基础的矩阵分解技术（如LU、Cholesky分解），但很快便将重点转向更具挑战性的领域。 1.1 矩阵分解的理论极限与数值稳定性： 我们详尽讨论了矩阵分解在病态条件下的表现。重点分析了置换矩阵在保证数值稳定过程中的关键作用，并对比了经典的高斯消元法与需要旋转的Householder变换以及Givens旋转在实际计算中的差异。特别地，我们引入了矩阵的秩的概念，探讨在存在浮点误差时，如何定义和计算“有效秩”，这对于处理实际测量数据至关重要。 1.2 范数理论与误差传播分析： 数值计算的生命线在于误差控制。本书系统阐述了向量范数与矩阵范数的定义及其内在联系。我们深入分析了条件数的构造原理，它不再仅仅是一个数字，而是衡量线性系统求解难度和输入扰动对解的影响程度的物理量。通过具体的例子，展示了如何利用范数理论来界定和估计前向误差与后向误差，从而为设计鲁棒的算法奠定理论基础。 1.3 张量代数与高阶结构： 鉴于高维数据在数据科学和物理模拟中的爆炸式增长，本书拓展到张量的范畴。我们讨论了张量分解的核心思想，包括CP分解（CANDECOMP/PARAFAC）和Tucker分解。这些分解技术如何有效地压缩高维信息，并在机器学习和信号处理中实现高效的低秩近似，是本部分探讨的重点。 第二部分：特征值问题的核心计算范式 特征值问题是许多动力学、振动分析和量子力学计算的根本。本书将传统特征值方法提升至现代计算的视角。 2.1 密集矩阵的迭代求解策略： 对于大规模、稠密的矩阵，直接求解方法（如QR算法）的计算复杂度过高。本书详细介绍和比较了主要的迭代法。 幂迭代法与反幂迭代法： 阐释了如何通过迭代逼近最大或最小特征值及其对应的特征向量，并讨论了如何通过移位策略来加速收敛到特定特征值。 子空间迭代法与Lanczos算法的理论基础： 我们将叙述如何构建优化的迭代子空间。重点分析了Lanczos迭代的独特优势——它能够在Arnoldi迭代的基础上，自然地将问题投影到一个由少量向量跨越的Krylov子空间中，这为稀疏矩阵的求解奠定了基础。 2.2 稀疏矩阵的特征值计算： 现实世界中的工程问题（如有限元分析）产生的矩阵往往是巨大且稀疏的。处理这类问题需要专门的工具。 Arnoldi/Lanczos方法的深入应用： 详细阐述了这些方法如何与预处理技术结合使用。预处理器的目标是改善特征值问题的条件性，从而加速迭代收敛。 雅可比-Davidson方法： 介绍了一种更高级的迭代方法，它通过在当前近似特征向量周围寻找修正向量，以实现更快的局部收敛，特别适用于求解少数几个期望的特征值。 2.3 广义特征值问题与稳定性分析： 许多物理系统（如结构动力学）涉及广义特征值问题（$Ax = lambda Bx$）。本书分析了在这种情况下，矩阵$B$的奇异性或病态性如何影响解的稳定性。我们讨论了如何通过Schur分解的推广——QZ算法来稳定地求解这类问题，避免显式地计算矩阵的逆。 第三部分：优化与计算几何中的矩阵方法 本部分将矩阵理论的应用扩展到更广阔的计算领域，特别是优化和几何计算。 3.1 优化算法中的矩阵结构： 在非线性优化中，Hessian矩阵的性质至关重要。本书讨论了如何利用Hessian矩阵的正定性来判断局部极值点。详细介绍了拟牛顿法（Quasi-Newton Methods），如BFGS和DFP算法，它们通过迭代更新近似的Hessian矩阵的逆（或因子），避免了昂贵的二阶导数计算，展示了矩阵方法在提高优化效率方面的能力。 3.2 奇异值分解（SVD）在数据还原中的作用： 奇异值分解是计算数学中最强大的分解工具之一。本书不将其视为简单的线性代数技巧，而是作为一种信息压缩和噪声抑制的机制来介绍。我们详细分析了SVD在主成分分析（PCA）中的核心地位，以及如何利用截断SVD来计算矩阵的最佳低秩近似，这在图像处理和推荐系统中具有不可替代的价值。 结语： 《矩阵分析与特征值计算专题研究》旨在弥合理论严谨性与实际计算需求之间的鸿沟。通过对矩阵结构、特征值计算范式以及高维分析工具的深入探讨，读者将能够更加自信地驾驭复杂计算模型，并能够为特定的工程和科学挑战选择或设计出最优的数值策略。本书适合于高年级本科生、研究生以及需要深入理解计算内核的工程师和研究人员。

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将冗杂的数学公式简单化，将难以理解的抽象公式具体化，大概就是这本书最大的亮点

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完全是买来抄答案的~

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完全是买来抄答案的~

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完全是买来抄答案的~

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