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出版者:辽宁教育出版社

作者:杨玲

出品人:

页数:152

译者:

出版时间:2002-6-1

价格:10.50

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787538263244

丛书系列:

图书标签:

• 高中数学
• 数学
• 高二
• 上册
• 教材
• 同步练习
• 基础
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• 学习
• 教辅

深入探究：高中数学进阶专题精讲 目标读者： 准备迎接更深层次数学挑战的高中生，尤其适合对基础知识有扎实掌握，渴望拓展解题思路、理解数学本质的优秀学生。 本书定位： 本书并非基础知识的简单重复，而是将高中数学的各个核心板块进行深度剖析和系统提升的进阶读物。它旨在帮助读者跨越“会做题”到“精通解题”的鸿沟，培养严谨的逻辑推理能力和灵活的数学建模思维。 --- 第一部分：函数与微积分的深度融合 本部分将函数概念提升至更高的抽象层次，并引入微积分思想的萌芽，为大学数学学习打下坚实基础。 第一章：函数的性质与变换的再认识 (Focus on Rigor and Application) 极限思想的初步建立： 探讨数列极限的直观理解与严格定义，为后续导数概念的引入做铺垫。不再满足于“无限接近”，而是深入探讨“无限小的量”与“无穷大”在数学语言中的精确表达。 函数的周期性、单调性与奇偶性的综合判定： 引入周期函数的叠加与分解，例如三角函数合成后的周期性变化规律。重点分析分段函数在连接点处的行为，讨论其连续性问题，并结合图像的平移、伸缩、对称变换，探究复杂函数图像的快速构造法。 反函数与互为反函数的应用： 深入分析反函数的定义域、值域与原函数的关系。重点讲解如何利用反函数图像关于直线 $y=x$ 对称的性质，快速求解方程的实数解。 第二章：导数——描述变化率的强大工具 (The Language of Change) 瞬时变化率的精确量化： 从平均变化率的局限性出发，详细阐述导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度）。通过实际物理模型（如自由落体运动的瞬时速度）来加深理解。 基本求导法则的系统推导： 详细推导幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数的导数公式。特别关注复合函数求导法则（链式法则）的逻辑结构，并进行多层复合函数的求导实战训练。 导数在优化问题中的应用（一）： 利用导数判断函数在给定区间内的极值点和最值点。重点解析应用题中的建模过程——如何将实际问题（如最大利润、最小成本、最大面积）转化为函数表达式，并利用导数求解。 --- 第二部分：立体几何与空间向量的统一视角 本部分彻底摒弃纯粹依赖“想象力”的传统立体几何解法，全面转向以空间向量为核心的代数化处理方法，实现几何问题的精确求解。 第三章：空间几何体的向量化表达 (Vectorizing Space) 空间直角坐标系与向量的坐标表示： 建立右手定则的空间直角坐标系，明确向量在三维空间中的坐标表示法。重点理解向量的加减法、数乘在坐标系中的运算。 空间中点、线、面的向量关系： 利用向量的点积（数量积）定义空间中两向量的数量关系，并深入研究其在判断垂直性（点积为零）中的应用。利用向量的叉积（或通过混合积的初步概念）处理平行与垂直问题。 空间直线与平面的方向向量与法向量： 这是本章的重中之重。详细讲解如何根据几何条件（如棱线、中位线）求出直线的方向向量，以及如何利用平面内多条不共线向量的垂直性来求解平面的法向量。 第四章：向量化解立体几何 (Algebraic Geometry) 线面角与二面角的精确计算： 不再依赖三角函数和投影，而是完全利用方向向量和法向量计算空间中线、面之间的夹角。推导公式 $cos heta = frac{|mathbf{u}cdotmathbf{v}|}{|mathbf{u}||mathbf{v}|}$ 在不同场景下的应用。 空间距离的向量求解： 求解点到点、点到直线、点到平面的距离。特别强调利用法向量求点到平面距离的向量公式，其简洁性和普适性远超传统方法。 空间几何体的体积与表面积的向量辅助： 探讨如何利用向量运算辅助求解不规则棱锥、棱台的体积，特别是当已知顶点坐标时，利用混合积（三维向量的外积与内积的结合）快速计算四面体体积。 --- 第三部分：解析几何的深化与轨迹问题 本部分深入探讨圆锥曲线的统一性质，并引入更复杂的轨迹问题分析。 第五章：圆锥曲线的参数方程与几何性质 (Parametric Forms and Unifying Properties) 椭圆、双曲线的焦点、准线、离心率的内在联系： 深入探究 $a, b, c$ 之间的关系如何统一描述三种曲线的几何特征。重点解析“定义法”在求解新问题中的应用。 参数方程的应用与优势： 引入圆与常见椭圆的标准参数方程，并探讨如何利用参数 $t$（或 $ heta$）的取值范围来描述曲线的运动轨迹或特定部分。 直线与圆锥曲线的相交问题（弦长公式与中点弦定理的运用）： 摒弃繁琐的代入法，重点训练“设而不求”的技巧。熟练运用韦达定理结合弦长公式 $sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 解决定点问题。 第六章：轨迹问题与定点、定值探究 (Locus and Invariant Problems) 几何法与代数法的结合： 针对动点满足的条件，利用“距离公式”或“斜率关系”建立关于动点 $(x, y)$ 的代数关系式，从而求出轨迹方程。 定点问题的识别与求解： 分析经过圆锥曲线上的所有弦中点所形成的轨迹。重点训练“中点弦定理”的逆向应用——若中点坐标已知，如何反推出直线斜率或截距满足的恒等关系。 极值与恒等式： 探讨在特定条件下，某些几何量（如线段长度、角度的某种函数值）保持不变的现象，这需要极强的代数变形能力和对几何性质的深刻理解。 --- 第四部分：排列组合与概率的进阶模型 本部分着眼于复杂情境下的计数和概率分析，强调模型建立的准确性。 第七章：排列组合的容斥原理与二项式定理 (Inclusion-Exclusion and Binomial Expansion) 容斥原理的深入应用： 不仅限于两个集合的容斥，扩展到三个及以上集合的复杂计数问题，如错排问题、满足多重条件的分配问题。 二项式定理的拓展应用： 熟练掌握二项式系数的性质，如系数和、奇数项/偶数项系数和的求法。重点训练“赋值法”和“系数的对应”技巧，解决与特定项数值相关的综合题。 第八章：条件概率与随机变量初步 (Conditional Probability and Random Variables) 条件概率与事件的相互独立性： 明确区分“互斥事件”与“对立事件”，以及“相互独立事件”与“互斥事件”的本质区别。深入理解条件概率公式的意义，并在贝叶斯思想的萌芽中进行初步练习。 离散型随机变量的分布列： 引入随机变量的概念，掌握二项分布的特征（独立重复试验）。学习如何根据实际情境（如抽样、多次试验）构建随机变量的分布列，并计算其期望（均值）与方差（离散程度的度量）。 总结与展望： 本书的每一章都力求在概念的深度挖掘和解题技巧的系统训练之间找到平衡点。它要求读者不仅记住公式，更要理解公式背后的几何或代数逻辑。通过大量的综合性例题与变式练习，旨在构建一个完整、严谨、高效的高中数学知识体系，为迎接更具挑战性的数学领域做好充分准备。

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