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出版者:高等教育出版社

作者:伍卓群，李勇编

出品人:

页数:199

译者:

出版时间:2004-1

价格:15.70元

装帧:

isbn号码:9787040129441

丛书系列:普通高等教育“十五”国家级规划教材

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《数学的深邃之语：几何、代数与分析的交响》 简介： 本书并非一本探讨特定数学分支的入门指南，而是旨在引领读者深入理解数学的宏伟蓝图，揭示其内在的统一性与丰富性。我们将循着数学思想发展的脉络，从最基础的几何直观出发，逐步构建起抽象的代数框架，并最终抵达分析的精妙境界。通过对这些核心数学语言的解读，读者将能够领略到数学如何成为描述世界、解决问题、并激发无限创造力的强大工具。 第一篇：空间与形状的低语——几何的基石 几何，作为人类最早的数学探索之一，其直观的图像和丰富的想象力，为我们理解世界提供了最初的框架。本篇将从欧几里得几何的公理体系出发，深入剖析点、线、面、体之间的关系。我们不会止步于二维平面，而是将目光投向三维空间，探讨曲面、体积以及更复杂的几何对象。 公理与证明的艺术： 我们将回顾欧几里得几何的五个公理，并着重探讨证明在数学中的核心作用。通过分析经典几何定理的证明过程，读者将体会到逻辑推理的严谨性和数学证明的简洁之美。理解公理如何构建起一个自洽的理论体系，是认识数学本质的第一步。 非欧几何的革命： 随着对空间理解的深入，人们逐渐发现欧几里得几何并非描述所有空间的唯一模型。我们将介绍黎曼几何和双曲几何等非欧几何的诞生，阐释它们是如何挑战传统观念，并为现代物理学（如广义相对论）奠定基础的。这部分内容将引导读者认识到数学模型的相对性和适用范围。 拓扑学的奇妙世界： 当我们从度量和角度的束缚中解放出来，只关注形状的连续变形时，拓扑学便展现在我们面前。我们将通过一些引人入胜的例子，如莫比乌斯带、克莱因瓶，来展示拓扑学研究的独特视角。理解拓扑不变量的概念，将帮助读者认识到事物的更深层次的本质属性。 解析几何的桥梁： 解析几何的出现，是几何学与代数学之间的一次伟大融合。我们将学习如何用代数方程来描述几何图形，以及如何通过代数方法来研究几何性质。直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线的代数表达式，将直观地展现代数与几何的紧密联系，为后续代数部分的学习铺平道路。 第二篇：符号与结构的语言——代数的精髓 代数，通过抽象的符号和运算规则，将数学的视野从具象的图形扩展到更广泛的结构。本篇将带领读者穿越代数的殿堂，领略其强大的抽象能力和普遍的适用性。 数的演进与方程的魅力： 我们将回顾数的概念是如何从自然数逐步扩展到整数、有理数、实数，乃至复数的。在此基础上，我们将深入研究代数方程的求解，从一元一次方程到高次方程，再到线性方程组。理解根与系数的关系，以及多项式方程的根的分布，将是本部分的重点。 群论的统一力量： 群论是抽象代数的核心概念之一。我们将通过对称性、置换等直观例子，引入群的概念，并探讨群的各种性质，如子群、陪集、同态和同构。理解群的结构，对于理解对称性在自然界和科学中的普遍存在至关重要。 环与域的抽象世界： 在群的基础上，我们将进一步学习环和域的概念。它们提供了比群更丰富的代数结构，能够描述更复杂的运算和关系。我们将探讨整环、域的性质，以及它们在数论、多项式代数等领域的应用。 线性代数的强大工具： 线性代数是现代数学和科学研究中最不可或缺的工具之一。我们将学习向量空间、线性变换、矩阵、行列式等概念。理解向量空间的基、维数，以及矩阵的秩、特征值和特征向量，将能够帮助读者解决大量的实际问题，从图像处理到机器学习。 第三篇：变化与无穷的探索——分析的深度 分析学，是数学中研究变化、极限、连续性以及无穷过程的学科。本篇将带领读者走进分析学的殿堂，感受其严谨的逻辑和处理无穷问题的强大能力。 微积分的革命： 导数和积分是微积分的两大基石，它们分别揭示了函数的变化率和累积效应。我们将从极限的概念出发，严谨地定义导数和积分，并展示它们在求解瞬时速度、面积、体积等问题中的应用。牛顿-莱布尼茨公式将揭示导数与积分之间的深刻联系。 无穷序列与级数： 无穷过程是分析学研究的核心。我们将学习无穷序列的收敛性，以及无穷级数的和。泰勒级数和傅里叶级数等重要的级数展开，将展示如何用简单的函数来近似复杂的函数，这在科学计算和信号处理中有着极其广泛的应用。 多变量分析的扩展： 当我们将分析学的视野从一维扩展到多维空间时，便进入了多变量分析的领域。我们将学习多元函数的极限、连续性、偏导数和全微分。梯度、散度和旋度等概念，将帮助我们理解向量场在空间中的行为。 微分方程的动态世界： 微分方程是描述自然界中各种变化过程的数学语言。本篇将初步介绍常微分方程的基本概念、分类以及一些简单方程的求解方法。我们将看到，如何将物理定律、化学反应、经济模型等转化为数学方程，并通过求解这些方程来预测系统的未来演化。 度量空间与拓扑分析： 在更抽象的层面上，分析学也与拓扑学紧密相连。我们将初步介绍度量空间的概念，以及分析学在度量空间中的推广。这部分内容将为读者展示数学的统一性，以及不同分支之间的深度联系。 结语：数学的统一性与未来 《数学的深邃之语：几何、代数与分析的交响》并非旨在提供一套解题的秘籍，而是希望点燃读者对数学的求知欲，培养其数学思维的深度和广度。我们将看到，几何的直观、代数的抽象和分析的严谨，并非相互孤立，而是相互渗透，共同构成了数学这门学科的宏伟体系。从宇宙的奥秘到微观世界的规律，从计算机科学的算法到金融市场的模型，数学的身影无处不在。通过对这些核心数学语言的深入理解，读者将能够更好地理解我们所处的世界，并为未来的探索和创造，积累坚实的思想基础。本书将鼓励读者将数学视为一门不断发展、充满活力的科学，它将继续以其独特的方式，为人类认识世界、改造世界，提供源源不断的洞见和力量。

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这本书的深度和广度都超出了我的预期。原本以为它会局限于对经典解法（如分离变量法、常数变易法）的介绍，但令我惊喜的是，它花费了相当大的篇幅来讨论现代和数值方法在处理复杂边界条件和非线性问题时的有效性。尤其是在涉及摄动理论和泛函分析基础的那几章，作者展现了深厚的跨学科功底，将一些抽象的数学概念，巧妙地与实际工程中的微小扰动或近似求解的需求联系起来。这种对前沿和实用性的关注，使得这本书不仅仅是一份对经典理论的总结，更像是一张通往当前研究领域的导览图。书末附带的参考文献列表也极为精良，涵盖了从十七世纪的经典著作到近二十年来的重要论文，为有志于深入研究的读者指明了方向。总而言之，这本书成功地架起了理论纯粹性与工程实用性之间的桥梁，使得读者在学有所成的同时，也能保持对未知领域的好奇心和探索欲。

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从学习体验的角度来看，这本书的配套资源和整体设计理念体现了一种非常现代化的教育思维。虽然这是一本纸质书，但作者通过清晰的结构化标记，引导读者关注到一些在线资源（如相关的可视化模拟链接或进阶的证明补充材料），这极大地丰富了学习的维度。我非常欣赏作者在讲解诸如拉普拉斯变换或傅里叶级数这类工具时所采取的“逆向工程”思路，即从一个实际的物理问题出发，反推需要哪种数学工具来求解，然后再系统介绍该工具的性质和操作规则。这种从问题到方法的学习路径，比单纯的“定义-性质-例题”的顺序更能激发学习的内在驱动力。此外，书中对于某些“奇异点”的处理，无论是物理上还是数学上的意义，都有着非常深刻的洞察，没有简单地将其视为一个需要避开的麻烦，而是深入挖掘了它们蕴含的丰富信息。整本书读完，感觉收获的不仅仅是解题的技巧，更是一种看待复杂系统问题的数学视角和哲学思考。

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这本书在处理理论的严谨性与教学的可及性之间，找到了一个近乎完美的平衡点。很多教材为了追求数学上的完美无瑕，往往将证明过程写得过于晦涩，让初学者望而却步。然而，这本书则高明地采用了“分层阐述”的策略。对于核心结论，它提供了详尽且严密的证明，以满足高阶读者的需求；但在初次介绍新概念时，它会先提供一个直观的、基于物理直觉的“非形式化”解释，帮助读者快速建立起对该工具的感性认识。这种做法极大地降低了入门的门槛，让那些对数学严谨性感到畏惧的工程背景学生也能大胆地迈入这个领域。另外，书中对各种特殊函数和积分变换的讨论，也非常细致入微，不仅仅是给出公式，还包含了它们在不同坐标系下的性质对比，这对于进行复杂的空间问题分析时，提供了极大的便利。我甚至发现，书中的某些推导步骤，比我之前读过的专业参考书还要清晰易懂，它仿佛帮你提前预料到了读者可能在哪里产生困惑，并提前在脚注或旁注中给出了提示。

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这本书的行文风格简直是一股清流，它没有采取那种高高在上的说教姿态，而是像一位经验丰富的导师，用极其耐心的语气引导读者逐步深入。我尤其欣赏作者对于“为什么”的解释，他不仅仅罗列公式和定理，更深入剖析了这些数学工具背后的思想根源和物理意义。例如，在讲解某些特定类型的解法时，作者会详细回顾该方法是如何从一个直观的物理观察中抽象提炼出来的，这种“溯源”式的讲解，极大地增强了读者对数学建模过程的理解。全书的逻辑链条编织得密不透风，前一个定理的结论往往自然而然地成为下一个概念的起点，使得阅读体验如同在解一个环环相扣的谜题，每解开一个，都带来巨大的成就感。而且，书中的例题设计得十分巧妙，基础题用来巩固刚刚学到的技巧，而那些“挑战性”的习题则常常需要综合运用前几章甚至前几节的内容，有效地训练了读者的融会贯通能力。对于那些希望真正掌握数学工具而非仅仅记忆公式的人来说，这本书无疑是极佳的选择。

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这本书的装帧设计着实吸引人，封面采用了深邃的蓝色调，搭配着典雅的金色烫印字体，给人一种沉稳而专业的视觉感受。初次翻开，内页的纸张质感也令人称赞，厚实且不反光，即使长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。更值得一提的是，排版布局非常清晰合理，章节标题醒目突出，公式的呈现干净利落，每一个数学符号都仿佛经过精心雕琢。书中穿插了一些历史性的批注和小故事，比如关于牛顿或莱布尼茨早期研究的趣闻，这些细节让原本可能枯燥的理论学习过程增添了不少趣味性，仿佛不是在阅读一本冰冷的教材，而是在与一位博学的智者对话。作者在知识点的组织上，也展现了高超的功力，从基础概念的引入到高级理论的推导，过渡得极其自然流畅，完全没有那种生硬的跳跃感，非常适合自学者循序渐进地构建起完整的知识体系。我特别欣赏其中关于应用案例的选取，它们紧密结合了现代物理学和工程学的实际问题，让理论不再是空中楼阁，而是有了坚实的落地基础。

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解不出来啊

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经典，全面。亲眼见证此书的诞生过程。

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还记得大二下，每次上老汪的课还是很期待的。

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只看不做，开始看还很清晰，越往后看就越艰难了。书应该不错，只是俺水平太差。

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还记得大二下，每次上老汪的课还是很期待的。