数学练习册(第二册) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:编写组

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1900-01-01

价格:5.8

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isbn号码:9787040069792

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《几何之谜：空间探索与逻辑构建》 图书简介 一本带领读者深入几何世界的思想之旅，探索从古老文明的建筑智慧到现代科学尖端应用的无限可能。 第一章：欧几里得的遗产与非欧几何的崛起 本书的开篇将追溯几何学的源头，探讨古希腊数学家欧几里得在其里程碑式的著作《几何原本》中所构建的宏伟体系。我们将细致剖析其公理、公设与定义，理解为什么这些看似简单的陈述能够支撑起一个逻辑严密的宇宙。从点、线、面的基本概念出发，我们将逐步构建平面几何的完整框架，深入研究三角形、四边形及圆的性质，并通过大量经典例题，巩固读者对这些基础知识的掌握。 然而，真正的思想突破往往源于对既有框架的审视。本书将带领读者走出欧氏几何的“舒适区”，进入非欧几何的广阔领域。我们将介绍罗巴切夫斯基和黎曼的工作，探讨平行公设被否定的后果。在双曲几何的鞍形空间中，三角形内角和如何小于180度？在球面几何的曲面上，最短路径（测地线）又是如何表现的？这种对空间认知的拓展，不仅是数学上的进步，更是哲学思想的一次深刻洗礼，为理解我们所处宇宙的真实形态（如广义相对论中的时空弯曲）奠定了基础。 第二章：拓扑学的“橡皮泥”哲学 如果说欧氏几何关注长度、角度和面积的精确测量，那么拓扑学则是一门研究“连续形变”而不改变基本性质的学科。本章将介绍拓扑学的基本概念，如拓扑不变量、连通性、紧致性和嵌入性。我们将使用生动的比喻——想象将一个甜甜圈拉伸成一个咖啡杯，而无需撕裂或粘合——来解释这种“橡皮泥几何”的核心思想。 我们将深入探讨著名的拓扑学难题：柯尼斯堡七桥问题，以及它如何催生了图论。随后，我们将聚焦于更深层次的结构，例如莫比乌斯带的单面特性和克莱因瓶的“四维”困境。读者将学习如何通过同胚映射来区分不同的空间形体，理解为什么一个球体可以被拓扑地等同于一个立方体，但却不能等同于一个圆环。拓扑学的应用渗透在现代科学的方方面面，从数据分析中的“拓扑数据分析”（TDA）到粒子物理学中的规范场理论，其重要性不言而喻。 第三章：解析几何的代数化与三维世界的构建 笛卡尔的伟大贡献在于将几何学与代数语言完美结合，为几何问题提供了一种强大的计算工具。本章将详细阐述解析几何的原理，从二维笛卡尔坐标系出发，系统地推导直线、圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线）的方程。读者将学习如何通过代数运算来证明几何定理，体验几何直觉与代数严谨性的完美交融。 随后，我们将将视野扩展到三维空间。三维笛卡尔坐标系（x, y, z）的引入，使得对空间物体的描述成为可能。我们将探讨平面方程、空间直线方程，并深入研究二次曲面，如球体、椭球体、抛物面和双曲面。本章的重点在于向量代数在三维解析几何中的应用，包括点积（用于计算角度和投影）和叉积（用于确定法向量和面积）。这些工具不仅是理解空间几何的关键，更是工程制图、计算机图形学和物理学（如电磁场理论）的基石。 第四章：微分几何：曲线、曲面的局部研究 当欧氏几何的平面和三维空间不足以描述复杂形体时，微分几何应运而生。本章将介绍微积分工具如何应用于几何分析，核心在于“局部逼近”的思想。我们将研究曲线的曲率和挠率，理解如何量化一条曲线的弯曲程度以及它在空间中的扭转情况。 随后，我们将转向曲面。曲面的第一基本形式和第二基本形式是理解曲面内在几何特性的关键工具。我们将分析高斯曲率的概念，这是衡量曲面局部弯曲程度的内在不变量。高斯绝妙的“绝妙定理”（Theorema Egregium）将揭示曲率如何仅由曲面自身的度量决定，与曲面如何嵌入外部空间无关。这为爱因斯坦的广义相对论提供了深刻的数学基础——引力即是时空弯曲的表现。本章将通过细致的微分运算和几何直观相结合的方式，揭示曲面形态背后的深层数学规律。 第五章：离散几何与计算应用 现代数学与计算机科学的结合催生了离散几何。本章将探索在有限、不连续的结构中寻找几何规律的方法。我们将重点介绍凸几何，特别是凸包、支撑集以及支撑函数。凸多面体，如各种晶体结构和优化问题的可行域，在离散几何中占据核心地位。 此外，本书还将介绍计算几何学的基本算法。例如，如何高效地判断一个点是否在一个多边形内部？如何计算两个复杂多边形的交集？我们将探讨平面扫描算法、最近点对问题以及德洛内三角剖分（Delaunay Triangulation）及其对地形建模、网格生成和插值计算的重要性。离散几何不仅是纯粹的理论探索，更是现代工程、机器人路径规划、地理信息系统（GIS）和计算机辅助设计（CAD）不可或缺的数学支柱。 结语：几何的未来与无限的想象 几何学的发展从未停止。从弦理论中的高维空间，到分形几何中展现的无限细节，再到拓扑场论对物质本质的探讨，几何学的疆域仍在不断扩展。本书旨在提供一个坚实的数学框架，激发读者对空间、结构和逻辑的深刻洞察力，使之能够以几何的视角去理解和构建我们复杂多变的世界。 本书特色： 逻辑严谨，层层递进： 从基础概念到前沿领域，知识体系完整，确保读者理解每一步推导的必要性。 强调直观性： 结合大量的图示和思维模型，将抽象的几何概念转化为可感知的图像。 理论与应用并重： 不仅探讨几何的内在美，更展示其在物理学、计算机科学和工程中的实际效用。 适合对象： 高中高年级学生、大学理工科学生、以及所有对数学结构和空间思维有浓厚兴趣的自学者。

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说实话，我拿到这本练习册时，第一个印象是“厚实”。它绝对不是那种轻飘飘、随便翻翻就能应付的材料，而是实实在在地承载了大量的习题和知识点。我翻阅了一下目录，发现内容覆盖的面很广，似乎把初中数学的各个核心模块都囊括进去了，代数、几何、函数、概率统计，一个不落。我特地挑了几个几何证明题来试试水，发现它的题目设计很有“陷阱”艺术——它不会直接给出明显的辅助线提示，而是要求你根据已有的条件，自己去挖掘隐藏的关联，这极大地锻炼了空间想象力和逻辑推理能力。比起那种公式套用式的练习，这种需要深度思考的题目更能抓住我对数学学习的兴趣。而且，很多例题的图示都非常精确，线条清晰，这在处理复杂的几何图形时至关重要，避免了因为图形模糊而产生的误判。这本书的价值，在于它逼迫你从“知道”转变为“理解”并“灵活运用”。

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这本书的封面设计得简洁明快，那种略带磨砂质感的纸张拿在手里很有分量，一看就知道是经过精心挑选的。我最欣赏的是它内页的排版，留白处理得恰到好处，密集的数学符号和公式在这种背景下显得格外清晰，眼睛长时间盯着也不会感到特别疲劳。试着做了几道选择题，发现题目的难度梯度设置得非常合理，从最基础的运算概念到稍微需要动脑筋的综合应用，循序渐进，让人能逐步适应。特别是解析部分，很多复杂的解题步骤被分解成了几个小步骤，每一步的逻辑衔接都非常顺畅，即便是对某个知识点掌握不太牢固的同学，也能顺着思路把答案推导出来，这种对学习者体验的关注，确实是很多同类教材所欠缺的。感觉这不仅仅是一本练习册，更像是一位耐心的一对一辅导老师，在你遇到困难时，会轻声细语地引导你找到方向，而不是直接把答案砸在你脸上。那种“原来如此”豁然开朗的感觉，才是学习过程中最宝贵的收获。

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我个人对教材的“实用性”要求很高，如果学完之后感觉还是对实际问题束手无策，那学习的意义也就大打折扣了。这本练习册在这方面做得相当出色。我注意到，它有一组专门的“生活应用题”，比如涉及利率计算、工程优化、数据分析等，这些题目紧密结合了我们日常生活和未来可能遇到的场景。举个例子，有一道关于最优投放成本的题，它不仅仅考查了基本的二次函数最值，更是巧妙地融入了现实中的预算限制，让人在解题的同时，也能感受到数学在解决实际问题中的强大力量。这些题目没有丝毫的生搬硬套感，而是自然而然地将数学模型建立起来，这对于培养我们建立数学思维至关重要。与其说是在做练习，不如说是在进行一场场有趣的思维挑战赛，每次成功解开一个看似复杂的实际问题，那种成就感是无与伦比的，远胜过单纯的计算得分。

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这本书的装帧和纸张质量简直可以拿到博物馆去展览了——开个玩笑，但确实是近年来我接触到的教材中手感和耐用性都属上乘的。纸张的颜色偏向柔和的米白，而不是刺眼的纯白，长时间在灯光下做题，眼睛的负担明显减轻了很多。更让我惊喜的是它的细节处理。比如，在每章的开头，都用了一种不同风格的小插画或名人名言来引入主题，这极大地软化了数学学科的刻板印象，让人在进入枯燥的公式海洋前，先被一种轻松愉悦的氛围所感染。而且，它的配套资源似乎也很完善，虽然我主要侧重于纸质版的练习，但侧边栏提到的一些在线资源入口，感觉是对不同学习习惯读者的尊重和照顾。这种全方位的学习支持系统，让这本书从一本普通的辅导材料，升级成了一个完整的学习解决方案。

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我是一个对格式要求比较挑剔的读者，很多练习册的“错题回顾”区域总是设计得非常局促，写两笔就没地方了。然而，这本书在这方面展现了惊人的“人性化”设计。它在每道单元测试的后面，都留出了一个相当宽敞的“错误分析与归纳”区域，这个区域的格子设计得大小适中，足够我详细写下“错误原因”、“正确思路”和“知识点回顾”这三块内容。我试着在上面用不同颜色的笔做了标记，发现墨水渗透性也控制得很好，完全不用担心把背面的内容弄脏。这种对学习者“复盘”过程的重视，体现了编写者对学习规律的深刻理解——比起做了多少题，如何从错误中学习才是关键。如果说前面那些是表面的优点，那么这种对学习流程的细致关怀，才是这本书能真正帮助人提升成绩的内功所在。

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