中学1+1·高二数学同步讲解与测试·下 人教统编版

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出版者:天津人民出版社
作者:张志朝
出品人:
页数:434 页
译者:
出版时间:2005-11
价格:15.8
装帧:平装
isbn号码:9787201045559
丛书系列:
图书标签:
  • 高中数学
  • 同步讲解
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  • 练习题
  • 数学学习
  • 同步提升
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具体描述

数学思维的深度探索与应用:一本面向高阶学习者的指南 图书名称: 卓越数学:高中阶段深度解构与创新应用 本书定位: 本书旨在超越现有高中数学课程的知识点罗列与基础技能训练,为有志于在数学领域进行更深层次探索、准备迎接高难度学术挑战的学生提供一套系统化、启发性的思维训练工具和前沿应用视角。本书的重点在于培养学生分析复杂问题、构建严谨论证、并能灵活运用数学工具解决实际与抽象问题的能力。 目标读者群: 1. 追求卓越的学生: 那些已经熟练掌握基础高中数学知识,渴望挑战更高难度题目,寻求思维深度提升的学生。 2. 竞赛准备者: 需要系统性地接触和理解奥林匹克数学(如CMO、AMC等)中常见核心思想和技巧的学生。 3. 理工科预备者: 对高等数学、理论物理、计算机科学等领域抱有浓厚兴趣,希望提前建立坚实数学基础的学习者。 --- 第一部分:函数与分析的拓宽视野 第1章 极限与连续性的严谨构建 本章不再仅仅停留在数列极限的计算层面,而是深入探讨函数的连续性、可微性的拓扑基础。 ε-δ语言的精深运用: 详细解析如何使用更严格的数学语言来定义和证明函数的连续性、一致连续性,以及由此引发的介值定理和极值定理的严密推导。 导数的几何意义的升华: 探讨高阶导数在描述函数凹凸性、拐点处的精细作用,引入曲率的概念,并将其与物理中的加速度变化联系起来。 反函数的性质与方程求解: 深度分析超越函数的反函数存在条件,并结合数值分析的思想,介绍牛顿迭代法等迭代求根的数学原理及其收敛性分析。 第2章 深入解析三角函数与复平面几何 本章将三角函数置于复数背景下进行统一考察,揭示其更深层次的代数结构。 欧拉公式的强大威力: 详尽推导并应用欧拉公式($e^{i heta} = cos heta + isin heta$),展示如何利用复数的乘法和指数形式简化复杂的三角恒等变换,以及求解高次幂和根式问题。 三角方程组的代数解法: 探索利用复数和向量旋转矩阵来解决涉及多个角度的复杂三角方程组,而不是仅仅依赖于标准的和差化积公式。 周期函数的傅里叶思想初探: 简要介绍傅里叶级数(仅限于概念引入),说明周期函数可以被分解为一系列正弦和余弦函数的叠加,为后续的信号处理和波动分析打下直观基础。 --- 第二部分:解析几何与空间关系的重构 第3章 向量代数在三维空间的深化应用 本章将向量的概念从平面拓展到三维空间,并侧重于空间解析几何的代数化处理。 空间直线与平面的向量表达: 彻底掌握直线的方向向量、平面的法向量,并利用这些向量工具来推导点到平面、点到直线的最短距离公式,证明平行、垂直关系。 空间几何体的体积与投影: 学习如何利用向量的混合积(标量三重积)来计算四面体的体积,并利用向量投影原理来计算多面体表面在不同坐标系下的面积投影。 坐标系变换的基础: 初步接触旋转矩阵和坐标轴的定向变化对空间方程的影响,为理解三维图形的“本质”不变性做准备。 第4章 锥曲线的统一描述与非标准方程 摒弃传统的焦点、准线定义,采用更具统一性的方法来审视椭圆、双曲线和抛物线。 二次型方程的矩阵表示: 引入 $2 imes 2$ 矩阵来表示一般二次曲线方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$,通过计算特征值和行列式来判别曲线类型(省略特征值计算的复杂推导,侧重于几何意义)。 极坐标系下的锥曲线: 阐述在极坐标系下,所有锥曲线都可以用一个简洁的方程 $ ho = frac{ed}{1 pm e cos heta}$ 来统一描述,深入理解离心率 $e$ 在形状决定中的核心作用。 切线与极线: 讨论如何利用斜率和点斜式之外的方法(如隐函数求导或矩阵方法)来确定锥曲线的切线,并引入“极线”的概念来处理割线趋于平行的情况。 --- 第三部分:概率论与离散数学的结构思维 第5章 组合数学的高级技巧与生成函数 本章聚焦于计数方法的系统化和超越基础排列组合的工具。 容斥原理的复杂应用: 通过涉及多个重叠集合的实际问题(如错排问题、涂色问题),展示容斥原理的迭代使用和推广形式。 鸽巢原理的变体: 探讨经典鸽巢原理的加强形式(如平均原理)及其在证明存在性问题中的应用,而不是仅仅用于求解最小值。 生成函数的威力: 详细介绍普通生成函数(OGF)如何用于解决线性递推关系和特定约束下的组合计数问题,展示其在将离散问题转化为连续函数分析上的桥梁作用。 第6章 随机变量的分布与数理统计的初步 将概率论的视角从古典概型转向对随机现象的建模与预测。 离散与连续随机变量的统一: 深入理解分布函数 $F(x)$ 的定义及其性质,区分概率质量函数(PMF)和概率密度函数(PDF)的物理含义。 大数定律与中心极限定理的直观理解: 解释这两个核心定理在统计推断中的基础地位,说明它们如何允许我们用有限样本去合理推断无限总体。 假设检验与回归分析的数学框架: 简要介绍线性回归模型的基本形式及其最小二乘法的数学推导原理,以及如何建立简单的统计假设并进行检验(仅涉及基础概念)。 --- 第四部分:数学建模与计算思维的衔接 第7章 数值逼近与算法思想 本章旨在弥合理论数学与实际计算之间的鸿沟。 插值法的精确性与局限: 比较拉格朗日插值、牛顿插值法的差异,并引入分段插值(如样条插值)来解决高次多项式插值中出现的龙格现象(Runge's Phenomenon)。 微分方程的数值解法入门: 介绍最简单的欧拉前向法,解释微分方程的数值求解是如何将导数视为变化率,并通过小步长迭代来逼近真实解的。 算法复杂度与效率分析: 引入大 $O$ 记号,分析不同算法(如排序、查找)在处理大规模数据时的效率差异,培养对计算资源的敏感性。 结语: 本书不提供现成考试答案,而是提供一把理解数学世界的钥匙,旨在激发读者对数学美感和逻辑力量的持久热情。通过对上述主题的系统化学习,读者将构建起一个更加坚实、灵活且富有洞察力的数学思维体系。

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读后感

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用户评价

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我是一名比较注重解题方法的学生,这本书在这方面做得非常出色。它不仅仅是知识点的堆砌,更重要的是对解题思路和方法的归纳总结。在讲解完一个章节或者一个重要的知识点后,书中都会有专门的“解题技巧”、“方法点拨”等板块,对常见的解题思路进行梳理和总结。例如,在学习不等式章节时,书中就详细介绍了“数形结合”、“构造法”、“韦达定理”等多种解题方法,并且在后面的练习题中,也会引导读者思考如何运用这些方法。这种教学方式非常有利于培养学生的数学思维能力,让我不再是死记硬背公式,而是能够灵活运用各种方法去解决问题。我尤其欣赏书中对一些“压轴题”的分析,作者会剖析这类题目的出题思路,以及如何从纷繁复杂的条件中提炼出关键信息,并将其转化为数学模型。这种深入的分析,能够帮助我更好地理解数学的本质,而不是停留在表面。而且,书中提供的练习题也是精心设计的,有很多题目都具有一定的思考深度,能够有效地锻炼我的分析问题和解决问题的能力。

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我一直认为,好的数学教材应该能够激发学生的学习兴趣,而这本书在这方面也做得相当不错。它不仅仅是枯燥的公式和定理的堆砌,而是通过精选的例题和富有挑战性的练习题,来引导学生思考,去发现数学的乐趣。书中的一些例题设计得非常巧妙,能够将抽象的数学概念与实际生活中的问题相结合,让我感受到数学的实用性和魅力。例如,在讲解数列时,书中就引用了一些生活中的例子,如银行的复利计算,这让我觉得数学离自己并不遥远。此外,它在讲解一些比较抽象的章节时,会穿插一些数学史的简介或者数学家的故事,这不仅能够丰富我的知识面,更能让我体会到数学发展的艰辛和智慧。这种多元化的讲解方式,能够有效地吸引我的注意力,提高我的学习积极性。

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这本书最大的优点在于它的讲解内容非常详尽且易于理解,这对于我这种需要额外辅导的学生来说简直是福音。很多时候,课堂上的老师讲解可能比较匆忙,或者某些细节我没有完全听懂,回到家再看教材,往往发现教材的讲解又过于精炼,难以消化。但这本书不同,它就好像有一个循循善诱的老师在我身边一样,对于每一个公式、每一个定理,都给出了非常详细的推导过程和背后的逻辑。比如,在讲解三角函数的图像变换时,它不仅仅给出了公式,还一步步分析了“向左平移”、“向右平移”、“伸缩”等操作对函数图像具体影响,并且配有清晰的示意图。这种细致入微的讲解,让我在理解这些看似复杂的概念时,能够做到知其然,更知其所以然。而且,书中还提供了大量的例题,这些例题不仅覆盖了各种题型,而且每道例题的解析都非常到位,不仅仅给出答案,更重要的是分析了题目的考点、解题思路以及易错点。我常常会把书中的例题当做学习的范本,仔细揣摩作者的解题方法,并尝试自己独立完成,然后再对照书中的解析进行检查和反思。通过这种方式,我的解题能力得到了显著的提升。

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这本书的封面设计朴实无华,没有过多花哨的修饰,这让我感到一种踏实和专业。我一直认为,学习资料的重点应该在于内容的深度和实用性,而非外观的华丽。打开这本书,扑面而来的是一股严谨的学术气息,纸张的质感也相当不错,文字清晰,排版合理,即使长时间阅读也不会感到疲劳。我尤其欣赏的是它对基础概念的梳理,很多时候,我们遇到的数学难题并非因为知识本身有多么晦涩,而是对基础理解不够透彻。这本书在这方面做得非常出色,它能够循序渐进地引导读者,从最基本的定义、定理出发,一步步构建起完整的知识体系。例如,在讲解函数部分,作者并没有直接抛出复杂的图像和性质,而是先从函数的概念、定义域、值域这些最核心的部分入手,然后才逐步深入到单调性、奇偶性、周期性等性质的讨论。这种由浅入深的讲解方式,让我这样一个数学基础相对薄弱的学生,也能够比较轻松地理解和掌握。而且,书中穿插的例题都非常有代表性,涵盖了各个知识点的不同侧重点,并且每道例题都附有详尽的解题思路和步骤,这对于我理解解题技巧至关重要。我曾尝试过其他一些教材,它们的例题往往过于简单,或者难度跳跃太大,让人难以适从。而这本书的例题难度梯度设置得非常科学,能够有效地帮助我巩固和提升。

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不得不说,这本书的章节安排和内容组织结构非常清晰,这一点对于一本数学同步教材来说至关重要。它严格遵循人教统编版教材的进度,每一章的内容都紧密衔接,逻辑性非常强。在学习过程中,我能够清晰地看到知识点之间的递进关系,比如在学习完直线与圆的位置关系之后,紧接着就是圆与圆的位置关系,这种由点及面、由线及面的讲解方式,让我在学习过程中不会感到混乱,反而能够逐渐形成对整个知识体系的宏观把握。书中的每一个知识点都配有相应的讲解,并且讲解的深度和广度都恰到好处,既不会过于冗长导致读者失去耐心,也不会过于简略导致理解困难。我特别喜欢它在讲解一些抽象概念时所采用的比喻和类比,这些生动形象的描述能够有效地帮助我克服对抽象概念的畏难情绪。举个例子,在讲解向量的概念时,作者就用到了“位移”和“方向”来类比,这让我在脑海中立刻对向量有了一个直观的认识。此外,书中为每一个知识点都设计了不同层次的练习题,从基础巩固到能力提升,循序渐进。我最看重的是它在能力提升方面的练习题,这些题目往往需要综合运用多个知识点,并且有一定的思维深度,这能够有效地锻炼我的数学思维和解题能力。

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我认为这本书的价值在于它能够提供一个非常系统和完整的学习框架。它不仅仅是在讲解知识点,更重要的是在引导学生如何去学习数学,如何去思考数学问题。书中的讲解逻辑非常清晰,层层递进,能够帮助学生构建起完整的知识体系。而且,它提供的例题和练习题也非常有代表性,能够有效地帮助学生巩固所学知识,并提升解题能力。我特别欣赏书中在讲解完一个重要的知识点后,都会进行一个总结性的回顾,并给出一些学习上的建议,这些建议对于我改进学习方法非常有帮助。通过这本书的学习,我不仅掌握了高二数学的知识,更重要的是学会了如何去学习数学,如何去解决数学问题。

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这本书的印刷质量和内容结构都相当令人满意。纸张厚实,文字清晰,排版也十分合理,阅读起来非常舒适,长时间看书也不会觉得眼睛疲劳。内容方面,它完全是按照人教统编版教材的进度来编写的,每个知识点都讲解得非常透彻,而且循序渐进,由浅入深。我尤其喜欢它在解释一些抽象的数学概念时,会运用到形象的比喻和生动的例子,这大大降低了理解难度。比如,在讲解集合与函数时,书中会用“箱子”和“盒子”来类比集合,用“生产线”来类比函数,这些生动形象的描述,让我在初次接触这些概念时,就能够建立起清晰的认知框架。此外,书中为每个知识点都配有大量的例题和练习题,并且这些题目覆盖了各种难度和题型,能够有效地巩固所学知识,并且逐步提升解题能力。我最看重的是它在每个章节末尾的“单元测试”部分,这些测试题的设计非常贴近高考的考察要求,能够帮助我提前适应考试的节奏和难度。

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这本书的语言风格非常朴实,没有使用过多华丽的辞藻,而是用清晰、简洁、专业的语言来讲解数学知识。这一点对于我来说非常重要,我更倾向于直接、高效的学习方式,而不是被过多的修饰性语言所干扰。它在讲解过程中,始终围绕着核心知识点展开,层层递进,逻辑清晰。对于一些关键的概念和公式,作者会反复强调,并给出多种不同的理解角度,帮助我深入理解。例如,在讲解导数概念时,书中会从几何意义(切线的斜率)和物理意义(瞬时变化率)两个角度来解释,并且辅以大量的图示和实例,让我对导数的理解更加全面和深刻。此外,书中还穿插了一些“易错点提醒”和“方法总结”,这些小贴士对于我避免犯错、掌握解题技巧非常有帮助。我经常会回顾这些提醒,它们能够帮助我巩固记忆,并提高解题的准确性。

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我非常欣赏这本书的编排风格,它将“讲解”与“测试”有机地结合在一起,既能帮助我理解知识点,又能及时检验学习效果。每讲完一个知识点,书中都会立刻给出相关的例题和练习题,让我能够立刻将所学的知识付诸实践。这种“学-练-测”一体化的模式,极大地提高了我的学习效率。我尤其喜欢它在例题解析中的详细步骤和思路分析,这不仅仅是给出了答案,更重要的是教会了我如何去思考,如何去运用数学知识。而且,书中的练习题设计得也非常有针对性,能够有效地覆盖到知识点的各个方面,并且难度梯度设置合理,循序渐进,能够帮助我逐步提高。我曾遇到过一些教材,讲解内容很丰富,但是练习题太少,或者题目难度不合适,导致学习效果大打折扣。而这本书在这方面做得非常出色,它能够提供足够且高质量的练习,帮助我夯实基础,提升能力。

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这本书在知识点的梳理上做得非常到位,每个知识点都得到了充分的讲解和分析。作者对于概念的解释非常严谨,对于定理的推导也非常清晰,并且会针对每个知识点给出不同的解题思路和方法。我特别喜欢它在讲解一些复杂问题时,会将其分解为几个小问题,然后逐一解决,这种化繁为简的思路,对我解决难题非常有启发。而且,书中提供的练习题也是精心挑选的,既有巩固基础的题目,也有拓展能力的题目,能够满足不同层次学生的学习需求。我经常会将书中的例题作为学习的范本,仔细研究作者的解题过程,并尝试自己独立完成,然后再进行对照和反思,通过这种方式,我的解题能力得到了显著的提升。

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