微分方程理论及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:国防工业出版社

作者:时宝

出品人:

页数:404

译者:

出版时间:2005-8

价格:38.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787118040272

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微分方程
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 数学分析
• 高等数学
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• 工程数学
• 数学建模
• 科学计算

拓扑学导论：几何与结构的桥梁 本书导读： 本书旨在为读者提供一个全面而深入的拓扑学入门体验，侧重于几何直觉的培养与数学严谨性的结合。拓扑学，作为现代数学中连接代数、几何与分析的桥梁，其核心在于研究空间在连续形变下保持不变的性质。它超越了欧几里得几何的限制，将研究对象从刚性图形扩展到可以拉伸、扭曲而不产生洞或撕裂的形变。 第一部分：基础概念与度量空间 本书首先从集合论的基础概念入手，为后续的拓扑空间讨论奠定坚实的基础。我们将详细阐述集合、映射、关系等基本工具，并引入良序原理和选择公理在构建拓扑结构中的潜在意义。 核心内容聚焦于度量空间。度量空间是拓扑学最直观的切入点，它允许我们量化点之间的“距离”。我们将深入探讨： 1. 度量（Metric）的定义与性质： 探讨三角不等式、对称性、非负性等公理的几何内涵。 2. 开集、闭集与邻域： 在度量空间中，邻域的概念是定义收敛性和连续性的关键。我们将详细分析开球和闭球的结构，以及它们如何生成拓扑结构。 3. 收敛性、聚点与极限： 严格定义序列的收敛性，并将其与点集的聚点概念联系起来。 4. 完备性（Completeness）： 柯西序列的概念是分析学中解决许多存在性问题的核心。我们将用大量的例子（如实数集 $mathbb{R}$、巴拿赫空间）来说明完备性的重要性，并介绍巴拿赫不动点定理在微分方程解的存在性证明中的初步应用（侧重于度量空间结构而非方程本身）。 5. 紧致性（Compactness）： 紧致性是度量空间中最强大的性质之一，它等价于“开球覆盖的有限子覆盖”性质。我们将展示紧致性在实分析中的核心地位，例如闭区间上的连续函数达到最大值和最小值。 第二部分：拓扑空间 在建立对度量空间的直观理解后，本书将抽象化定义拓扑空间。这是拓扑学的本质所在，它脱离了对“距离”的依赖，只保留了“接近性”的概念。 1. 拓扑的定义： 以开集族的形式定义拓扑结构，并考察不同拓扑（如不可分拓扑、离散拓扑、子空间拓扑）的构造方式。 2. 基（Basis）与可数性： 引入拓扑基的概念，这使得描述复杂的拓扑结构变得更加简洁高效。特别关注可数基，以及它与第一可数性和第二可数性的联系。 3. 连续性： 在拓扑空间中，连续函数被定义为原像下保持开集的函数。我们将对比其与度量空间中 $epsilon-delta$ 定义的等价性。 4. 分离公理（Separation Axioms）： 这是衡量空间“分离程度”的关键。从 $T_0$ 到 豪斯多夫空间（Hausdorff, $T_2$），再到正则（$T_3$）和正规（$T_4$）空间，每一级分离公理都为后续的理论发展提供了必要的结构保障。 第三部分：构造性拓扑工具 本部分聚焦于如何从已有的拓扑空间构造出新的拓扑空间，以及如何研究空间之间的连续映射。 1. 子空间拓扑与商空间（Quotient Spaces）： 子空间拓扑： 考察一个空间如何继承其“母空间”的拓扑性质。 商空间： 介绍等价关系如何“粘合”空间中的点，形成新的拓扑结构。这将通过识别空间（如将圆周 $S^1$ 视为 $[0, 1] / sim$）来直观说明。 2. 积空间（Product Spaces）： 研究多个拓扑空间笛卡尔积上的拓扑结构，重点是缇颂拓扑（Tychonoff topology），并引出缇颂定理——这是处理无限乘积空间的基石。 3. 连通性（Connectedness）： 连通性研究空间是否可以被“拆开”。我们将区分连通性与路径连通性，并探讨它们在特定空间中的关系。 4. 紧致性（进阶）： 重新审视紧致性，并使用缇颂定理证明任意一组紧致豪斯多夫空间的乘积仍然是紧致的。 第四部分：代数拓扑的萌芽——同伦与同调的初步接触 为了展示拓扑学如何与代数结构结合，本书在最后介绍代数拓扑的一些基本思想，但不涉及复杂的代数运算。 1. 连续形变与同伦（Homotopy）： 引入形变的概念，并定义同伦等价关系。两个空间同伦等价意味着它们在拓扑上是“难以区分”的。 2. 基本群（Fundamental Group）的直觉： 通过环路的概念来直观理解基本群 $pi_1(X)$，展示其如何区分拓扑空间的不同“洞”的结构。例如，圆周 $S^1$ 和圆盘 $D^2$ 的基本群差异，以及如何用它来证明布劳威尔不动点定理的一个简单版本。 学习目标： 通过本书的学习，读者将能够： 熟练掌握度量空间和拓扑空间的基本定义、性质与构造方法。 理解紧致性、完备性、连通性等核心拓扑性质的内在联系。 建立严谨的数学语言和几何直觉，为学习更高级的微分几何、代数拓扑或泛函分析打下坚实基础。 培养识别空间内在结构、不被其外在嵌入方式所迷惑的拓扑思维。 本书配有大量的例题、习题和几何图像，旨在帮助读者将抽象的定义与具体的几何图像紧密结合起来。

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这部著作无疑是数学领域的一部重量级作品，它以一种近乎诗意的方式，将抽象的数学概念与现实世界的复杂问题紧密地编织在一起。初翻开时，我立刻被它那严谨而又清晰的论证结构所吸引。作者在处理那些看似棘手的问题时，总能找到一条优雅的路径，让人在跟随思考的过程中，体验到智力上的愉悦。书中的例证选择极为精妙，并非那种教科书式的空洞练习，而是充满了启发性，引导读者去探索更深层次的结构。尤其是那些关于定性分析的部分，它没有止步于简单的求解，而是深入探讨了系统的长期行为和稳定性，这对于任何希望利用数学工具理解动态系统的研究者来说，都是无价之宝。我尤其欣赏它在介绍经典理论时，没有回避其历史背景和思想演变，这种叙述方式让枯燥的公式焕发出了生命力，仿佛能看到数学家们攻克难关时的心路历程。整体阅读体验下来，感觉像是得到了一位循循善诱的导师，他不仅教会了你“如何做”，更重要的是，让你理解了“为什么这样做”。这本书绝对值得反复研读，每一次重读都会带来新的感悟和理解层次的提升。

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这本书给我的感觉是，它不仅仅是一本教科书，更像是一部数学思想的“编年史”。作者在介绍任何一个核心概念时，都会追溯其起源，展示它是如何从更简单的问题中“生长”出来的，这种历史的纵深感，让学习过程不再是孤立地掌握知识点，而是在理解数学知识体系的演化。书中对于反常问题的处理尤为精彩，面对那些传统方法束手无策的难题，作者展示了如何运用创造性的数学工具去攻克它们，这极大地激发了我对未知领域的探索欲望。尤其是在涉及存在性与唯一性证明的部分，作者展现了极高的教学艺术，他不是直接抛出最终的、最精炼的证明，而是循序渐进地展示了必要的先决条件和中间步骤，这让读者能够真正“内化”证明的逻辑，而不是简单地记忆步骤。这本书的价值在于它塑造了一种严谨、深刻且富有创造性的数学思维模式，这种模式一旦形成，将受益终生，远超书中所包含的具体公式和定理本身。

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坦白说，这本书的阅读过程是一场智力的马拉松，但其回报远超付出的汗水。我特别欣赏作者在组织章节时的逻辑跳跃性和内在的连贯性。他似乎总能在我感到疲惫时，引入一个完全不同的角度来阐述同一个问题，这种“换个角度看世界”的方式，极大地激活了我的思维。书中的某些章节，比如涉及泛函分析工具应用于微分方程的章节，其论证的精妙程度简直令人拍案叫绝。它不仅仅是知识的堆砌，更像是一件精心雕琢的艺术品，每一个部分都服务于整体的和谐与完美。我注意到，作者在处理应用问题时，很少采用那种生硬的“套用公式”的模式，而是深入到问题的物理或工程背景中去，先建立模型，再进行数学分析，最后回归实际解释结果，这种完整的科学思维流程，对于培养一个全面发展的研究者来说至关重要。这本书的排版和插图也做得非常出色，虽然内容艰深，但视觉上却保持了足够的清爽和条理性，减轻了长时间阅读带来的视觉压力。

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这部作品的叙事风格非常独特，它不像传统教材那样冷峻刻板，反而流露出一种深沉的自信和对数学美学的执着追求。我感觉作者与读者之间建立了一种基于智力挑战的平等对话关系。书中对某些核心概念的定义和阐述，其精准度达到了近乎哲学的层面，让人不得不停下来反复咀嚼其中蕴含的深意。例如，在讨论边界值问题的解的正则性时，书中引入了一些非常巧妙的正则化技巧，这些技巧在其他相关领域也具有极强的可迁移性，体现了作者深厚的跨学科功底。这本书的难度是毋庸置疑的，但它提供的工具箱也是最全面的。它没有回避那些被其他教材简化或略过的高难度证明和细节，而是将其作为核心内容加以阐述，这表明了作者对读者的最大尊重——信任读者有能力理解最本质的数学构造。读完之后，我发现自己看问题的视角都变得更加立体和锐利了，仿佛打开了一扇通往更广阔数学殿堂的窗户。

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拿起这本书，首先冲击我的是它那令人敬畏的深度和广度。这不是那种浅尝辄止的入门读物，它直接将读者带入了研究的前沿地带。作者对每一个定理的证明都力求详尽无遗，丝毫没有含糊其辞，这对于需要扎实基础来支撑后续研究的读者来说，是极大的福音。我发现，作者在讲解过程中非常注重数学直觉的培养，他善于通过巧妙的几何解释或物理图像来辅助理解那些纯代数推导出的结论，这极大地降低了理解难度，同时也拓宽了我们对数学工具适用范围的认知。比如，书中对某些非线性系统的分析部分，处理得非常透彻，引入了一些现代分析工具，使得原本混沌不明的现象变得有迹可循。当然，这本书对读者的数学功底要求不低，它要求你在阅读时保持高度的专注和主动思考，否则很容易在某个复杂的推导环节迷失方向。但正是这种挑战性，使得最终的收获格外丰厚。它更像是一本“武功秘籍”，需要勤学苦练，但一旦练成，便能应对自如。

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