惯性流形与近似惯性流形 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:戴正德 郭柏灵

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2000-01-01

价格:19.0

装帧:

isbn号码:9787030075963

丛书系列:现代数学基础丛书

图书标签:

• 动力系统
• 常微分方程
• 非线性分析
• 几何分析
• 拓扑动力学
• 流形
• 近似解
• 数值分析
• 稳定性
• 混沌

《流形拓扑与微分几何基础》 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面且深入的现代微分几何与拓扑学基础。全书结构严谨，逻辑清晰，从最基本的集合论和点集拓扑概念出发，逐步过渡到光滑流形、张量分析、黎曼几何的核心理论，并辅以丰富的实例和应用背景。 第一部分：点集拓扑与基本结构 本部分首先回顾了必要的集合论背景，重点阐述了拓扑空间的定义、连续性、紧致性、连通性等基本性质。我们详细讨论了度量空间的概念，并将其推广到更一般的拓扑空间。随后，引入了商空间的构造方法，这对于理解后续的构造性几何对象至关重要。特别地，本章对纤维丛的初步概念进行了介绍，为理解流形上的切丛结构奠定了基础。 第二部分：光滑流形与微分结构 光滑流形是现代几何学的核心研究对象。本部分将聚焦于光滑结构的精确定义与构造。从局部坐标系、图册到光滑结构的兼容性要求，我们细致地勾勒出光滑流形的内在结构。我们将深入探讨光滑函数的概念，以及如何定义流形上的微分映射。 关键内容包括： 1. 切空间的概念与构造： 详细讨论了切向量的定义，无论是通过曲线还是通过微分算子（向量场）的视角。切空间的自然线性结构将被严格证明。 2. 向量场与微分形式： 对向量场的代数结构（李括号）进行了深入分析，并引入了微分形式（外代数）作为研究流形上积分和微分解析的有力工具。李导数和外微分的性质将被详尽阐述。 3. 张量代数： 提供了关于协变张量、反变张量以及混合张量的完备介绍，包括张量的指标表示法和在坐标变换下的行为。这是理解黎曼几何中度量张量的先决条件。 第三部分：黎曼几何的基石 在光滑流形的基础上，本部分引入了度量结构，从而进入黎曼几何的领域。黎曼度量 $g$ 的定义及其性质是本部分的核心。 联络与平行移动： 我们将详细讨论联络的概念，特别是仿射联络的定义。重点放在 Levi-Civita 联络的唯一性证明上，该联络由黎曼度量自然导出，保证了正交平行移动的存在性。 曲率理论： 曲率是描述空间弯曲程度的关键不变量。本章将推导出黎曼曲率张量 $R$，并详细介绍其满足的 Bianchi 等式。我们将探讨截面曲率、平均曲率等重要概念，并以曲面上的高斯绝妙定理为例，展示曲率在低维空间中的具体意义。 测地线方程： 基于黎曼度量定义的测地线是流形上“最短路径”的推广。我们将推导测地线方程，并讨论测地线的完备性问题。 第四部分：拓扑学在几何中的应用与拓展 本部分将视角转向拓扑学在几何中的更广泛应用，特别是涉及全局性质的讨论。 纤维丛与陈类： 我们将重新审视纤维丛的概念，特别关注向量丛。介绍如何利用上同调理论（如 De Rham 上同调）来定义和计算陈类（Chern Classes）和欧拉类（Euler Class）。这些拓扑不变量在微分几何中扮演着至关重要的角色，是区分不同几何结构的强大工具。 流形上的积分与拓扑联系： 讨论 Stokes 定理在光滑流形上的推广，展示了微分形式的积分如何与流形边界上的积分建立起深刻的联系。这部分内容将展示拓扑学对全局性质的约束力。 本书特点： 本书的写作风格力求严谨而富有启发性。每一个定义和定理的引入都伴随着清晰的几何直觉描述。大量的练习题被设计在章节末尾，旨在帮助读者巩固理论并发展解决实际问题的能力。本书不仅适合作为高等几何和拓扑学课程的教材，也为致力于深入研究广义相对论、规范场论以及现代拓扑数据分析的科研人员提供了坚实的数学基础。我们避免了对特定应用（如流形上的动力系统或特定的物理模型）的过度深入，专注于构建一个纯粹、完备的几何分析框架。 --- 《拓扑动力学系统：不变集与熵理论》 内容简介 本书全面考察了拓扑动力系统的理论基础、关键概念及其分析工具，重点聚焦于系统在长时间尺度上的长期行为、不变集的结构以及测度论在描述复杂性中的应用。全书严格遵循从基础定义到高级定理的递进结构，旨在为读者构建一个清晰、深刻的拓扑动力学图景。 第一部分：动力系统的基础框架与拓扑动力学定义 本部分奠定基础，首先回顾了必要的拓扑学预备知识，如紧致性、完备性以及函数空间的拓扑。随后，我们正式引入拓扑动力系统的定义——一个紧致豪斯多夫空间 $X$ 上的连续自映射 $f: X o X$（或 $mathbb{R}$ 作用下的连续流 $phi: X imes mathbb{R} o X$）。 核心概念包括： 1. 轨道与平移集： 详细定义了前象、后象、轨道以及平移集的拓扑性质。 2. 不变集与最小集： 探讨了不变集的代数结构，并对动力学系统中最小集的性质进行了详尽分析，特别是关于极小系统的讨论。 3. 极限集与吸引子： 区分了各类极限集（如吸引子、排斥子），并分析了它们在拓扑结构上的依赖性。 第二部分：稳定性、敏感性与混沌的拓扑刻画 本部分深入探讨动力系统行为的敏感性，这是区分规则行为与混沌行为的关键拓扑特征。 依赖于初始条件的敏感性 (SSOD)： 严格定义了 SSOD，并将其与拓扑混合性进行对比。 拓扑混合性 (Topological Mixing)： 详细分析了混合性作为一种全局的“混合”行为的含义，并探讨了其在周期系统中的缺失。 弱相连接性与混沌： 引入了 $C_0$-敏感性，以及更严格的拓扑熵概念作为量化混沌复杂性的工具。 第三部分：拓扑熵理论与度量生成 拓扑熵是衡量动力系统复杂性的核心不变量。本部分将该理论从有限空间推广到一般紧致豪斯多夫空间。 1. 覆盖与熵的定义： 基于覆盖（Cover）和精细覆盖（Refinement），严格定义了拓扑熵 $h(f)$。我们将详述其满足的单调性、可加性等基本性质。 2. 与度量熵的关系： 明确阐述了拓扑熵与特定度量下的度量熵（Metric Entropy）之间的关系，特别是著名的 Brin-Katok 公式（在光滑流形上的特例介绍）。 3. Bowen 压伸因子与凸函数： 引入 Bowen 的压伸因子（Expansive Property）概念，并讨论了具有正拓扑熵的系统在拓扑结构上的限制。 第四部分：不变集的进一步结构分析 本部分关注不变集内部的精细结构，特别是那些控制着系统全局行为的关键子集。 马尔可夫分区与循环结构： 在具有足够正则性的系统中（如单变量映射），讨论马尔可夫分区的构造，以及如何利用这些分区来分析系统的周期点和循环结构。 延拓性与紧致性： 分析了系统在不同拓扑空间间的延拓问题，以及如何利用紧致性保证某些结构（如周期点）的存在性。 泛函空间上的动力学： 简要探讨了动力学系统在函数空间（例如函数空间上的算子）上的应用，涉及更抽象的拓扑结构。 全书结构紧凑，理论推导扎实，旨在为读者提供一套完整的工具箱，用于分析和区分复杂动力学现象的拓扑本质。本书不涉及具体的微分方程解法，所有分析均基于系统的拓扑特性和迭代结构。

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