具体描述
本书是面向大学非数学专业的“大学公共数学系列教材”中的一本，本书有如下特色：
(1)在基本保持传统体系和经典内容的同时，注意渗透现代数学思想、概念和方法，在内容的处理方面力求大胆创新。
(2)注重理论联系实际，适当介绍一些数学建模思想、数值计算方法及MATLAB软件的使用方法，使学生感悟到数学与现代计算机技术的有机联系，并体验到用数学知识解决实际问题的过程。
(3)加强分析、代数、几何之间有机联系，使学生对数学的统一性有初步认识。
本书分上、下两册出版。下册内容包括：向量代数与空间解析几何，多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、向量分析与场论初步、含参变量的积分、傅里叶级数、微分方程及一个附录：MATLAB简介及数学实验。本书可适用于非数学专业学生作为微积分教材使用。
《微分几何导论》 一部深入探讨空间几何本质的经典之作 作者：[此处可填写一位知名数学家的名字，例如：李文翰、张志强等] 出版社：[此处可填写一家信誉良好的学术出版社，例如：高等教育出版社、科学出版社等] --- 内容简介： 《微分几何导论》并非仅仅是另一本数学教科书，它是一扇通往理解我们所处空间结构和曲率本质的独特窗口。本书旨在为具备扎实微积分（包括多元微积分和基础线性代数）基础的读者，系统地、深入浅出地介绍现代微分几何的核心概念、方法和基本理论。我们将从最直观的几何直觉出发，逐步过渡到严谨的数学框架，展现几何学如何与分析学、代数结构紧密结合，从而揭示宇宙、物理场以及复杂数据结构背后的深层规律。 本书的结构设计经过精心考量，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾读者的学习曲线和几何直觉的培养。我们相信，只有通过清晰的几何图像和精确的数学推导相结合，才能真正掌握微分几何的精髓。 --- 第一部分：欧几里得空间中的曲线与曲面——几何的萌芽 本部分作为全书的基石，着重于在熟悉的欧几里得三维空间 $mathbb{R}^3$ 中，对一维曲线和二维曲面的几何性质进行细致的刻画和分析。我们不满足于仅用坐标描述，而是致力于寻找那些独立于特定坐标系选择的内在几何量。 第一章：空间曲线的几何 我们将从空间曲线的参数化入手，引入弧长这一自然的内在度量。核心内容聚焦于弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式的推导与应用。通过引入切向量、主法向量、次法向量所构成的局部坐标系，我们精确地定义了曲线的曲率（衡量曲线弯曲程度）和挠率（衡量曲线偏离平面的程度）。这些概念的几何意义将在大量实例中得到阐释，例如螺旋线、椭圆、以及更复杂的空间轨迹。我们还会讨论曲线的等距变换，强调曲率和挠率作为曲线“内在不变量”的地位。 第二章：曲面的基本概念与第一基本形式 从曲线过渡到曲面，我们开始进入二维流形的概念雏形。曲面的参数化表示是基础，但关键在于理解曲面本身的几何性质。本书详细介绍了第一基本形式——它是由曲面的度量张量给出的，是描述曲面上长度、角度和面积的内在工具。我们将探讨第一基本形式的系数 $E, F, G$ 的计算，以及如何利用它们来确定曲面上的测地线（最短路径的推广）。本章致力于建立曲面几何的“度量观”。 第三章：曲面的第二基本形式与主曲率 如果说第一基本形式描述了曲面如何“嵌入”空间，那么第二基本形式则描述了曲面如何“弯曲”。我们引入法向量场，并推导出第二基本形式的系数 $L, M, N$。通过分析正规曲率（Normal Curvature）的概念，我们自然地导出了主曲率和主方向。核心概念——高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）的定义和计算贯穿本章。特别是高斯曲率，作为曲面在 $mathbb{R}^3$ 中的一个内在不变量，将为后续学习微分几何的核心——高斯绝妙定理——做好铺垫。 --- 第二部分：流形理论的建立——从几何到拓扑与分析的桥梁 本部分将我们带离 $mathbb{R}^3$，进入抽象的微分流形的世界。这是现代微分几何的核心，它允许我们将局部欧几里得空间的几何思想推广到任意维度，并使其具有内在的、坐标无关的性质。 第四章：拓扑基础与流形的定义 为了严谨地定义“光滑”的几何空间，我们首先回顾必要的拓扑学概念，如拓扑空间、连续性、紧致性、连通性以及分离公理。然后，我们正式引入光滑流形（Smooth Manifold）的定义，即具有图册（Atlas）和转移函数（Transition Maps）光滑的拓扑空间。本章强调了流形概念的普适性——它不仅适用于描述光滑的几何对象，更是现代物理学（如广义相对论）描述时空的基础框架。 第五章：切空间与向量场 切空间是微分几何中最重要的构造之一。我们将定义流形上每一点的切空间 $T_pM$，它是对曲线在 $p$ 点的“瞬时方向”的数学精确化。通过对曲线的微分作用，我们引出切向量的概念。随后，我们将进一步推广到向量场，视其为光滑地依赖于流形上每一点的切向量的场。本章还会介绍李导数（Lie Derivative）的初步概念，用以衡量向量场如何“拉伸”或“扭曲”其他几何对象。 第六章：张量场与微分形式 要进行真正的“微分”几何运算，我们需要引入张量的概念。本章详细阐述了张量——包括协变张量（如微分形式）和反变张量（如切向量）——的定义、指标的升降规则以及它们的乘积和缩并运算。重点介绍微分 $k$ 形式，它们是光滑函数空间上的线性泛函的推广。我们将定义外积（Wedge Product），并引入关键的外微分算子 $d$。外微分 $d$ 完美地概括了线积分、面积分中的“旋度”和“散度”等概念，并遵循 $d^2=0$这一简洁而深刻的代数关系。 --- 第三部分：内在几何——测地线、曲率与应用 本部分将前两部分的概念整合，引入关于“测地线”、“黎曼度量”以及“曲率张量”的深入讨论，直抵现代微分几何的核心。 第七章：黎曼流形与测地线方程 我们引入黎曼度量张量 $g$，它赋予了流形一个内在的长度和角度的概念，使其成为黎曼流形。黎曼度量是第一基本形式在抽象流形上的推广。基于黎曼度量，我们定义了联络（Connection）的概念，特别是列维-奇维塔（Levi-Civita）联络，它是一种无挠率的联络。通过最小化两点间距离的变分原理，我们推导出测地线方程，即流形上“最短路径”的微分方程。本章详细分析了测地线如何在弯曲空间中表现出“直行”的性质。 第八章：黎曼曲率张量与高斯绝妙定理的推广 这是全书的理论高潮之一。我们将利用联络的概念，定义黎曼曲率张量 $R$。该张量是描述流形弯曲程度的最精细的代数工具，它衡量了向量平行移动的结果是否依赖于路径。我们将展示，黎曼曲率张量可以完全由黎曼度量 $g$ 的一、二阶偏导数决定。随后，本书将推广高斯绝妙定理，指出在黎曼流形上，截面曲率（Sectional Curvature）的概念可以完全由黎曼曲率张量导出，从而完全摆脱对嵌入空间的依赖。 第九章：拓扑与几何的联系——德拉姆上同调 本章将几何分析与代数拓扑紧密结合。我们利用外微分算子 $d$ 构造了德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$。德拉姆定理（Poincaré-de Rham Theorem）的叙述和应用是本章的重点，它确立了微分形式的代数结构与流形的拓扑结构之间的深刻联系。通过分析闭形式和恰当形式，读者将领略到几何结构如何“编码”在拓扑不变量中。 --- 适用对象与特点： 本书适合数学系高年级本科生、研究生，以及物理学、工程学中需要深入理解几何基础的研究人员。 几何直觉导向： 始终从具体实例（如球面、环面）入手，引导读者建立几何直觉。 严谨性保障： 在建立几何直觉后，严格采用张量语言和流形理论进行数学推导，确保理论的完备性。 丰富的例题与习题： 每章后附有大量计算和理论探讨性质的习题，以巩固对核心概念的掌握。 《微分几何导论》将带领读者完成从平面几何到抽象黎曼几何的飞跃，为探索广义相对论、规范场论、拓扑数据分析等前沿领域奠定坚实的数学基石。
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