具体描述
《21世纪高等院校教材•数学实验》把数学教学内容与计算机技术以及实际问题的建模与求解三者结合，以数值计算软件MATLAB 6.X作为统一的计算平台，介绍了MATLAB 6.X作为数学（主要是微积分与线性代数）计算工具的操作与编程，所介绍的12个综合实验涉及生物数学应用的主要方面，6个实验范例涉及多个领域的应用，能使读者在思维能力和创造性方面受到启迪。
《21世纪高等院校教材•数学实验》可作为高等院校本科非数学专业的工、理、农、经、管、法专业“数学实验”课教材，亦可作为有关技术人员和管理工作者的参考书。
探索数字世界的奥秘：《计算数学与科学建模导论》 内容简介 本书旨在为高等院校的理工科学生提供一套全面而深入的计算数学与科学建模基础知识体系。我们着重于理论与实践的紧密结合，引导读者理解如何运用数值方法解决复杂的实际问题，并掌握现代科学计算的核心工具和思想。全书结构严谨，内容涵盖了数值分析的经典理论、科学计算的实用技术，以及如何构建和求解实际系统的数学模型。 第一部分：数值分析基础——精确的逼近 本部分聚焦于数值计算的核心基石。在数字化时代，我们无法总是依赖解析解，因此，理解和掌握如何进行可靠的数值逼近至关重要。 1. 误差分析与浮点运算 我们从误差的本质入手，详细讨论了有限精度计算中出现的舍入误差、截断误差和模型误差。对IEEE 754浮点标准的深入剖析，使读者清晰认识到计算机如何表示实数，以及在进行加减乘除等基本运算时可能产生的精度损失。我们通过大量实例展示了“病态问题”的危害，强调了数值稳定性的重要性。 2. 非线性方程的求解 本章系统介绍了求解单变量和多变量非线性方程的迭代方法。从基础的二分法、不动点迭代开始，逐步过渡到更高效的牛顿法及其变体（如割线法）。对于多变量系统，我们详细阐述了多维牛顿法、拟牛顿法（BFGS/DFP）的原理和实现细节，重点分析了收敛速度和收敛域的确定。特别地，我们讨论了如何选择合适的初始点以保证算法的全局收敛性。 3. 矩阵特征值问题的数值解法 特征值与特征向量在物理、工程和数据科学中扮演核心角色。本章详细介绍了计算大型稀疏矩阵特征值的方法。我们涵盖了幂法（Power Iteration）用于寻找最大特征值，反幂法（Inverse Iteration）用于寻找接近特定值的特征值。对于全矩阵，我们介绍了QR分解算法的原理，包括如何通过Householder反射和Givens旋转将矩阵转化为Hessenberg或三对角形式，从而显著提高后续迭代的效率。 4. 插值与函数逼近 函数逼近是数值分析中另一项基本技能。我们首先介绍了插值法的核心思想，包括拉格朗日插值和牛顿有限差分插值，并着重分析了Runge现象对高次多项式插值稳定性的影响。为克服此问题，本书重点讲解了样条插值（Spline Interpolation），特别是自然三次样条和钳位三次样条的构造与应用，展示了它们在平滑数据和函数重建方面的优越性。此外，还引入了最佳一致逼近（Chebyshev逼近）的基本概念。 5. 数值积分 精确计算定积分在很多情况下是不现实的。本部分系统地介绍了复合求积公式，包括复合梯形法则和复合辛普森法则，并推导了其误差公式。核心章节聚焦于高斯求积（Gauss Quadrature），解释了如何通过选择最优的节点和权重来实现代数精度最大化。对于积分区域不规则或被积函数奇异的情况，我们探讨了自适应求积策略。 第二部分：微分方程的数值解法 常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）是描述自然界和工程系统动态行为的数学语言。本部分专注于如何将这些方程转化为可计算的数值问题。 6. 常微分方程（ODE）的数值解法 对于一阶初值问题（IVP），本书详细介绍了显式和隐式欧拉方法、龙格-库塔（Runge-Kutta）方法，特别是经典的四阶RK4算法及其高阶改进。重点分析了方法的稳定性和精度，并深入讨论了刚性（Stiff）方程的特点及求解刚性方程所需的隐式方法，如向后差分公式（BDF）。最后，我们探讨了如何进行时间和步长自适应控制，以满足预设的误差容忍度。 7. 偏微分方程（PDE）的数值离散 处理PDE需要更复杂的网格和离散化技术。本书主要侧重于两个强大的方法：有限差分法（FDM）和有限元法（FEM）的初步介绍。 有限差分法： 详细阐述了如何使用中心差分、前向差分和后向差分来离散化一维和二维拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程的边界条件。我们分析了这些离散方案的相容性、稳定性和收敛性（CFL条件）。 有限元法导论： 提供了FEM的基本框架，解释了变分原理、形函数（Basis Functions）的构建，以及如何将其应用于求解泊松方程，为读者后续深入学习更高级的FEM打下坚实基础。 第三部分：科学建模与计算实现 理论必须通过实践来验证和应用。本部分将计算数学工具应用于实际建模场景，并讨论了高性能计算的初步概念。 8. 线性代数方程组的有效求解 直接法（如高斯消元法及其LU分解）是求解小规模精确问题的基石，本书详细分析了其操作数和误差特性。然而，对于大规模问题，迭代法更具优势。我们深入讲解了雅可比法、高斯-赛德尔法，并重点介绍了收敛性更佳的Krylov子空间方法，如共轭梯度法（CG）和GMRES，尤其强调了预处理技术（Preconditioning）在加速迭代收敛中的关键作用。 9. 科学计算中的优化方法 许多科学和工程问题最终归结为寻找函数的最小值或最大值。本书覆盖了无约束优化问题，包括梯度下降法（Gradient Descent）、牛顿法在优化中的应用，以及拟牛顿法。对于带约束的优化问题，我们引入了拉格朗日乘数法和KKT条件的基本思想，并介绍了序列二次规划（SQP）的初步概念。 10. 案例研究与编程实践 为了巩固理论知识，本部分提供了几个跨学科的综合案例： 流体力学简化模型： 利用有限差分法求解二维泊松方程，模拟简单的稳态热传导问题。 人口增长与瘟疫扩散模型： 使用ODE求解器模拟SIR模型，分析传染病的动态变化。 数据拟合与回归分析： 结合最小二乘法和数值稳定性技术，对实验数据进行可靠的曲线拟合。 本书的每一章都配有详尽的算法描述，并鼓励学生使用现代编程语言（如Python/MATLAB/C++）实现这些算法。通过大量的练习和项目，读者将不仅掌握计算数学的理论，更能成长为一名熟练运用数值方法解决工程实际问题的研究者和工程师。本书强调计算思维，注重算法的效率和可靠性，是通往高级计算科学的理想桥梁。
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