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出版者:人民教育出版社

作者:蔡俊亮

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2003-09-01

价格:17.20元

装帧:简裝本

isbn号码:9787107170683

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学基础
• 微积分
• 函数
• 极限
• 导数
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• 解析几何
• 线性代数
• 数学分析

高等数学基础.下 概述 《高等数学基础.下》旨在为读者构建一个严谨而完整的数学知识体系，特别侧重于微积分学的深入探索。本书在前一卷的基础上，将数学的视野进一步拓宽，深入到多元函数微积分、级数、向量微积分等核心领域，为读者在科学、工程、经济等诸多领域的研究与应用奠定坚实的理论基础。本书强调概念的清晰阐释、定理的严谨证明以及方法的有效运用，力求使读者不仅掌握计算技巧，更能深刻理解数学的逻辑结构和内在联系。 主要内容 第一部分：多元函数微积分 本部分是全书的核心，将微积分的概念从二维平面推广到三维空间及更高维度。 多元函数的基本概念： 定义域与值域： 引入了描述多元函数自变量取值范围和函数值取值范围的概念，包括开集、闭集、连通集等拓扑概念，为后续分析奠定基础。 极限与连续性： 探讨了多元函数在某点取得极限的条件，以及函数在该点连续的定义。这涉及到路径法、夹逼法等判断极限是否存在和求解的方法，以及理解不连续点的类型。 方向导数与梯度： 深入研究了函数在特定方向上的变化率（方向导数），并引出了梯度这一重要的向量概念。梯度不仅指示了函数增长最快的方向，其模长也表示了该方向上的变化速率。这为理解物理场（如温度场、电场）的变化规律提供了数学工具。 多元函数的微分： 偏导数： 定义了多元函数对其中一个自变量求导的概念，并探讨了偏导数的几何意义，即函数曲面在特定方向上的切线斜率。 全微分： 引入了全微分的概念，它是函数在某点附近线性近似的重要工具，对于近似计算和误差分析至关重要。 高阶偏导数与混合偏导数： 讨论了对偏导数再求偏导的情况，特别是克莱罗定理（Clairaut's Theorem），阐述了在一定条件下混合偏导数相等的性质。 链式法则： 提供了复合函数求导的通用方法，无论函数结构多么复杂，都可以通过链式法则进行求解。 方向导数与梯度（进一步分析）： 结合全微分，更加深入地理解了方向导数与梯度的关系，即方向导数等于梯度与单位方向向量的点积。 多元函数的极值问题： 无条件极值： 探讨了如何利用偏导数求解多元函数在整个定义域内的局部最大值和最小值。这通常涉及到令一阶偏导数等于零，并利用二阶偏导数来判断极值的性质（极大值、极小值或鞍点）。 条件极值（拉格朗日乘数法）： 引入了拉格朗日乘数法，这是求解受等式约束条件下的多元函数极值问题的强大工具。通过引入拉格朗日乘子，将条件极值问题转化为无条件极值问题。 重积分： 二重积分： 将定积分的概念推广到二维区域。通过黎曼和的极限定义，引入了二重积分的概念，并探讨了其几何意义（如计算体积）。 累次积分（Fubini定理）： 阐述了在适当条件下，二重积分可以转化为两个定积分的乘积，即“先对x积分，再对y积分”或者“先对y积分，再对x积分”。这极大地简化了二重积分的计算。 变量替换（坐标变换）： 介绍了在二重积分中进行变量替换的方法，特别是极坐标变换，可以显著简化具有对称性的区域上的积分计算。 三重积分： 将积分概念推广到三维空间，用于计算三维区域的体积、质量等。同样可以通过累次积分和变量替换进行计算。 第二部分：向量微积分 本部分将微积分的工具应用于向量场，是描述物理现象（如流体流动、电磁场）的关键。 曲线积分： 第一类曲线积分（标量函数沿曲线积分）： 计算标量函数沿曲线的积分，其几何意义可以理解为在曲线上某物理量的累积量，例如求曲线的质量。 第二类曲线积分（向量函数沿曲线积分）： 计算向量场沿曲线的积分，其物理意义通常是力在位移上的功。 格林公式： 概念与应用： 格林公式是连接平面区域上的二重积分与该区域边界上的第二类曲线积分的桥梁。它在计算面积、求解与保守场相关的积分等方面有重要应用。 曲面积分： 第一类曲面积分（标量函数沿曲面积分）： 计算标量函数在曲面上的积分，例如计算曲面的质量。 第二类曲面积分（向量场通过曲面的通量）： 计算向量场通过某个曲面的“流量”或“通量”，例如计算单位时间内流体通过某表面的体积。 高斯公式（散度定理）： 概念与应用： 高斯公式是连接三维空间中体积上的散度积分与该体积边界上的曲面积分的桥梁。它在电磁学、流体力学等领域有着极其重要的应用，例如描述了散度与通量的关系。 斯托克斯公式： 概念与应用： 斯托克斯公式是连接三维空间中曲面上旋度积分与该曲面边界上的曲线积分的桥梁。它揭示了旋度与环量之间的关系。 第三部分：无穷级数 本部分研究无穷项的和，是分析函数性质、构造特殊函数以及数值计算的重要理论基础。 数列的极限与收敛： 基本概念： 引入数列的概念，并探讨其收敛性的定义和判别方法（如单调有界定理）。 柯西收敛准则： 提供了一个不依赖于极限值的收敛判别方法。 无穷级数的收敛性： 定义与敛散性判别： 定义了无穷级数，并提出了各种判别级数收敛性的方法，包括： 比较判别法： 将待判级数与已知敛散性的级数进行比较。 比值判别法和根值判别法： 利用相邻项的比值或n次方根的极限来判断收敛性，特别适用于指数形式的级数。 积分判别法： 将级数的收敛性与对应函数的积分收敛性联系起来。 交错级数判别法（莱布尼茨判别法）： 专门用于判断交错级数的收敛性。 绝对收敛与条件收敛： 区分了级数收敛和其各项绝对值构成的级数收敛的情况，引入了绝对收敛和条件收敛的概念，并阐述了它们的性质差异。 幂级数： 定义与收敛域： 引入了以变量的幂次形式表示的幂级数，并探讨了其收敛半径和收敛域。 性质： 探讨了幂级数的和函数在收敛域内的性质，包括逐项求导和积分的合法性。 泰勒级数与麦克劳林级数： 这是幂级数中最重要的应用之一。通过将任意可展成幂级数的函数表示成无穷多项式，极大地丰富了函数的表示方法，并为函数逼近提供了理论基础。 傅里叶级数： 概念与展开： 傅里叶级数是用于将周期函数表示成三角函数（正弦和余弦函数）无穷和的数学工具。 收敛性与应用： 探讨了傅里叶级数的收敛性，以及其在信号处理、偏微分方程求解等领域的广泛应用。 学习目标与价值 通过《高等数学基础.下》的学习，读者将能够： 1. 深刻理解多元函数行为： 掌握分析多元函数极限、连续性、微分以及极值的方法，能够理解和描述三维空间中复杂形体的性质。 2. 熟练运用微积分工具： 能够灵活运用偏导数、全微分、链式法则等工具解决实际问题，并能通过二重、三重积分计算体积、质量等量。 3. 掌握向量微积分的精髓： 理解曲线积分、曲面积分以及与之相关的格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，能够分析向量场在空间中的运动和分布规律。 4. 洞悉无穷级数的奥秘： 掌握判断级数收敛性的各种方法，理解幂级数、泰勒级数、傅里叶级数的概念和性质，并能将其应用于函数展开、逼近与近似计算。 5. 构建严谨的数学思维： 培养逻辑推理能力、抽象思维能力和解决复杂问题的能力，为进一步学习更高级的数学知识和相关专业领域打下坚实基础。 本书的深入探讨和严谨证明，不仅能够满足数学专业学生的需求，也为物理、工程、经济、计算机科学等领域的学习者提供宝贵的数学养分，帮助他们理解和解决更深层次的科学技术问题。

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这本书的封面设计真是让人眼前一亮，那种深邃的蓝色调搭配着简洁的几何图形，透露出一种严谨又不失现代感的学术气息。我记得当时在书店里被它吸引，随手翻开几页，就被其中清晰的逻辑推导和图文并茂的讲解方式所折服。特别是关于极限和连续性的章节，作者用非常生活化的例子来解释抽象的概念，让我这个以前对数学有畏惧心理的人，竟然能大致理解那些复杂的定义。书中的习题设计也很有层次感，从基础的巩固性练习到具有挑战性的综合应用题，每一步都像是精心铺设的阶梯，引导读者逐步攀登知识的高峰。不过，坦白说，对于初学者来说，某些证明过程还是略显跳跃，需要反复研读才能完全领会其精髓。总的来说，这是一本非常适合作为入门教材，或者作为进阶学习的参考手册，它成功地将枯燥的数学理论变得触手可及，极大地激发了我对高等数学学习的热情。

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说实话，我买这本书纯粹是因为听朋友推荐说它对“线性代数”的讲解非常透彻，但当我翻开后，发现它更像是一本全方位的数学基础整合读本，而不仅仅是某一特定领域的专攻。这本书的叙述风格偏向于理论构建，它不是那种用大量简化例子来“喂饱”读者的教材，而是鼓励读者自己去思考和构建知识体系。例如，它对向量空间和特征值的阐释，建立在扎实的集合论和映射概念之上，读起来需要投入相当的精力去跟进作者的思路。我个人喜欢这种挑战性，它迫使我不能只是记住结论，而必须理解背后的逻辑框架。对于那些追求学术深度，不满足于表面计算的读者，这本书无疑是一剂良药。但对于只想应付考试的同学，可能会觉得它的节奏稍慢，且对基础要求较高，可能需要搭配其他更“实用型”的辅导资料使用。

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我对这本教材的印象是：它是一本极具“人文关怀”的数学书。它的排版和字体选择非常柔和，长时间阅读眼睛也不会感到疲劳，这对于需要长时间伏案学习的读者来说是巨大的加分项。在讲解完复杂的积分技巧之后，作者总会穿插一些关于数学家的小故事或者关于数学美学的感悟，这使得冰冷的数字世界瞬间充满了人情味。我尤其喜欢它对“反常积分”的处理，作者没有直接给出繁复的公式，而是通过几何图形的面积计算问题，一步步引导我们发现积分的局限性和拓展的必要性，这种循序渐进的引导方式，让人感觉像是有一位耐心且富有经验的导师在身边亲自授课。这本书成功地模糊了“教材”与“科普读物”之间的界限，让学习数学不再是一件苦行僧般的事情。

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这本书在处理“级数”部分时，展现出了与其他教材截然不同的处理方式，它似乎更侧重于应用层面的直观理解，而非纯粹的理论证明的堆砌。它大量使用了泰勒级数在数值分析中的近似计算案例，甚至还涉及了傅里叶级数在信号处理中的基础概念，这让我深切体会到这些抽象概念是如何转化为解决实际问题的有力工具的。这种“学以致用”的导向性非常强。尽管如此，书中在介绍高阶微积分中的一些更抽象的拓扑概念时，篇幅显得稍有不足，似乎为了平衡整体的篇幅而有所取舍。总而言之，如果你的目标是快速掌握高等数学的应用技能，并希望看到数学是如何驱动现代科技发展的，那么这本书绝对值得你花时间去深入研读，它提供的视角是新鲜且富有洞察力的。

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我拿到这本教材的时候，主要目的是想找一本能系统梳理微积分核心概念的工具书，毕竟工作需要时不时接触到一些工程计算。这本书在内容组织上显得尤为扎实，没有过多花哨的修饰，直奔主题。它在偏微分、多重积分这块的阐述堪称教科书级别的典范，公式的推导过程清晰、严密，每一步的依据都标注得清清楚楚，这对于需要精确验证的读者来说简直是福音。我特别欣赏它在章节末尾提供的“历史背景与应用拓展”部分，它不仅解释了为什么我们需要学习这些复杂的工具，还展示了它们在物理学和经济学中的实际作用，极大地拓宽了我的视野。唯一的遗憾是，书本的装帧相对比较厚重，携带起来不太方便，如果能出一个轻便的口袋速查版本，那就太完美了。但就内容深度和广度而言，这本书无疑是同类书籍中的佼佼者，是工具箱里不可或缺的一把“瑞士军刀”。

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