國中幾何動動動(四) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:聯經

作者:邢維禮

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005年06月15日

价格:NT$ 380

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isbn号码:9789570828702

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• 國中數學
• 幾何
• 動幾何
• 國中生
• 教材
• 學習輔助
• 九年級
• 升學
• 練習題
• 觀念釐清

《數理思辨的精微：解析現代幾何與拓樸學的基石》 本書旨在為有志於深入探索數學核心領域的讀者，提供一套嚴謹、連貫且富有啟發性的幾何學與拓樸學導論。它並非著眼於初階的平面或立體空間操作，而是將視角提升至更抽象、更具結構性的層面，探討現代數學在空間概念上的重大轉折與發展。 --- 第一章：歐幾里得範式之超越——從公理系統到模型建構 (約 300 字) 本章首先回顧了自古希臘以來，歐幾里得幾何作為經典數學基石的地位與其內在的限制。我們不著墨於教科書式的證明複述，而是聚焦於其「公理化」精神在十九世紀面臨的挑戰——特別是平行公設的獨立性問題。 接著，本書將引導讀者進入非歐幾里得幾何的殿堂。我們將詳細剖析高斯、羅巴切夫斯基與黎曼在曲率概念上的突破，並通過克萊因（Klein）的「幾何學的 Erlangen 綱領」，理解不同幾何系統如何由其特定的「變換群」所定義。這種從結構而非度量出發的視角，是理解後續拓樸學的關鍵橋樑。讀者將學習如何運用微分幾何的初步工具，如曲線和曲面的度量張量，來量化和描述空間的內在性質，而不僅僅是外在的視覺印象。章末會探討這些新幾何學如何在愛因斯坦的廣義相對論中找到物理上的完美體現，從而證明了數學模型的普適性與深刻洞察力。 第二章：拓樸學的誕生——不變量的狩獵與連續變換的藝術 (約 450 字) 拓樸學（Topology），常被戲稱為「橡皮泥幾何學」，其核心在於研究在連續變形下保持不變的空間性質。本章將嚴謹地介紹拓樸學的正式起點。 我們從柯尼斯堡的七橋問題（Königsberg Bridge Problem）及其解決方案——圖論的雛形——切入，說明了「可連通性」這一基本拓樸性質的初步概念。隨後，本書將進入正式的拓樸空間定義。這包括鄰域、開集、閉集的嚴格界定，以及連續函數在拓樸結構下的保持性。 重點章節將深入探討拓樸不變量（Topological Invariants）。讀者將會接觸到最為基礎且強大的工具：同倫群（Homotopy Groups）與同調群（Homology Groups）。我們將詳細講解如何構建一個單連通（Simply Connected）空間的直觀圖像（如球面），並通過「移除一點」的操作，理解 $pi_1(S^1)$——基本群的計算過程。對於同調群，我們將闡述其在區分具有不同「洞」的空間結構上的優勢，例如區分環面（Torus）與雙環面（Double Torus）。書中會使用穩健的數學語言，清晰地區分單純同調（Simplicial Homology）和更抽象的奇異同調（Singular Homology），強調它們如何提供了一套可計算的代數工具來分析拓樸對象的全局形態。 第三章：流形的概念與內蘊幾何的深化 (約 400 字) 流形（Manifolds）是現代數學和理論物理學中描述空間的基礎框架。它們是「局部看起來像歐幾里得空間」的拓樸空間。本章旨在建立從拓樸到微分幾何的過渡。 我們將定義一維、二維及更高維流形，並著重討論可微結構（Differentiable Structure）的重要性。一個拓樸流形若要進行微分運算（如計算切線、曲率），必須賦予一個可微結構，即允許我們在局部使用光滑的坐標系統。本書將詳細探討切空間（Tangent Space）的概念，將局部變化的可能性集合化，使其成為一個向量空間。 接下來的重點是向量叢（Vector Bundles）與纖維叢（Fiber Bundles）。這些結構允許我們在流形上的每點附加一個結構（如切空間），從而研究空間的「橫向」性質。我們將簡要介紹黎曼度量的概念，即如何在流形上定義一個內積（度量張量），這使得我們能夠在不脫離流形本身的前提下，討論長度和角度，實現「內蘊幾何」（Intrinsic Geometry）。這為理解黎曼幾何的抽象性提供了清晰的階梯。 第四章：範疇論的視角——結構的統一與映射的語言 (約 350 字) 為了解決不同數學分支間（如拓樸學、代數、幾何）概念的重複定義與分散性，本章引入了二十世紀中葉興起的強大語言——範疇論（Category Theory）。 範疇論關注的不是物件本身，而是物件之間的「態射」（Morphisms）及其組合法則。本書將以嚴謹的定義介紹範疇、函子（Functors）和自然變換（Natural Transformations）。我們將展示函子如何作為一個「結構保持的翻譯器」，例如，拓樸學中的基本群 $pi_1$ 是一個從拓樸空間範疇到群範疇的函子，它成功地將複雜的拓樸問題轉化為了代數問題。 最後，我們將探討範疇論在幾何學中的應用，例如纖化（Fibrations）與極限（Limits）的概念，這些工具提供了統一描述各種構造（如積空間、商空間）的通用語言。理解範疇論的基礎，能使讀者以更宏觀、更統一的視角審視不同數學領域之間的深刻聯繫，從而為未來涉獵代數拓樸、微分拓樸或代數幾何打下堅實的抽象思維基礎。 --- 總結： 本書的目標是引導讀者跨越初級幾何的表象，進入探討空間結構、不變性、局部與全局關係的現代數學核心。它要求讀者具備紮實的代數基礎和對嚴謹證明方法的適應能力，旨在培養一種能夠在抽象結構中進行有效思辨的能力。

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我必须赞扬这本书在结构安排上的匠心独运。它并非简单地按照章节顺序堆砌知识点，而是构建了一个有机的学习体系。章节之间的衔接非常自然流畅，你会发现上一个章节的知识点，会巧妙地成为下一个章节深入探讨的基础。这种层层递进的设计，使得学习曲线非常平滑，避免了新手在面对新知识时产生的“断层感”。特别是那些章节的总结回顾部分，做得非常到位，它不是简单的知识点罗列，而是用思维导图或者概念联系图的方式，将散落的知识点串联起来，形成一个完整的知识网络。这对于我日后复习和巩固知识点起到了关键作用。我感觉自己不再是零散地记忆一个个孤立的知识点，而是拥有了一张完整的知识地图，可以随时定位和检索信息。这种结构化的梳理，是自学过程中最宝贵的部分。

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这本书的实用性简直超乎想象。它不仅仅是在讲解理论知识，更像是一本“几何问题解决工具箱”。我发现书里收集了很多不同类型和难度的例题，而且例题的选择非常贴近实际应用场景，而不是那种空中楼阁式的假设。更妙的是，对于每一个例题，作者都不仅仅提供了一个标准解法，还会探讨其他可能的思路和捷径。这让我意识到，解决一个几何问题往往不止一条路可走，极大地拓宽了我的思维边界。在学习过程中，我经常会停下来，对比书中提供的不同解法之间的优劣，这种深层次的比较训练，远比单纯地解题更有价值。我感觉自己正在从一个只会套用公式的“机械手”，逐渐转变成一个能够灵活运用知识的“思考者”。这本书真正教会我的，是如何带着问题意识去阅读和学习，而不是被动地接受信息。

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这本书的封面设计真是让人眼前一亮，色彩搭配大胆又和谐，一看就知道是面向年轻读者的。纸张的质感也相当不错，拿在手里沉甸甸的，感觉像是精心制作的艺术品。翻开书本，排版布局非常清晰，字体大小适中，阅读起来毫不费力。更让我惊喜的是，书中的插图和图表制作得极其精美，线条流畅，色彩鲜明，把复杂的几何概念以直观形象的方式呈现出来，这对初学者来说简直是福音。光是浏览这些视觉元素，就已经能感受到作者在制作这本书时所倾注的心血。那种对美感的追求和对知识传播的用心，都融化在了每一个细节里。我尤其喜欢那种手绘风格的插图，让原本枯燥的公式和定理变得生动有趣起来，仿佛在引导我们一步步走进几何的奇妙世界。这本书的整体呈现，完全超越了我对普通教科书的期待，更像是一本精心策划的视觉导览手册，让人迫不及待地想要深入其中探索一番。

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从一个长期与数学打交道的学生的角度来看，这本书最大的价值在于它对“思维定式”的挑战。许多传统的教材倾向于将解题过程“标准化”，久而久之，学生就习惯于按照固定的模板去思考。然而，这本书却不断地鼓励我们跳出那个舒适区。它会时不时地设置一些看似简单实则暗藏玄机的“陷阱题”，逼迫读者停下来，重新审视那些被我们视为理所当然的几何公理和定义。这种对基础的深挖和对假设的质疑，是真正提升数学素养的关键。我开始意识到，几何的魅力不仅仅在于证明过程的严谨，更在于提出新颖角度和独特观察的能力。这本书就像是一面镜子，照出了我思考中的盲区，并用巧妙的方式引导我去弥补这些不足。它不仅仅是教会了我几何知识，更重要的是，它重塑了我处理复杂问题的底层思维逻辑。

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说实话，我原本对这类需要大量计算和逻辑推理的科目总是心存畏惧，总觉得那些抽象的符号和定理离我太遥远。但这本书的文字叙述方式，却有种奇特的魔力，它没有使用那种冷冰冰的、充满学术腔调的语言，而是像一个经验丰富的朋友在耳边轻声细语地解释着每一个概念。它的逻辑推导过程写得特别细致，每一步之间的跳跃都衔接得天衣无缝，即便是最绕口的定理，经过作者的拆解和重组后，也变得清晰易懂。我发现自己竟然能跟上作者的思路，甚至在某些看似无解的证明题面前，也能自己尝试着去构建证明的框架。这种“被引导”的学习体验，极大地增强了我的自信心。它没有直接把答案砸在你面前，而是铺设了一条稳固的、可以让你自己走上去的道路，让你体会到“我懂了”的那种纯粹的成就感。这种教学方法，比起死记硬背，效率高出太多了。

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