具体描述
《线性代数导引》是面向21世纪的高等代数课程教材，也是“高等教育面向21世纪教材内容和课程体系改革计划”的一项研究成果。《线性代数导引》分上下两篇。上篇主要介绍矩阵代数、行列式、线性空间、对称双线性度量空问、Euclid空间等。下篇介绍线性变换、线性空间关于线性变换的一类直和分解、正交与对称变换、矩阵的相似标准形等内容。全书共九章，每章后设有相当的习题，各章节给出若干“注意”，基本上可供习题课使用。《线性代数导引》的主要特点是突出了“线性相关性”并贯穿全书；在理论的具体开发上，使用了许多独特的处理方法和技巧。
《线性代数导引》可供高等学校数学系各专业师生及相关的数学工作者使用。
宇宙的结构与变换：高等数学视角下的几何实在 本书简介 本书旨在为读者提供一个深入且富有洞察力的视角，去理解构成我们所处宇宙的基本数学框架——高等数学。我们不聚焦于特定分支的工具性应用，而是将目光投向那些奠定一切科学与工程基础的宏大概念：连续性、极限、无穷的精确处理，以及变化率的量化描述。 本书的结构设计，旨在逐步引导读者从直观的几何概念出发，跨越到严谨的分析体系，最终触及现代物理学和复杂系统建模的核心思想。我们相信，真正理解高等数学，并非在于熟练掌握公式的推导，而在于掌握其背后的思维范式——即如何用精确的语言描述和预测自然界中永恒的“流动”与“变化”。 第一部分：量化运动的基石——微积分的精确定义 本部分将深入探讨高等数学的两个核心支柱：微分学和积分学。不同于许多初级教材侧重于公式应用，我们强调其几何意义和物理内涵。 1.1 极限与连续性的悖论：无穷的精确度量 我们将从“无穷小”这一古老而迷人的概念出发，引入$epsilon-delta$ 语言的严谨性。读者将学习如何用集合论的工具来精确定义函数的极限，理解函数的连续性并非仅仅是“没有断点”，而是对输入微小扰动下输出稳定性的严格保证。我们将探讨有界闭区间套定理和魏尔斯特拉斯极值定理的深刻意义，它们是证明许多后续重要结论的基石，揭示了在有限约束条件下，连续函数所固有的规律性。 1.2 瞬时变化的艺术：导数的本质 导数被引入为衡量函数在某一点上变化速率的工具。本书将详细分析导数的几何意义（切线的斜率）和物理意义（瞬时速度）。我们不会止步于基本函数的求导法则，而是深入研究链式法则的深层结构——它如何描述复合过程中的依赖关系。更进一步，我们将探讨高阶导数的概念，它们如何揭示曲线的凹凸性（二阶导数）以及更精细的变化趋势。 1.3 积累与面积的精确量化：黎曼积分的构建 积分学的引入，旨在解决“求和”的极限问题。我们不会简单地将定积分定义为面积，而是构建黎曼和的极限过程。这一过程要求读者精确理解如何划分区间、如何选取样本点，以及当划分趋于无穷细密时的收敛性。我们将证明微积分基本定理——牛顿与莱布尼茨的伟大发现——它揭示了微分与积分之间深刻的对偶关系，是人类思维史上最精妙的联结之一。我们还将讨论反常积分，即涉及无穷区间或函数不连续点时的积分处理方法，这为处理无限累积问题提供了必要的工具。 第二部分：超越一维的分析：多变量函数与空间几何 一旦理解了单变量函数的动态特性，我们将视野扩展到多维空间。高等数学的核心挑战在于，如何将一维的确定性推广到复杂的多变量系统中。 2.1 多元函数的结构与偏导数 本书将详细介绍偏导数的概念，这标志着我们开始考察函数在不同方向上的独立变化趋势。通过方向导数，我们将引入梯度向量的概念。梯度不仅仅是一个向量，它是函数值增长最快的方向的指示器，是理解多维地形图的关键所在。我们还将探讨多变量链式法则的复杂结构，以及如何利用Hessian矩阵来分析高维曲面的极值和曲率。 2.2 路径、曲面与场论的萌芽 本部分将引入参数方程来描述曲线和曲面，并将积分的概念扩展到这些对象上。线积分和面积分的引入，使我们能够计算沿特定路径的累积效应（如功的计算）或穿过特定曲面的通量。这部分内容为后续的物理学和工程学应用（如流体力学、电磁学）奠定了严格的分析基础。 第三部分：无穷序列的精确控制与收敛性 无穷序列和无穷级数的收敛性是高等数学中对“无穷”处理最精妙的部分。 3.1 序列的极限与级数的收敛判据 我们将严谨地分析数列的收敛性，重点关注单调有界定理的威力。随后，我们将转向无穷级数。读者将学习各种收敛性判据（如比值检验、根值检验、积分检验），理解为何有些无穷和能够收敛于一个确定的有限值，而另一些则会发散到无穷。 3.2 强大的工具：幂级数与函数的解析表示 本书的重点之一是泰勒级数和麦克劳林级数。我们不仅会计算常见函数的展开式，更会深入探讨泰勒定理的余项，以精确界定用有限项近似无穷级数的误差。幂级数提供了一种将复杂函数（如指数、三角函数）转化为多项式形式的能力，这在解析求解微分方程和逼近复杂计算中具有不可替代的地位。我们将讨论收敛半径的概念，它定义了这种解析表示法的有效范围。 结语：从量变到质变 本书不提供任何关于矩阵代数、向量空间或线性变换的论述。我们的目标是奠定分析学的坚实基础。通过对极限、导数、积分和无穷序列的深入研习，读者将掌握一种看待世界的方式——即认识到宇宙万物，无论宏观还是微观，其内在规律都可以被精确地量化，并用连续且严谨的数学语言清晰地表达出来。本书的最终目标是培养读者对“变化”的精确直觉和对“无穷”的严谨掌控力。
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