具体描述
本书用交换代数、同调代数和Grobner基建立交换环(特别是QP环)上的线性递归阵列的理论，并将该理论应用到纠错编码、信号分析和密码分析等相关的信息技术领域中。本书给出多项式理想I的阵列零化模ZerM(I)与HomR(R［X］/I，R)之间的基本对偶定理，从而构造出ZerM(I)的生成元集。由此进一步确定函子ZerM与函子AnnR［X］构成互逆的Galois对应的充分必要条件，从而得到了QF环R上多项式环R［X］中任意理想的阵列模形式的零点定理。该定理的形式和功效都类似于HilbertNullstellensatz定理，因而该定理在LRA理论研究中是基本的和紧要的。本书给出I恰是域F上的一个LRA的特征理想的简明的判别公式，并将该公式逐步推广到QF环上。从而解决了Nechaev提出的公开难题，并揭示了QF环上高维循环码的结构.本书还论述了Grobner基在代数编码，特别是循环码和代数几何的译码等领域内的重要应用，并由此清晰地揭示了有限LRS的齐次特征理想的极小Grobner基中的每个元素与Berlekamp-Massey的序列综合算法中的每一步之间的精密联系，还揭示了环上高维循环码的循环模结构。
深度解析与前沿探索：现代代数、计算方法及应用基础 图书简介： 本书旨在为读者提供一个全面、深入的现代代数基础知识体系，并着重探讨这些理论在计算机科学、编码理论、信息安全以及特定工程应用中的实际构建与计算方法。全书结构严谨，内容涵盖了从经典代数结构到高级计算技巧的广阔领域，力求在理论的深度与实践的广度之间找到最佳平衡。 第一部分：抽象代数基础与结构探究 本书的开篇部分致力于巩固读者对核心抽象代数概念的理解。我们首先从群论（Group Theory）的视角切入，详细阐述了有限群与无限群的结构性质，包括子群、陪集、同态、同构定理，并对置换群（Symmetric Groups）及其在对称性分析中的作用进行了细致的讨论。特别地，我们将引入 $p$-群、交换群以及非交换群的分类特征，为后续的环论和域论打下坚实的基础。 接着，我们将重点转向环论（Ring Theory）。不同于仅停留在基本定义，本书深入探讨了环的同态、理想（Ideals）的性质，特别是主理想域（Principal Ideal Domains, PIDs）和唯一因子分解域（Unique Factorization Domains, UFDs）的定义、特征及其相互关系。我们将对 Noetherian 环和 Artinian 环的结构进行分析，并讨论了分数域（Fields of Fractions）的构造方法。在这一部分，我们将着重分析多项式环 $R[x]$ 的特殊性，特别是当 $R$ 是一个域时，多项式环所具备的优良性质，这为后续的计算代数奠定了理论基石。 域论（Field Theory）部分则聚焦于域的扩张。我们详细考察了代数扩张、有限扩张的次数，以及正规扩张和伽罗瓦群（Galois Group）的概念。伽罗瓦理论作为连接域论与群论的关键桥梁，将被细致阐述，重点分析其如何解决经典几何作图问题（如化圆为方、三等分角）以及五次及以上方程的根式解问题。此外，有限域（Finite Fields）的构造及其在编码理论中的核心地位将被充分强调。 第二部分：模块与线性代数的高级视角 本部分将线性代数的概念提升到更抽象的代数结构——模块（Modules）的层面。模块论是对向量空间理论的推广，它允许我们将标量域替换为更一般的环。我们将定义左模块、右模块，并讨论子模块、商模块、同态以及同构定理。 线性代数中的核心概念如线性变换、矩阵的相似性，将被置于模块的框架下重新审视。重点内容包括： 1. 模的结构理论： 对有限生成模块的结构进行分解，特别是对于 PID 上的模块，如 $mathbb{Z}$-模（即阿贝尔群）的分类定理，展示了如何将复杂的结构分解为更简单的直和形式。 2. 张量积： 详细定义张量积（Tensor Products）的概念，并探讨其在构建更高维空间和研究双线性映射中的作用。张量积的构造与性质，特别是在环扩张和模之间的联系，将被深入剖析。 3. 矩阵分解与规范形： 尽管本书侧重于代数结构，但我们仍会回顾并深化对矩阵相似规范形（如 Jordan 范式）的理解，将其与模块的分解理论联系起来，强调这些规范形在表示理论中的意义。 第三部分：计算代数方法与复杂结构处理 本部分是理论与计算实践的交汇点。我们关注如何利用前述的代数结构，设计和实现高效的计算算法来解决涉及多项式和代数方程组的问题。 1. 多项式环上的理想计算： 这一节将深入探讨计算代数的核心工具——希尔伯特基础（Hilbert Basis Theorem）的应用，并引入理想的生成元与基的概念。我们将会细致地分析如何利用这些工具来判定一个多项式集合是否满足某些代数性质。 2. 计算复杂性与结构化算法： 尽管本书不直接侧重于特定的计算代数算法，但我们将讨论在处理高维代数结构时，算法设计的挑战，例如如何有效地表示和操作具有特定结构（如对称性、稀疏性）的代数对象。我们将探讨如何利用域的扩张性质来简化多项式的分解过程，以及如何通过构建特定的代数结构来优化特定计算任务的复杂度。 3. 代数在离散系统中的体现： 最后，本书将展示代数结构在处理离散系统中的应用潜力。我们将讨论如何利用有限域上的代数结构来构造高效的错误纠正码（如 BCH 码或 Reed-Solomon 码的理论基础），以及在有限域上求解线性方程组的算法效率分析。 目标读者： 本书适合于数学、计算机科学、电子工程及物理学专业的高年级本科生和研究生，以及致力于深化代数基础知识和探索其在现代计算领域应用的科研人员和工程师。阅读本书需要具备基本的微积分和线性代数知识。
作者简介
目录信息
第1章 线性递归阵列理论的研究概
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读后感
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