培优竞赛教与学 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:200

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出版时间:2004-7

价格:15.00元

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isbn号码:9787801081247

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《面向未来的数学思维：高中代数与几何的深度探索》 图书简介 本册教材聚焦于高中数学核心领域的深度拓展与创新应用，旨在为有志于在数学领域取得更深层次理解和突破的学生提供一套系统、深入的学习资源。全书严格围绕当代数学教育的要求，特别是对批判性思维、逻辑推理能力和解决复杂问题的能力培养的重视，构建了从基础概念的严谨重构到高级技巧的精妙应用的完整体系。 第一部分：代数结构的精妙与应用 第一章：实数系统的高级剖析与复数域的构建 本章首先对有理数、无理数和实数的完备性进行一次深入的回顾与深化。我们不仅探讨了实数的拓扑性质，如极限、连续性的严格定义，还引入了戴德金截和柯西序列等构建实数系统的公理化视角，帮助读者理解实数集的“连续性”是如何被数学家严格定义的。 在此基础上，本章将重点构建复数域$mathbb{C}$。我们将不满足于简单的代数运算介绍，而是从解决“不存在实数根”的方程出发，通过域扩张的思想引入虚数单位$i$。随后，详细阐述复数的几何意义——复平面上的向量表示，并深入探讨欧拉公式（$e^{i heta} = cos heta + isin heta$）的推导与几何意义，揭示指数函数、三角函数之间的深刻联系。关于复数的乘法与几何变换（旋转、缩放）的关系，将通过向量代数的视角进行详尽的分析。 第二章：多项式理论与代数方程的求解艺术 本章超越了初中阶段对一元二次方程的解法。首先，对多项式环$mathbb{R}[x]$进行形式化的定义，引入多项式除法的算法与唯一性。随后，深入探讨根与系数的关系（韦达定理）的推广，并结合柯西-施瓦茨不等式在多项式不等式中的应用。 重点部分在于高次代数方程的求解理论。虽然对于五次及以上的一般代数方程不存在通用的根式解（伽罗瓦理论的初步思想），但本章会着重讲解如何利用有理根定理、因式分解和数值逼近方法（如牛顿迭代法）来高效地求解或估计实数根与复数根。对于特殊形式的方程，如对称方程、双三次方程，将提供专门的解题技巧。 第三章：数列、极限与级数的收敛性 本章是连接代数与微积分思想的关键桥梁。在数列部分，除了等差、等比数列的常规讨论外，我们着重分析递推关系，并系统讲解特征方程法求解线性常系数递推关系，这在算法分析中具有实际意义。 关于极限，本章采用更严谨的$varepsilon-N$语言来定义数列的极限，并探讨函数极限的初步概念。在级数部分，我们不再停留在有限和，而是详细讨论无穷级数的收敛判别法，包括比值判别法、根值判别法以及积分判别法，并对调和级数的散发性进行严谨证明。对交错级数的收敛性，将引用莱布尼茨判别法。 第二部分：解析几何与空间几何的融合 第四章：解析几何的二次曲线精讲 本章深入探讨抛物线、椭圆和双曲线的标准方程、几何性质及其参数方程。重点在于如何利用焦点、准线、离心率的统一几何定义来推导出它们的代数方程，强调几何直观与代数表示的统一。 更进一步，本章引入切线方程的求法，不仅通过求导（微积分的初步应用），也通过判别式法（代数方法）来保证解的完备性。同时，深入分析共轭直径、中心对称性等高级性质，并讲解如何通过坐标系的旋转与平移（即二次曲线的一般方程的简化）来识别曲线的类型。 第五章：向量代数在几何中的应用 本章将平面向量的概念推广到空间向量。详细讲解向量的坐标表示、线性运算（加减法、数乘）以及至关重要的数量积（点积）。通过点积，我们重新诠释了向量间的夹角、向量的投影，以及在解析几何中直线与直线、直线与平面间关系的计算。 重点在于空间几何体的向量化：利用向量的坐标运算来处理复杂的立体几何问题，如求解线面角、二面角，以及利用向量的叉积（仅限概念性介绍与应用）来计算平面面积。这一部分旨在训练学生将三维空间问题转化为三维坐标系下的代数计算。 第六章：立体几何的精确表达与变换 本章将目光投向三维空间。在对直线与平面的方程（点法式、截距式）进行严格推导后，本章的核心在于空间位置关系的判定。这包括判断两条异面直线、直线与平面、两个平面之间的夹角和距离。 最后，引入空间几何体的坐标建模。学生将学习如何为一个任意放置的正方体、三棱锥等建立合适的空间直角坐标系，并利用向量工具计算其体积、表面积，并解决涉及对称性和旋转的几何问题。 全书特色与教学理念 本书的编写遵循“由繁入简，由表及里”的原则，力求在知识的深度和广度上达到平衡。它强调数学史观的融入，使学生理解概念产生的历史背景和逻辑必然性。每章末尾均设有“思维挑战与拓展”部分，包含若干具有高度概括性和开放性的问题，鼓励学生进行跨章节、跨领域的综合性思考和证明。本书旨在培养学生对数学美感的鉴赏力，以及面对未知问题时敢于构建新模型的勇气。

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这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，封面那种哑光质感，搭配烫金的标题字体，拿在手里感觉很扎实，一看就知道是精心制作的。内页的纸张选择也很考究，不是那种很容易反光的纸，长时间阅读眼睛也不会觉得累，这对于需要长时间伏案学习的学生来说，简直是福音。排版上，作者的用心程度也体现得淋漓尽致，每一个章节的结构都划分得非常清晰，重点知识点和例题的步骤，都用粗体或者不同的颜色标注出来，查找起来非常方便。尤其是那些复杂公式的推导过程，插图和文字的结合度很高，即便是初次接触这些概念的人，也能很快跟上思路。而且，这本书的字号和行距拿捏得恰到好处，即使是那些需要仔细推敲的文字，也显得井井有条，不会让人感到信息过载。整体来说，从视觉到触觉，这本书都给人一种专业、高品质的学习工具的感觉，完全符合我对一本优秀教辅读物的期待。

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我个人非常看重学习资料的检索和复习效率。这本书在这方面做得非常出色，充分考虑到了读者在考前进行快速回顾的需求。它在每章的末尾都设置了一个名为“知识脉络图”的总结环节，用流程图和关键词树的形式，将本章所有核心概念和公式间的相互关系进行了可视化展示，一眼就能抓住重点。此外，书中还贴心地附带了一个可拆卸的“公式速查卡”，卡片设计得非常坚固耐用，上面汇集了全书最常考的公式和定理，大小刚好可以放进笔袋里。这种细节上的体贴入微，体现了编者对实际学习场景的深刻理解，大大提升了我在考前临时抱佛脚时的查阅效率，让我感觉这本书的设计是真正围绕着“学习成果最大化”这一核心目标来构建的。

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我接触了很多市面上的同类学习资料，但这本书在内容组织逻辑上，展现出一种非常独特且高效的编排思路。它不是简单地堆砌知识点和题目，而是建立了一个层层递进的学习体系。开篇部分，作者花了不少笔墨来梳理基础概念的底层逻辑，用一种“溯源”的方式，把很多看似孤立的知识点串联起来，让人明白“为什么是这样”，而不是仅仅停留在“是什么”的层面。随后过渡到基础练习，这些题目难度适中，旨在帮助读者巩固刚刚建立起来的认知框架。最让我印象深刻的是它对“易错点”的剖析，很多地方作者会设置专门的“陷阱分析”环节，用非常生动的语言指出学生最容易在哪里栽跟头，并提供详细的避坑指南。这种“预判式”的教学设计，极大地提高了学习效率，感觉就像是请了一位经验丰富的老教师在旁边随时指点迷津。

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这本书的语言风格非常接地气，完全没有那种高高在上的学术腔调，读起来感觉很亲切自然。作者在解释一些复杂的数学或科学原理时，常常会引用一些生活中的例子或者巧妙的比喻，一下子就把抽象的概念具象化了。比如在讲解某个物理定律时，他会用搭积木或者扔球的场景来类比，让人茅塞顿开。这种叙事性的讲解方式，极大地降低了学习的心理门槛，让原本枯燥的学习过程变得有趣味性。而且，书中的批注和旁白部分，常常能看到作者幽默且富有鼓励性的文字，就像一位亦师亦友的伙伴在陪伴你攻克难关。这种温暖的互动感，在传统的教材中是很少见的，它成功地激发了我继续往下探索的动力，让我不再惧怕那些看起来难以逾越的知识高峰。

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对于追求极致的学霸群体而言，这本书在挑战性内容的设置上，绝对是下了血本的。它并没有满足于常规的拔高练习，而是引入了大量来源于真实竞赛现场的、具有迷惑性和创新性的难题。这些题目往往需要跨学科的知识整合，或者要求读者跳出固有的思维定式，去构建全新的解题模型。更棒的是，对于这些高难度题目，作者提供的解答思路往往不止一种。他会详细阐述“最优解法”背后的数学美感和逻辑严谨性，同时也会对比展示其他“巧妙但不太主流”的解法，供读者拓宽思路。这种多维度、深层次的解析，使得这本书不仅仅是做题工具，更像是思维训练的“道场”，它逼迫你不断地去质疑和超越已有的认知边界，真正达到了“以赛促学”的目的。

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