偏微分方程的数值方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司北京公司

作者:J.W.Thomas

出品人:

页数:436

译者:

出版时间:1997-9

价格:65.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787506232999

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 数值方法
• 有限差分法
• 有限元法
• 谱方法
• 计算数学
• 科学计算
• 数值分析
• 工程数学
• 数学模型

现代数值分析基础与应用 内容简介 本书系统性地介绍了现代数值分析领域的核心概念、基本算法及其在工程与科学计算中的实际应用。全书内容结构严谨，逻辑清晰，旨在为读者构建一个坚实的理论基础，并使其掌握解决实际问题的有效工具。 本书首先从误差分析与浮点数运算的理论出发，深入探讨了计算机中数的表示方式及其带来的精度问题，包括绝对误差、相对误差、截断误差和舍入误差的量化与控制。理解这些基础至关重要，它是后续所有数值方法稳定性和可靠性的基石。 接着，本书详细阐述了线性代数方程组的数值解法。这部分内容涵盖了直接法（如高斯消元法、LU分解、Cholesky分解）和迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法、共轭梯度法（CG））。对于大型稀疏系统，本书重点分析了预处理技术（Preconditioning）对迭代收敛速度的显著影响，并对比了各种方法的适用场景和计算复杂度。 在非线性方程求解方面，本书覆盖了单变量和多变量情形。对于单变量方程，讨论了牛顿法、割线法（Secant Method）以及保证收敛的诸如Bisection法和False Position法，并深入分析了牛顿法在收敛域、超线性收敛率以及雅可比矩阵奇异性下的鲁棒性。对于多变量系统，则侧重于牛顿法的矩阵形式扩展及其在优化问题中的初步应用。 插值与函数逼近是数值分析的核心组成部分。本书详尽讲解了插值理论，包括拉格朗日插值、牛顿有限差分插值，并引入了分段插值，尤其是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation），分析了其在保证二阶连续性方面的优势及其在光滑数据拟合中的应用。此外，本书还探讨了最小二乘逼近，用于处理数据点过多或存在噪声的情况，区分了等距和加权最小二乘的构建方法。 数值积分（Quadrature）部分，本书从构造性的角度介绍了牛顿-科茨公式（Newton-Cotes Formulas），如梯形法则和辛普森法则，并推导了其误差项。随后，重点引入了效率更高的高斯求积（Gaussian Quadrature），解释了正交多项式在确定最优节点和权重中的关键作用。对于积分区域复杂或被积函数奇异的情况，本书讨论了自适应积分策略。 常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的数值解法是本书的另一重点。从单步法出发，系统地介绍了欧拉法（前向、后向）及其局部截断误差的分析。随后，深入讲解了龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法，特别是RK4方法的构建原理和高阶精度。对于刚性（Stiff）方程组，本书专门介绍了隐式方法（如后向欧拉法）和Bويل法，并讨论了绝对稳定性域的概念。此外，多步法，如Adams-Bashforth和Adams-Moulton方法，也进行了详尽的对比分析。 最后，本书涵盖了特征值问题的数值计算。除了直接利用矩阵分解求解小规模问题外，本书主要关注大规模稀疏矩阵的求解。详细介绍了幂迭代法（Power Iteration）用于寻找最大特征值，以及QR算法的迭代步骤和其在求解所有特征值方面的强大能力。对于对称矩阵，共轭梯度法（CG）在求解特征值问题中的应用也得到了阐述。 全书辅以大量实际算例和伪代码，帮助读者将理论知识转化为可执行的计算方案。 --- 目标读者 本书适合于数学、物理、工程学（航空航天、机械、土木、电子）、计算机科学以及经济学等领域的高年级本科生、研究生以及从事科学计算、数据建模的科研人员和工程师。读者应具备微积分、线性代数和基础程序设计能力。 核心特色 1. 理论与实践紧密结合： 每一个算法的推导都伴随着严格的误差分析，并提供了在实际应用中选择算法的指导性原则。 2. 算法的稳定性与收敛性分析： 强调对算法稳定性的考察，而不是仅仅关注其形式上的正确性。 3. 面向现代计算需求的覆盖： 重点内容覆盖了处理大规模问题时所必需的迭代技术和稀疏矩阵处理方法。 --- 章节概览 第一章：引论与计算基础 1.1 数值分析的地位与挑战 1.2 浮点数表示与计算机算术 1.3 误差的来源与度量：截断误差与舍入误差 1.4 算法的稳定性、收敛性与效率 第二章：线性方程组的数值解法 2.1 直接法：高斯消元、LU分解与Cholesky分解 2.2 矩阵的条件数与误差敏感性 2.3 迭代法：雅可比、高斯-赛德尔与SOR方法 2.4 求解大型稀疏系统的预处理技术与共轭梯度法基础 第三章：非线性方程求解 3.1 单变量方程：二分法、不动点迭代 3.2 牛顿法及其收敛性分析 3.3 多变量非线性系统的求解：牛顿法的矩阵形式 第四章：插值与函数逼近 4.1 线性插值与插值误差 4.2 多项式插值：拉格朗日与牛顿形式 4.3 分段插值：三次样条插值的构造与性质 4.4 最小二乘逼近：等距与加权拟合 第五章：数值积分 5.1 复合积分法则：梯形与辛普森法则 5.2 牛顿-科茨求积公式的推导与误差分析 5.3 高斯求积：正交多项式与最优节点选择 5.4 自适应数值积分策略 第六章：常微分方程的数值解法（ODEs） 6.1 欧拉方法及其一阶精度分析 6.2 龙格-库塔方法：RK2与经典RK4 6.3 多步法概述：Adams-Bashforth与Adams-Moulton 6.4 刚性方程的数值处理：隐式方法与稳定性域 第七章：特征值问题的数值方法 7.1 问题的背景与应用 7.2 幂迭代法与反向迭代法 7.3 QR算法的原理与实现 7.4 对称矩阵特征值问题的求解：雅可比方法 7.5 求解大型稀疏系统的迭代方法简介 附录A：相关数学工具回顾（向量范数、矩阵分解、泰勒级数） 附录B：常用算法的MATLAB/Python实现示例

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