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出版者:科学出版社

作者:周性伟

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2002-05-01

价格:9.60元

装帧:平装

isbn号码:9787030066251

丛书系列:南开大学数学教学丛书

图书标签:

• 我的大学教材
• 实变函数
• 数学
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• 高等数学
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《分析的基石：实数与测度理论导论》 内容简介 本书旨在为读者构建一个坚实而完备的分析学基础，着重于深入理解实数系统的性质以及测度理论的构建。我们将从最根本的概念出发，循序渐进地揭示数学分析的深刻内涵，为进一步学习拓扑学、微分几何、泛函分析乃至现代数学的各个分支奠定不可或缺的理论基石。 第一篇：实数系统的内在结构 本篇首先将从公理化角度出发，严谨地定义和刻画实数集 $mathbb{R}$。我们将细致地探讨自然数、整数、有理数的构造过程，强调它们在实数系统中的嵌入关系。通过引入戴德金分割和柯西序列等概念，我们将证明实数集的完备性，这是理解极限、连续性等核心概念的根本。完备性意味着实数轴上不存在“空隙”，任何收敛的柯西序列都能在其内找到极限，这赋予了微积分理论强大的生命力。 我们将深入分析实数集的拓扑性质，如开集、闭集、邻域、极限点、孤立点等。这些概念的精确定义是理解收敛性、紧致性、连通性等重要性质的前提。我们将详细讨论开区间、闭区间、半开半闭区间等基本集合的结构，并探讨它们在实数轴上的拓扑行为。 此外，本篇还将详细阐述序列与级数的收敛性。我们将介绍直观的收敛定义，并通过柯西收敛准则、单调收敛定理等重要判别法，帮助读者掌握判断序列和级数敛散性的技巧。我们还将区分条件收敛与绝对收敛，并探讨它们的性质差异，例如绝对收敛级数可以任意重排而保持其和不变，而条件收敛则不然。 第二篇：测度理论的黎明 本篇将引入测度理论的核心概念，它为我们提供了一种更为精细和强大的“测量”工具，超越了传统的长度、面积、体积的概念，能够处理更广泛的集合。我们将从勒贝格外测度出发，逐步构建勒贝格测度的理论框架。 首先，我们将聚焦于区间测度，理解在实轴上如何为区间赋予“长度”。然后，我们将推广到可测集的概念，解释哪些集合可以被可靠地“测量”。这一过程将涉及外测度的定义、单调性、可加性等基本性质。我们还将探讨如何通过外测度来定义可测集，并证明可测集的代数运算（如并、交、差）仍然是可测的。 在此基础上，我们将正式引入勒贝格测度的定义，并详细讨论其关键性质，如单调性、有限可加性、可数可加性。可数可加性是勒贝格测度最重要的性质之一，它使得我们可以将无穷多个不相交的可测集的测度之和等于它们的并集的测度，这在概率论和实变函数论中有着极其重要的应用。 我们将探讨一些重要的可测集类，例如开集、闭集、$G_delta$ 集、$F_sigma$ 集等，并研究它们之间的关系。我们还将引入博雷尔集的概念，它们是生成一系列可测集的基石。 第三篇：可积性与函数空间 在本篇中，我们将构建可积函数（或称可测函数）的理论，这是黎曼积分的自然推广。我们将首先定义一个非负可测函数的积分，并探讨其基本性质，如单调性、线性性质以及积分与集合测度之间的关系。 随后，我们将扩展到任意可测函数的积分，通过正负部分的分离来定义。我们将详细介绍勒贝格积分的收敛定理，这是勒贝格积分体系中最强大的工具之一，包括单调收敛定理、Fatou 引理和控制收敛定理。这些定理为我们提供了判断积分序列收敛性的有力工具，极大地简化了许多分析问题。 我们将引入$L^p$ 空间的概念，它们是由具有有限$p$ 次方积分的函数组成的函数空间。我们将讨论$L^p$ 空间的定义、范数以及它们的基本性质，如完备性（构成巴拿赫空间）。$L^p$ 空间是泛函分析中的核心研究对象，在量子力学、信号处理等领域有着广泛的应用。 我们还将探讨$L^1$ 空间和$L^2$ 空间，并讨论它们在傅里叶分析、概率论等领域的特殊地位。我们还会触及函数序列的收敛性（几乎处处收敛、测度收敛、积分收敛、$L^p$ 收敛），并分析它们之间的相互关系。 第四篇：深入探讨与初步应用 本篇将进一步深入和拓展前几篇的内容，并展示测度理论在一些基础问题上的应用。 我们将探讨乘积测度，它为我们提供了在高维空间中定义测度的方法，这在多变量微积分和概率论中至关重要。 我们将介绍 Radon-Nikodym 定理，它描述了两个测度之间的关系，并允许我们将一个测度表示为另一个测度的导数。这个定理在概率论、统计学以及量子场论等领域有着重要的理论意义。 我们还将简要介绍一些与积分理论相关的概念，如 Fubini 定理，它允许我们在一定条件下交换多重积分的积分次序。 本书的最后部分将尝试展示测度理论如何解决一些经典分析问题，例如朴素概率论中的一些悖论，以及为理解更高级的分析工具（如傅里叶变换、分布理论）打下坚实的基础。 本书特色 严谨的数学语言： 本书注重概念的精确定义和逻辑推理的严密性，采用标准数学符号和语言，力求让读者在理解数学本质的同时，也掌握规范的数学表达。 循序渐进的教学体系： 内容从基础概念出发，逐步深入，由浅入深，确保读者能够平稳地过渡到复杂的理论。 概念的深入剖析： 对于每一个核心概念，都力求从不同角度进行阐述，并通过实例加深理解。 强调理论的连贯性： 明确揭示各个概念和理论之间的内在联系，帮助读者构建一个完整的分析学知识体系。 为后续学习奠基： 本书所涵盖的知识是后续学习高等数学、拓扑学、泛函分析等领域不可或缺的基石，旨在培养读者独立解决数学问题的能力。 本书适合数学、物理、工程等专业本科高年级学生、研究生，以及对数学分析的严谨理论感兴趣的读者。通过对本书的学习，读者将能够深刻理解实数系统的精妙结构，掌握强大的测度与积分工具，并为进一步的数学探索打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

习题来说很深， 不过从讲的方式来看，很简洁，感觉都有些吝啬笔墨了。 不过要是把本书搞懂，实变也应该学得很好了。 有些证明感到很不“友好”，需要自己改改才能消化理解。 有些东西和其它教材讲法不一样，值得看看，周在再版时写的那篇小文章值得看几遍

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

这本书最让我感到惊艳的地方，在于它对**实变函数**中那些“病态”函数的处理方式。在微积分的世界里，我们习惯了处理那些光滑、有界的函数，但实变函数的世界充满了“丑陋”的角落，比如处处不连续的狄利克雷函数。这本书没有回避这些反直觉的例子，反而将它们作为理解测度和积分本质的切入点。作者用非常细腻的笔触，一步步引导读者构建起一个能够容纳这些“怪胎”的数学框架。我记得有一章专门讨论了积分与极限的交换顺序问题，作者通过精心构造的一系列逼近函数序列，清晰地展示了为什么黎曼积分会失效，而勒贝格积分的优越性又体现在哪里。这种“先提出问题，再构建工具解决问题”的叙事结构，极大地增强了阅读的代入感。读完后，我对“积分”这个概念的理解，已经从简单的“面积计算”提升到了对函数空间性质的深刻洞察。这本书在概念的启发性上，做到了极致。

评分☆☆☆☆☆

这本关于**实变函数**的书籍，在我看来，简直是数学学习者的一座灯塔。我第一次接触这个领域时，脑子里一片浆糊，各种极限、测度和积分的概念像迷雾一样难以捉摸。但是这本书，它的叙述方式非常独特，不像传统教科书那样干巴巴地堆砌公式和定理。作者似乎深谙读者的困惑，总能在关键时刻，用非常直观的比喻来解释那些抽象的数学构造。比如，在讲解勒贝格测度的可加性时，它没有直接抛出复杂的定义，而是通过一个“无限分割的沙滩”的例子，让我瞬间领悟了其背后的深刻含义。书中大量的图示，更是功不可没，它们将原本只能在脑海中想象的集合拓扑关系，清晰地呈现在眼前。我尤其欣赏它对“为什么需要实变函数”这个问题的解答，它没有止步于构造理论，而是深入探讨了它在概率论和泛函分析中的应用背景，这让学习过程不再是孤立的知识点积累，而是一次有目的的探索之旅。读完前几章，我感到自己的数学直觉被极大地激发了，对于“收敛性”的理解也达到了前所未有的深度。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和印刷质量，给我留下了非常好的印象。在阅读**实变函数**这种高度依赖符号和结构的学科时，清晰的排版至关重要，这本书在这方面做得非常出色。字体选择得当，数学符号的渲染清晰锐利，尤其是在处理上下标和希腊字母组合时，从未出现过模糊不清的情况。更重要的是，它的注脚设计非常人性化。许多关键的、需要背景知识支撑的定理，作者都附上了简洁的提示或参考文献引导，这极大地减少了阅读过程中被打断的次数。我特别喜欢它在每章末尾设置的“思考题与拓展”部分，这些题目并非简单的计算练习，而是设计精巧的思维陷阱和概念辨析题，它们迫使读者跳出课本的既有框架，主动去检验自己对测度概念的掌握程度。这些题目不仅巩固了知识，更培养了一种批判性的数学思维，是我在其他教材中很少见到的宝贵财富。这本书在细节处理上的用心，确实提升了整个阅读体验。

评分☆☆☆☆☆

说实话，一开始我对这本书抱有很高的期望，毕竟**实变函数**是现代数学分析的基石，但读完后我有些五味杂陈。这本书的深度毋庸置疑，它对构造严谨性的追求达到了近乎苛刻的地步，每一个定义和推导都经过了千锤百炼，力求无懈可击。然而，这种极致的严谨性也带来了一个问题：对于初学者，尤其是自学者来说，门槛高得令人望而却步。很多证明过程跳跃性太大，中间的逻辑连接往往需要读者自己去“脑补”。例如，在讨论$sigma$-代数构造时，相关的例子和背景介绍相对薄弱，让人感觉像是在攀登一座陡峭的冰山，每一步都需要极大的专注和预备知识储备。我不得不频繁地查阅其他辅助材料来填补理解上的空白。这本书更像是一本给已经有一定数学基础的研究生准备的参考手册，而非入门教材。它的价值在于其体系的完备性，但对于渴望循序渐进理解概念的读者，它显得过于“高冷”了。

评分☆☆☆☆☆

如果用一个词来形容这本书在**实变函数**领域的地位，我会选择“百科全书式”。它覆盖的知识面之广，令人咋舌。从基础的拓扑性质到相对深入的Banach空间初步讨论，几乎涵盖了现代分析学所依赖的全部工具集。它的内容组织逻辑性非常强，章节之间的过渡如同精密的机械齿轮咬合，环环相扣，形成了一个坚固的知识体系。然而，正因为其内容的包罗万象，导致在某些特定主题上的讲解深度略显不足，更倾向于“概览”而非“深挖”。比如，在讨论傅里叶分析与测度的联系时，只是点到为止，没有给予足够的篇幅来阐述其背后的深刻联系。这使得它更适合作为一本“工具箱”，当你需要查阅某个理论的严谨定义和基本性质时，它能迅速提供准确的答案；但若想在某个细分领域做深入研究，可能还需要寻找更专业的著作。总体来说，它是一本极具参考价值的工具书，但并非“一招鲜吃遍天”的武功秘籍。

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