逆问题数学理论导论 pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:A.Kirsch

出品人:

页数:278

译者:

出版时间:1999-10

价格:42.00元

装帧:

isbn号码:9787506242516

丛书系列:

图书标签:

数学
逆问题
数学
理论
数值方法
正则化
优化
模型识别
数据拟合
科学计算
应用数学

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具体描述

Following Keller [119] we call two problems inverse to each other if the formulation of each of them requires full or partial knowledge of the other. By this definition, it is obviously arbitrary which of the two problems we call the direct and which we call the inverse problem. But usually, one of the problems has been studied earlier and, perhaps, in more detail. This one is usually called the direct problem, whereas the other is the inverse problem. However, there is often another, more important difference between these two problems. Hadamard (see [91]) introduced the concept of a well-posed problem, originating from the philosophy that the mathematical model of a physical problem has to have the properties of uniqueness, existence, and stability of the solution. If one of the properties fails to hold, he called the problem iU-posed. It turns out that many interesting and important inverse problems in science lead to ill-posed problems,, while the corresponding direct problems are well-posed. Often, existence and uniqueness can be forced by enlarging or reducing the solution space (the space of "models"). For restoring stability, however, one has to change the topology of the spaces,which is in many cases impossible because of the presence of measurement errors. At first glance, it seems to be impossible to compute the solution of a problem numerically if the solution of the problem does not depend continuously on the data, i.e., for the case of ill-posed problems. Under additional a priori information about the solution, such as smoothness and bounds on the derivatives, however, it is possible to restore stability and construct efficient numerical algorithms.

　　本书为英文版。

好的，这是一份关于一本名为《逆问题数学理论导论》的图书的简介，内容侧重于该领域的核心概念、发展脉络、应用前景及理论深度，旨在为读者提供一个全面而深入的了解，同时避免提及您提供的具体书名及其内容。 --- 《求解未知：数学逆问题的核心原理与应用前沿》探寻因果的边界：从经典物理到现代计算的跨越在科学研究与工程实践中，我们常常面临一个根本性的挑战：已知事物的结果，却需要回溯探寻其产生的原因或初始条件。这种从观测数据（效应）推导潜在模型或参数（原因）的过程，在数学上被称为“逆问题”。相较于“正问题”——给定模型和输入，预测输出——逆问题往往具有内在的复杂性与挑战性。它们不仅是理论物理、应用数学、计算机科学交织的前沿领域，更是现代数据科学、医学成像、地球物理勘探等领域解决实际难题的关键所在。本书旨在为读者提供一个系统、深入且具有前瞻性的视角，全面剖析逆问题的数学理论基础、数值求解方法及其在多学科中的前沿应用。我们不仅关注问题本身的病态性（Ill-posedness），更致力于阐述如何通过先进的正则化技术和优化算法，将这些看似无解的难题转化为可计算、可信赖的科学模型。第一部分：逆问题的本质——从经典挑战到数学结构本书伊始，我们将深入探讨逆问题的定义及其与正问题的本质区别。经典的正问题通常是良定的（Well-posed），即解的存在性、唯一性和连续依赖于数据。然而，逆问题往往不满足这些条件，其解的不适定性（Ill-posedness）是本领域研究的核心壁垒。我们将详细剖析不适定性产生的原因，这通常源于数据中的噪声、模型的不完备性，以及在高维空间中解的内在不唯一性。通过对经典案例的分析，如积分方程的求解、热传导的反演、以及射线追踪问题，读者将建立起对逆问题数学框架的直观理解。随后，理论部分将聚焦于算子理论在逆问题中的应用。我们将引入泛函分析的工具，将逆问题转化为在希尔伯特空间或巴拿赫空间中的线性或非线性算子方程。这不仅为问题的抽象化提供了严谨的语言，更为后续的正则化方法奠定了坚实的理论基础。我们强调对算子零空间、像空间及其共轭算子的深入理解，这是判断问题可解性与否的关键。第二部分：驯服病态性——正则化理论与数值策略面对不适定性，直接的最小二乘法往往会放大数据噪声，导致解的剧烈振荡和不可接受的物理意义。因此，正则化（Regularization）是逆问题求解的灵魂所在。本书将系统地介绍和比较各类主要的正则化方法： 1. 经典Tikhonov正则化：深入解析基于范数惩罚的经典方法，探讨正则化参数的选择准则，如L曲线法、广义交叉验证（GCV）等，并分析其在稳定解构造中的作用。 2. 稀疏性驱动的正则化：随着信号处理和压缩感知理论的发展，L1范数正则化（LASSO）及相关方法已成为处理高维稀疏问题的首选。本书将详细阐述这些方法如何通过优化目标函数来引导产生结构化的、稀疏的解，并探讨其与凸优化理论的紧密联系。 3. 基于全变差（TV）的正则化：尤其适用于图像处理和恢复领域，TV正则化能够有效保持解的边缘信息，抑制“过度平滑”效应。我们将分析其非光滑优化特性以及高效求解算法（如ADMM）。 4. 贝叶斯框架下的处理：从概率论的角度审视逆问题，将先验信息纳入模型，通过最大后验概率（MAP）估计或马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法来获取解的统计特性。这种方法为量化解的不确定性提供了强大的工具。在数值方法方面，我们将讨论迭代反演算法，如Landweber迭代、共轭梯度法（CG）在正则化框架下的应用，以及针对大规模问题的预条件技术。重点在于算法的收敛性分析、计算效率与解的精度之间的权衡。第三部分：前沿应用与跨学科整合逆问题的理论并非空中楼阁，其价值体现在对现实世界复杂系统的建模与反演能力上。本书的最后部分将选取多个具有代表性的应用领域，展示理论如何转化为强大的工程解决方案： 1. 医学与生物成像：从经典的X射线断层扫描（CT）到最新的磁共振成像（MRI）和光学层析成像（OCT），逆问题是重建内部结构图像的基础。我们将讨论如何利用先验知识（如组织的可分离性、边缘的平滑性）来提高成像质量和速度。 2. 地球物理与遥感：诸如地震波反演、重力场和磁场异常的反演，旨在揭示地下地质结构。这些问题通常涉及大规模的非线性反演，对数值稳定性和计算资源提出了极高要求。 3. 信号处理与系统辨识：在通信、声学和振动分析中，逆问题用于识别系统的动态特性或恢复被退化、混叠的原始信号。 4. 机器学习与深度学习的融合：近年来，深度神经网络被用作“学习到的先验”或直接用于求解复杂的非线性逆问题。我们将探讨深度先验如何替代传统的正则化项，以及如何设计能够处理不适定性的网络架构。结语：面向未来的挑战《求解未知：数学逆问题的核心原理与应用前沿》不仅是一本教科书，更是一份对数学前沿挑战的宣言。它引导读者从基础的数学结构出发，逐步掌握现代求解工具，最终能够批判性地分析和解决那些涉及数据不完备、模型不确定性的真实世界难题。本书适合数学、物理、工程、计算机科学等领域的本科高年级学生、研究生以及致力于数据驱动科学研究的专业人士阅读。掌握逆问题的理论，就是掌握了从表象到本质、从结果到原因的强大数学能力。