具体描述
本书是编者所编的普通高等教育“十五”国家级规划教材——大学数学系列教材之《大学数学（一）》和《大学数学（三）》（高等教育出版社2003年出版）的配套学习辅导教材，可作为大学理科、工科学生学习一元微积分和多元微积分课程的辅导教材，也可供报考研究生的读者作为参考书。 本书的内容与《大学数学（一）》和《大学数学（三）》的内容平行，虽紧扣原教材但又具有相对的独立性，共分十六章，其中前八章为《大学数学（一）
《高等代数精要：概念辨析与解题策略》 本书简介 《高等代数精要：概念辨析与解题策略》旨在为学习高等代数的学生提供一个系统、深入且注重实践的辅导框架。本书的定位并非对基础教材的简单复述，而是力求在扎实的理论基础上，结合大量精心挑选的例题与习题，帮助读者构建起坚实的数学思维，尤其是在抽象概念的理解和复杂问题的求解方面，提供切实可行的指导。 本书内容主要围绕高等代数的核心板块展开，包括但不限于线性空间（向量空间）的深入探讨、线性变换的性质分析、矩阵理论的精细化处理，以及特征值与特征向量的几何意义与计算技巧。我们深知，高等代数的学习往往因其高度的抽象性而成为许多学生的瓶颈，因此，本书在内容的组织上力求“理论清晰化，应用具体化”。 第一部分：线性空间的重构与深化 本部分聚焦于线性空间这一高等代数最核心的基石。我们并未停留在定义层面的罗列，而是着重剖析了线性空间的内禀性质及其与其他数学分支的联系。 基与维数的精细化理解： 除了讲解如何求取一组基，本书将大量篇幅用于探讨不同基之间的转换关系，以及维数概念在解决实际问题中的约束作用。我们引入了基变换的矩阵表示，并详细论述了坐标变换如何影响线性关系的表达，这对于后续理解线性算子的作用至关重要。 子空间与分解： 对和、交、直和等子空间运算进行了详尽的剖析，并通过具体的例子展示了如何利用子空间的性质来简化问题的复杂度。特别地，我们将引入直和分解的概念，展示其在向量空间结构分析中的强大威力，例如，任何向量空间都可以分解为更基本的结构单元的直和。 内积空间： 本部分将内积的概念提升到与一般线性空间同等重要的地位。除了基本的施密特正交化过程，我们深入探讨了正交补的概念及其应用，例如在函数空间中求解最小二乘近似问题。 第二部分：线性变换的结构分析 线性变换是连接不同线性空间或同一空间内部映射的桥梁。本部分的核心目标是揭示线性变换的“本质结构”，而非仅仅关注其矩阵表示。 像空间与核空间（零空间）： 我们不仅会计算像空间和核空间的基，更侧重于理解秩-零化度定理的几何意义——它揭示了变换对空间“压缩”与“保留”的内在平衡。书中包含了大量例子，说明核空间是如何揭示变换的“不可逆性”的。 相似性理论的初步探讨： 矩阵的相似变换是理解线性变换不变性的关键。我们详细阐述了相似矩阵的意义，强调了它们在不同基下描述同一线性变换的等价性。这为后续特征值理论的建立奠定了基础。 对角化与非对角化问题： 对于可对角化的变换，我们将展示如何利用特征向量和特征值构建立方对角矩阵，从而简化对变换的分析。对于不可对角化的情况，本书会引入Jordan标准形的初步概念，解释为什么在一般情况下，我们必须依赖这种更精细的结构来完全刻画一个线性变换。 第三部分：矩阵理论的深度挖掘 矩阵是线性代数中应用最广泛的工具，本书将矩阵理论的讨论推向更深的层次，超越基础的行列式计算。 行列式的多重诠释： 除了作为判断矩阵可逆性的工具，本书将详细阐述行列式作为体积（或定向体积）缩放因子的几何意义，尤其是在高维空间中的线性变换对测度的影响。 逆矩阵的稳定性分析： 对于实际应用中遇到的矩阵，其逆矩阵的存在性往往与计算的稳定性息息相关。我们讨论了矩阵的条件数概念，初步解释了微小扰动如何影响逆矩阵的计算结果。 分块矩阵的运算规则： 分块矩阵在处理大规模系统和特定结构矩阵（如Schur补）时非常有用。本书提供了系统性的分块矩阵乘法和求逆规则，并展示了这些规则在解线性方程组中的实际应用。 第四部分：特征值、特征向量与谱理论基础 特征值和特征向量是理解动态系统和稳定性分析的基石。本书的侧重点在于如何高效、准确地计算它们，并理解它们所代表的物理或几何意义。 特征多项式的计算与根的性质： 我们不仅停留在代数式求解，更会讨论如何利用矩阵的迹和行列式来快速检验特征值的代数和与几何和的关系。对于高次多项式，我们将提供数值逼近方法（例如Power Iteration的原理简介）。 特征空间与特征子空间： 特征向量构成的特征子空间是线性变换作用下保持方向不变的“方向”。本书通过大量实例说明，特征子空间的正交性（在欧几里得空间中）是如何帮助我们将复杂问题分解为相互独立的子问题。 实对称矩阵的谱定理（初探）： 对于实对称矩阵，我们将展示其特征值全部为实数的深刻性质，并引入谱分解的概念。谱分解的意义在于，它可以将一个复杂的线性变换分解为一系列沿着正交基方向的简单拉伸或压缩，这是控制论和量子力学的基础。 配套与习题设置 本书的每一章节后都附有“概念自检与解题提升”模块。这些模块包含： 1. 定义辨析题： 旨在区分易混淆的概念（如线性相关与线性无关、初等行变换与矩阵乘法的作用）。 2. 证明题： 强调对基本定理的深入理解和逻辑推理能力。 3. 计算与应用题： 涵盖了从基础矩阵运算到更复杂的正交投影和线性最小二乘问题的应用，确保读者能将理论应用于实际计算。 本书的目标读者是正在学习高等代数（或代数I/II）的本科生，以及需要回顾和深化知识体系的研究生预备人员。通过本书的学习，读者将能够自信地驾驭抽象代数结构，并为后续的概率论、微分方程、数值分析以及工程学科的学习打下坚实的基础。
作者简介
目录信息
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第一章 集合与函数一、内容要点二、基本要求三、疑难解析四、习题选解第二章 数列的极限与常数项级数一、内容要点二、基本要求三、疑难解析四、习题选解第三章 函数的极限与连续性一、内容要点二、基本要求三、疑难解析四、习题选解第四章 一元函数的导数与微分一、内容要点二、基本要求三、疑难解析四、习题选解第五章 一元函数的积分一、内容要点二、基本要求三、疑难解析四、习题选解第六章 一元微积分的应用
· · · · · · (收起)
第一章 集合与函数一、内容要点二、基本要求三、疑难解析四、习题选解第二章 数列的极限与常数项级数一、内容要点二、基本要求三、疑难解析四、习题选解第三章 函数的极限与连续性一、内容要点二、基本要求三、疑难解析四、习题选解第四章 一元函数的导数与微分一、内容要点二、基本要求三、疑难解析四、习题选解第五章 一元函数的积分一、内容要点二、基本要求三、疑难解析四、习题选解第六章 一元微积分的应用
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