Grobner基與環上綫性遞歸陣列 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:高等教育齣版社

作者:陸佩忠 編

出品人:

頁數:226

译者:

出版時間:1900-1

價格:23.80元

裝幀:

isbn號碼:9787040112504

叢書系列:

圖書標籤:

• Grobner基
• 環論
• 代數幾何
• 綫性代數
• 編碼理論
• 計算機代數
• 多項式環
• 理想理論
• 算法
• 抽象代數

深度解析與前沿探索：現代代數、計算方法及應用基礎 圖書簡介： 本書旨在為讀者提供一個全麵、深入的現代代數基礎知識體係，並著重探討這些理論在計算機科學、編碼理論、信息安全以及特定工程應用中的實際構建與計算方法。全書結構嚴謹，內容涵蓋瞭從經典代數結構到高級計算技巧的廣闊領域，力求在理論的深度與實踐的廣度之間找到最佳平衡。 第一部分：抽象代數基礎與結構探究 本書的開篇部分緻力於鞏固讀者對核心抽象代數概念的理解。我們首先從群論（Group Theory）的視角切入，詳細闡述瞭有限群與無限群的結構性質，包括子群、陪集、同態、同構定理，並對置換群（Symmetric Groups）及其在對稱性分析中的作用進行瞭細緻的討論。特彆地，我們將引入 $p$-群、交換群以及非交換群的分類特徵，為後續的環論和域論打下堅實的基礎。 接著，我們將重點轉嚮環論（Ring Theory）。不同於僅停留在基本定義，本書深入探討瞭環的同態、理想（Ideals）的性質，特彆是主理想域（Principal Ideal Domains, PIDs）和唯一因子分解域（Unique Factorization Domains, UFDs）的定義、特徵及其相互關係。我們將對 Noetherian 環和 Artinian 環的結構進行分析，並討論瞭分數域（Fields of Fractions）的構造方法。在這一部分，我們將著重分析多項式環 $R[x]$ 的特殊性，特彆是當 $R$ 是一個域時，多項式環所具備的優良性質，這為後續的計算代數奠定瞭理論基石。 域論（Field Theory）部分則聚焦於域的擴張。我們詳細考察瞭代數擴張、有限擴張的次數，以及正規擴張和伽羅瓦群（Galois Group）的概念。伽羅瓦理論作為連接域論與群論的關鍵橋梁，將被細緻闡述，重點分析其如何解決經典幾何作圖問題（如化圓為方、三等分角）以及五次及以上方程的根式解問題。此外，有限域（Finite Fields）的構造及其在編碼理論中的核心地位將被充分強調。 第二部分：模塊與綫性代數的高級視角 本部分將綫性代數的概念提升到更抽象的代數結構——模塊（Modules）的層麵。模塊論是對嚮量空間理論的推廣，它允許我們將標量域替換為更一般的環。我們將定義左模塊、右模塊，並討論子模塊、商模塊、同態以及同構定理。 綫性代數中的核心概念如綫性變換、矩陣的相似性，將被置於模塊的框架下重新審視。重點內容包括： 1. 模的結構理論： 對有限生成模塊的結構進行分解，特彆是對於 PID 上的模塊，如 $mathbb{Z}$-模（即阿貝爾群）的分類定理，展示瞭如何將復雜的結構分解為更簡單的直和形式。 2. 張量積： 詳細定義張量積（Tensor Products）的概念，並探討其在構建更高維空間和研究雙綫性映射中的作用。張量積的構造與性質，特彆是在環擴張和模之間的聯係，將被深入剖析。 3. 矩陣分解與規範形： 盡管本書側重於代數結構，但我們仍會迴顧並深化對矩陣相似規範形（如 Jordan 範式）的理解，將其與模塊的分解理論聯係起來，強調這些規範形在錶示理論中的意義。 第三部分：計算代數方法與復雜結構處理 本部分是理論與計算實踐的交匯點。我們關注如何利用前述的代數結構，設計和實現高效的計算算法來解決涉及多項式和代數方程組的問題。 1. 多項式環上的理想計算： 這一節將深入探討計算代數的核心工具——希爾伯特基礎（Hilbert Basis Theorem）的應用，並引入理想的生成元與基的概念。我們將會細緻地分析如何利用這些工具來判定一個多項式集閤是否滿足某些代數性質。 2. 計算復雜性與結構化算法： 盡管本書不直接側重於特定的計算代數算法，但我們將討論在處理高維代數結構時，算法設計的挑戰，例如如何有效地錶示和操作具有特定結構（如對稱性、稀疏性）的代數對象。我們將探討如何利用域的擴張性質來簡化多項式的分解過程，以及如何通過構建特定的代數結構來優化特定計算任務的復雜度。 3. 代數在離散係統中的體現： 最後，本書將展示代數結構在處理離散係統中的應用潛力。我們將討論如何利用有限域上的代數結構來構造高效的錯誤糾正碼（如 BCH 碼或 Reed-Solomon 碼的理論基礎），以及在有限域上求解綫性方程組的算法效率分析。 目標讀者： 本書適閤於數學、計算機科學、電子工程及物理學專業的高年級本科生和研究生，以及緻力於深化代數基礎知識和探索其在現代計算領域應用的科研人員和工程師。閱讀本書需要具備基本的微積分和綫性代數知識。

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