李群及其在微分方程中的应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:田畴

出品人:

页数:290

译者:

出版时间:2001-10

价格:20.00元

装帧:

isbn号码:9787030096654

丛书系列:

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• 数学
• 李群
• 微分方程
• 中国科学院
• 其余代数5
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《代数图景：从李群的抽象美走到现实应用的桥梁》 引言： 在数学的宏伟殿堂中，有一些结构如同璀璨的星辰，以其深邃的内在逻辑和强大的普适性，照亮了无数科学分支的前进道路。李群（Lie Groups），便是这样一颗耀眼的明星。它不仅仅是纯粹数学中的一个优雅概念，更是一种强大的语言，一种描述连续对称性的通用框架。本书《代数图景》旨在勾勒出李群的抽象轮廓，并在此基础上，探索它如何如同无形的丝线，巧妙地连接起数学、物理、工程等多个领域的复杂系统，尤其是在描述和求解那些动态变化、不断演进的物理现象时，展现出其不可替代的价值。 第一章：初遇李群——抽象的优雅与对称的灵魂 本章将引领读者走进李群的最初殿堂，揭示其作为“光滑流形”与“群”的和谐统一。我们将从直观的例子出发，例如旋转群 SO(2) 和 SO(3)，感受连续对称性的美妙。通过对这些具体案例的剖析，读者将初步理解群的代数结构（封闭性、结合律、单位元、逆元）与流形的几何结构（光滑性、局部欧几里得性）是如何在李群中完美融合。 概念解析： 什么是群？什么是流形？两者结合诞生的李群有何特殊之处？我们将用清晰的语言和生动的类比来解释这些核心概念。 基础示例： 从最简单的二维旋转群 SO(2) 开始，逐步过渡到三维旋转群 SO(3)，理解它们在几何上的直观意义。我们将探讨这些群的元素如何代表空间中的变换，以及它们的运算如何对应于变换的复合。 代数与几何的交织： 深入探讨李群的代数结构如何影响其几何形态，反之亦然。例如，SO(3) 中的旋转可以被看作是球面上的点，而旋转的复合则对应于球面上的弧线运动。 对称性的语言： 强调李群作为描述连续对称性的基本工具。我们将讨论为什么自然界中有如此多的对称现象，以及李群如何为理解这些对称性提供了一个普适的数学框架。 第二章：李代数——李群的“微分”视角 如果李群是描述连续对称性的“全局”视图，那么李代数（Lie Algebra）则提供了“局部”的、微分层面的深刻洞察。本章将聚焦于李代数，它是李群在单位元附近的“切空间”，蕴含着李群的局部线性化信息。理解李代数，如同获得了一把钥匙，能够解锁李群更深层次的结构和性质。 从李群到李代数： 详细阐述如何从李群的结构导出其对应的李代数。我们将介绍指数映射（Exponential Map）这一关键工具，它将李代数的元素映射回李群的元素，建立了李群与李代数之间的桥梁。 李代数的代数结构： 引入李括号（Lie Bracket）这一李代数的核心运算。我们将解释李括号的性质（双线性性、反对称性、雅可比恒等式），并展示它如何捕捉李群中元素之间的“对易”或“非对易”关系。 经典的李代数： 介绍一些重要的李代数，例如 $mathfrak{so}(n)$（对应于特殊正交群）、$mathfrak{gl}(n)$（对应于一般线性群）等。我们将探讨它们的生成元以及李括号的显式形式。 线性化视角： 理解李代数如何提供李群的局部线性化近似。这对于分析李群的局部行为，以及在小扰动下研究对称性具有重要意义。 第三章：李群表示论——对称性的“分解”与“解读” 理解一个李群的结构，往往需要从其“作用”于其他数学对象的方式来观察。李群的表示论（Representation Theory）正是研究这一主题的强大理论。本章将揭示如何通过李群在向量空间上的线性变换来“解读”李群的内在结构，并展示如何将复杂的表示分解为更简单的“不可约表示”。 什么是表示： 定义李群的表示，即一个从李群到一般线性群的同态映射。我们将用直观的例子说明，例如李群的元素如何作用于向量，从而改变它们。 李代数的表示： 引入李代数的表示，它将李代数的元素映射为向量空间的端映射子（Endomorphism）。李群表示与李代数表示之间存在着密切的对应关系。 不可约表示： 探讨不可约表示（Irreducible Representations, irreps）的概念。它们是表示论中的“原子”，不可再进一步分解。我们将解释为何不可约表示如此重要，因为任何表示都可以分解为有限个不可约表示的直和。 群的“指纹”： 强调表示论在理解李群结构中的作用。不同的李群具有不同的不可约表示集，这使得表示论成为区分和刻画李群的强大工具。 特征标（Characters）： 介绍特征标的概念，它是表示的一个重要不变量，能够提供关于表示的丰富信息。 第四章：李群与微分方程——对称性驱动的求解之道 本章将是本书的重点之一，我们将深入探讨李群理论如何深刻影响微分方程的研究，尤其是在求解和理解那些具有内在对称性的微分方程时。我们将看到，李群提供了一种系统性的方法来寻找微分方程的守恒律，并以此来简化方程的求解过程。 诺特定理的李群视角： 重新审视诺特定理（Noether's Theorem），并从李群的框架下对其进行更深入的阐释。我们将解释连续对称性与守恒量的精确对应关系，以及如何利用李群的生成元来导出守恒量。 对称性约化： 介绍如何利用李群的对称性来“约化”微分方程的阶数或变量。通过寻找微分方程的不变解（即在李群作用下保持不变的解），可以有效地减少求解的难度。 李群及其在常微分方程中的应用： 探讨如何利用李群的结构来分析常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的解的性质，例如其稳定性、周期性等。我们将举例说明，如何通过识别ODE系统的对称性来找到其封闭形式的解。 李群及其在偏微分方程中的应用： 转向偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）。我们将重点介绍李群在求解和分类偏微分方程方面的作用，特别是那些与物理学基本定律相关的方程，例如波动方程、热传导方程、麦克斯韦方程组等。 Symmetries of Differential Equations: 讨论如何利用李群理论来寻找微分方程的“李对称性”。这些对称性可以被用来构造新的解，或者将复杂的方程转化为更简单的形式。 第五章：超越经典——李群在现代科学中的广阔天地 李群的魅力远不止于数学和理论物理的经典领域。本章将带领读者眺望更远的未来，探索李群在人工智能、信号处理、量子信息科学等现代前沿科技中的应用前景，展现其作为统一性数学工具的强大生命力。 机器人学与控制论： 分析李群如何在机器人运动规划、姿态估计和控制系统中发挥作用。例如，三维空间中的旋转可以用李群 SO(3) 来描述，而机器人的运动则可以用李群的序列来表示。 计算机视觉与图像处理： 探讨李群如何在图像识别、特征提取和几何变换中应用。例如，尺度不变性、旋转不变性等可以通过李群的表示来实现。 量子信息科学： 阐述李群在描述量子系统的演化、量子计算中的酉变换以及量子纠缠的分析中的重要作用。例如，量子比特的旋转可以用 SU(2) 群来描述。 信号处理与模式识别： 解释李群如何帮助构建更鲁棒的信号处理算法，例如利用对称性来设计滤波器，或在模式识别中利用对称性来减小样本空间。 微分流形与微分几何的联系： 简要回顾李群作为光滑流形，以及它与微分几何中其他概念（如联络、曲率）之间的深刻联系，为读者提供更广阔的理论视野。 结语： 《代数图景》力求以清晰的逻辑、严谨的论证和丰富的实例，揭示李群作为一套强大的数学语言，如何在抽象代数的殿堂中孕育出对称性的灵魂，并如何以其独特的视角，驱动着数学、物理乃至于众多现代科学领域的前沿探索。本书希望能够激发读者对李群及其应用的兴趣，理解它不仅仅是理论上的精妙构造，更是连接我们对现实世界理解的关键桥梁。愿这本书能够成为您探索数学世界，尤其是李群奥秘的忠实向导。

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这本书的配套资源，特别是其在线学习平台上的额外练习集和可视化工具，为我解决了不少难题。那些交互式的仿真模块，允许我拖动初始条件和参数，实时观察微分方程解集的动态变化，这对于培养直觉至关重要。我曾尝试用其中一个在线求解器验证我手算的一个四阶Runge-Kutta法的例子，发现其结果的精度非常高，并且能清晰地显示每一步的误差估计。这套“理论+实践+可视化”的组合拳，极大地提高了学习效率，真正实现了“学以致用”。对于那些希望深入理解而不是仅仅记住公式的自学者或研究生来说，这种集成化的学习体验简直是无价之宝，它将抽象的数学概念转化为了可触摸、可操作的工具。

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我花了整整一个周末的时间来消化前几章的内容，最大的感受是作者对基础概念的构建异常扎实且循序渐进。他并没有直接跳入高深的解法，而是花费了大量篇幅来阐述求解微分方程背后的物理或几何意义。比如，在讲解常微分方程的稳定性和相图分析时，作者引入了几个非常贴近工程实际的例子，比如振荡系统的阻尼衰减过程，这使得抽象的数学模型立刻变得鲜活起来。我尤其喜欢那种“抽丝剥茧”的讲解方式，每一步的逻辑跳转都考虑到了初学者的思维习惯，使得原本枯燥的符号演算过程，变成了一场富有洞察力的探索之旅。这比起我之前看过的几本教材，那种上来就抛出复杂算子的写法，要人性化得多。可以说，这本书为读者打下了一个坚不可摧的理论地基。

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这本书在高级主题的处理上展现出了极高的学术水准。当读到关于偏微分方程的数值解法部分时，我感到非常震撼。作者没有停留在传统的有限差分法上，而是深入探讨了有限元方法（FEM）的理论基础，包括形函数、单元刚度矩阵的构建，以及非线性问题的迭代求解策略。书中提供了大量的伪代码和算法流程图，这些图示清晰地揭示了复杂算法背后的计算逻辑，而非仅仅是罗列公式。更难能可贵的是，作者在讨论每种方法的局限性时，都非常坦诚，指出其在处理边界条件不规则或高频振荡问题时的潜在缺陷，并暗示了更前沿的研究方向。这种对知识的全面和批判性审视，让这本书不仅仅是一本教科书，更像是一位经验丰富的前辈在传授“实战经验”。

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这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，封面采用了深邃的靛蓝色，搭配烫金的字体，散发出一种古典而又不失现代感的沉稳气质。纸张的选择也十分考究，触感温润，翻阅时几乎听不到纸张摩擦的声响，让人在阅读复杂公式和理论推导时，能保持一种宁静的心境。尤其欣赏的是其排版布局，文字与空白的比例把握得恰到好处，使得即便是长篇的定理阐述，也不会让人感到视觉疲劳。书中对于关键概念的定义和例题的展示，都采用了加粗和缩进的方式进行区分，层次感非常清晰。这本厚重的著作，握在手中，就如同握住了知识的重量，让人对其内容的深度充满了期待。作者在细节上的匠心独运，无疑为这部专业的数学著作增添了极高的收藏价值和阅读体验，光是放在书架上，就能感觉到一股浓郁的书卷气。

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从编辑和校对的角度来看，这本书几乎找不到明显的瑕疵，这在动辄数百页的理工科专著中是相当难得的。我特意对照了其中一个涉及拉普拉斯变换的积分例题，发现所有步骤的细节都推导得非常完整，没有出现漏步或公式引用错误的情况。书后的索引做得非常详尽，按照字母顺序排列了近百个专业术语和符号，方便读者快速定位到概念的首次出现位置或详细解释的页码。唯一的“小遗憾”可能就是，这本书的篇幅实在太大了，携带出门略显笨重，但考虑到其内容的广度和深度，这似乎是无法避免的取舍。总而言之，在出版质量和内容的严谨性上，这本书达到了行业内的顶尖水准。

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这本书的叙述能力要比陈默默要好的太多。积分流形和积分曲线的关系。向量场求其积分流形和最高维的积分曲线

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