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出版者:高等教育出版社

作者:罗崇善

出品人:

页数:289 页

译者:

出版时间:1999年1月1日

价格:13.7

装帧:平装

isbn号码:9787040069709

丛书系列:

图书标签:

• 几何
• 高等数学
• 数学
• 代数几何
• 拓扑学
• 微分几何
• 抽象代数
• 数学分析
• 研究生教材
• 学术著作

《光影的几何：从二维到多维空间的视觉探秘》 内容简介 本书旨在带领读者穿越纯粹的数学符号，深入探索几何学在现实世界，尤其是在视觉艺术、工程设计和现代物理学中的深刻应用与美学价值。我们不专注于高等几何中抽象的拓扑结构或微分流形，而是聚焦于具象的、可感知的几何现象，解析光线、阴影、透视和空间构建的底层逻辑。 第一部分：可见世界的几何基础——透视与投影 本部分深入探讨了自文艺复兴以来，艺术家和建筑师如何利用几何原理来模拟三维世界在二维平面上的再现。 1. 欧几里得的延伸： 我们从基础的欧氏几何出发，但重点转向“视点”的概念。讲解透视原理如何从简单的平行线汇聚到灭点（Vanishing Point）这一核心概念衍生出来。详细分析单点透视、两点透视乃至三点透视在建筑设计和绘画构图中的严格数学基础。讨论错觉的艺术——如何通过故意扭曲或夸大透视关系来创造动态或不安的视觉效果。 2. 仿射变换与拉伸： 探讨仿射几何在图形处理中的实际意义。当我们谈论从一个观察角度到另一个观察角度的视图转换时，本质上是在进行线性代数中的仿射变换。解析这些变换如何保持直线和平行性（在特定情况下），但会改变长度和角度，这正是我们观看物体时感知到的基本变化。通过分析不同投影平面（如平面、圆柱面、球面）对原始空间形状的扭曲，阐释地图学和全景摄影的几何难题。 3. 阴影的物理几何： 阴影不仅仅是光线被阻挡的结果，它是一组复杂的几何关系。本章将光线视为直线，深入分析平行光源（如太阳光）和点光源（如灯泡）投射出的阴影形状。重点讨论“自阴影”（物体表面的阴影）和“投射阴影”的边界如何由光源、物体表面法线向量以及接收面的相对位置严格决定。通过解构古典雕塑的光影分布，展示几何如何赋予物体体积感和真实感。 第二部分：非欧几里得的直觉体验——弯曲空间与曲面论的入门 虽然我们避开高等几何的抽象理论，但我们必须接触到“弯曲”的概念，因为这是理解真实世界和理论物理的关键。 1. 黎曼几何的直觉入口： 介绍“测地线”（Geodesics）的概念，将其定义为两点之间“最短的路径”，但在弯曲表面上，这条路径不再是我们熟悉的直线。通过研究球面几何（如飞机的航线规划）和双曲几何（如某些特殊抛物面镜的设计），说明不同几何空间的基本“公理”如何改变距离和角度的测量方式。 2. 曲率的度量： 探讨高斯曲率的概念，将其形象化为局部空间的“鼓起”或“凹陷”程度。利用肥皂膜、马鞍面等日常可见的曲面实例，直观理解“零曲率”（平面）、“正曲率”（球体）和“负曲率”（双曲面）带来的空间感差异。这部分内容解释了为什么在球体上画三角形内角和会大于180度。 3. 拓扑学的初步感知： 引入“不变量”的概念，即无论如何拉伸、扭曲，只要不撕裂或粘合，某些属性保持不变。以咖啡杯和甜甜圈的同胚关系为例，说明拓扑学关注的是物体的“连通性”而非精确的度量。这为理解数据的可视化和网络结构中的基础连接性提供了几何视角。 第三部分：时空与高维的隐喻几何 本部分将几何学的概念提升到更抽象的层面，探索其在描述物理实在中的作用，重点放在“维度”的认知限制与突破上。 1. 四维的幻象：投影与截面： 介绍如何通过观察三维物体在二维平面上的投影（如物体的影子）来推断其三维结构。依此类推，我们通过观察一个四维物体在三维空间中的“截面”或“投影”来理解它。用著名的“超立方体”（Tesseract）的各种二维或三维投影为例，说明我们如何用已知的低维几何工具来想象和描绘高维结构。 2. 相对论的几何框架： 简要阐述爱因斯坦的引力理论如何将牛顿的绝对空间和时间转化为一个统一的、可弯曲的四维“时空”结构。重点在于质量如何“告诉”时空如何弯曲，而时空的弯曲又“告诉”物体如何运动（即遵循时空的测地线）。这种“时空几何”是现代物理学对空间形态的最深刻描述。 3. 数据空间的可视化几何： 探讨在信息时代，几何学如何帮助我们理解高维数据。当我们处理包含数十甚至数百个变量的数据集时，我们实际上是在一个高维“特征空间”中操作。如何利用降维技术（如主成分分析）在保持关键结构的前提下，将高维数据投影到我们能感知的二维或三维空间中进行分析，这是现代应用几何学的核心任务。 总结： 《光影的几何》旨在揭示几何学并非仅仅是枯燥的定理推导，而是构造我们感知世界、理解艺术创作、设计工程结构乃至探索宇宙基本规律的核心工具和语言。本书通过丰富的实例和直观的类比，邀请读者用更具几何洞察力的目光重新审视我们所处的空间。

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