母函数 数学奥赛辅导丛书 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:中国科学技术大学出版社

作者:史济怀

出品人:

页数:146

译者:

出版时间:2012-4

价格:11.00元

装帧:平装

isbn号码:9787312029554

丛书系列:数学奥赛辅导丛书（第2辑）

图书标签:

• 奥数
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《组合数学与生成函数：方法与例题精析》 本书是面向高中数学竞赛爱好者和有志于在数学领域深造的学生的专题辅导读物，旨在系统讲解组合数学的核心思想，并着重介绍一种强大的数学工具——生成函数。我们相信，通过对生成函数这一工具的深入理解和熟练运用，读者能够更高效、更巧妙地解决各类复杂的组合计数问题，从而在数学竞赛中脱颖而出。 本书内容涵盖： 第一部分：组合数学基础回顾与进阶 在正式展开生成函数的主题之前，我们将首先梳理和巩固组合数学的基本概念与常用技巧。这部分内容将帮助读者建立坚实的组合数学基础，为后续生成函数的学习打下坚实的地基。 基本计数原理 revisited： 涵盖了加法原理、乘法原理，并进一步探讨了容斥原理的深入应用。我们将通过一系列精心挑选的例题，展示如何将这些基本原理灵活地应用于解决实际问题，例如排列、组合、重复组合等。 递推关系与特征方程： 学习如何识别和建立递推关系，并通过特征方程法求解线性齐次递推关系，解决如斐波那契数列、错排问题等经典组合问题。 鸽巢原理的妙用： 深入探讨鸽巢原理在证明存在性问题上的威力，以及其各种变体和扩展形式。 其他重要组合概念： 简要介绍二项式定理、多项式定理及其在计数中的应用，为生成函数的引入做好铺垫。 第二部分：生成函数理论体系构建 生成函数是连接代数与组合计数的一座桥梁。本部分将系统而深入地介绍生成函数的理论体系。 普通生成函数（Ordinary Generating Function, OGF）： 定义与构造： 详细介绍普通生成函数的概念，以及如何为一组数列构造其对应的生成函数。重点讲解系数的组合意义。 基本运算： 阐述生成函数的加法、减法、乘法、除法（在特定条件下）及其在解决组合问题中的作用。 指数生成函数（Exponential Generating Function, EGF）： 定义与构造： 介绍指数生成函数的概念，特别强调其在处理涉及排列和有区分对象的计数问题上的优势。 与OGF的比较与联系： 对比OGF和EGF的应用场景，分析它们的异同点。 基本运算： 讲解EGF的加法、乘法等运算。 生成函数与代数工具的融合： 二项式定理与广义二项式定理： 深入挖掘二项式定理在生成函数展开中的应用，并介绍广义二项式定理如何处理任意实数次幂的展开，为解决更广泛的问题奠定基础。 泰勒级数与生成函数： 探讨生成函数与泰勒级数之间的联系，理解生成函数可以看作是某种函数的泰勒展开。 代数方程与生成函数： 学习如何通过构造代数方程来描述生成函数的性质，进而求解。 第三部分：生成函数在组合计数问题中的应用 这是本书的核心部分，我们将通过大量的典型例题，展示生成函数在解决各类组合计数问题中的强大威力。 非负整数解计数： 不定方程的解法： 利用生成函数求解形如 $x_1 + x_2 + dots + x_k = n$ 的方程的非负整数解的个数，特别是当变量有取值范围限制时。 硬币找零问题： 经典应用，演示如何用生成函数计算用不同面额的钱币组合成特定金额的方法数。 递推关系的求解： 线性递推关系的生成函数法： 详细讲解如何利用生成函数求解各种线性递推关系，包括齐次和非齐次情况，以及常系数和变系数情况。 多项式与生成函数： 探讨如何利用多项式的乘积来表示复杂的计数结构，并从中提取系数。 集合划分与排列组合： 无序整数分拆： 利用生成函数解决整数分拆问题，例如将一个整数表示为若干个正整数之和的不同方法的数量。 涉及特定约束的排列组合： 求解具有特定限制条件的排列和组合问题，例如允许重复的排列、圆排列等。 图论与组合对象计数： 树的计数： （如果内容允许，可简要介绍）展示生成函数在某些树的计数问题中的应用。 其他组合结构计数： 探索生成函数在计数其他组合结构（如二叉树、卡特兰数等）中的应用。 高级应用与技巧： 多元生成函数： 引入多元生成函数，用于处理包含多个变量或多种属性的计数问题。 代数数论中的应用： （如果内容允许，可简要提及）生成函数在数论中的一些初步应用。 问题转化与建模： 强调如何将一个看似复杂的组合问题，通过观察和分析，转化为适合使用生成函数解决的模型。 本书特色： 理论与实践紧密结合： 在介绍生成函数基本理论的同时，穿插大量的例题，帮助读者理解抽象概念与实际问题之间的联系。 循序渐进的难度设计： 从基础概念出发，逐步深入到复杂的生成函数应用，确保读者能够逐步掌握。 详尽的解题思路分析： 对每一个例题，都提供详细的解题思路和步骤，帮助读者理解“为什么”这样解，而不仅仅是“怎么”解。 启发式教学： 引导读者思考问题的本质，鼓励读者尝试不同的解题方法，培养独立解决问题的能力。 奥赛导向： 精选数学奥赛中常见的生成函数相关题目，帮助读者熟悉竞赛题目的特点和解题策略。 适用读者： 有志于参加全国高中数学联赛、国际数学奥林匹克等数学竞赛的学生。 对组合数学和生成函数感兴趣的大学生。 希望提升组合计数问题解决能力的数学爱好者。 通过学习本书，我们期望读者不仅能掌握生成函数这一强大的数学工具，更能培养严谨的数学思维，提升分析问题和解决问题的能力，为未来的数学学习和研究打下坚实的基础。

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不得不提的是，这套丛书的配套资源和设计理念非常符合现代学习习惯。很多题目后面都附带有详细的“解题心路历程”分析，这比单纯的答案解析要高明得多。它教会的不是“怎么做对”，而是“为什么这么想”。我发现自己开始在做新题时，能主动调用书中教授的思维框架去构建解题思路。这套书培养的不仅仅是解题技巧，更是严谨的数学逻辑思维。我将它放在书架上，已经成为了我随时翻阅的“工具书”，每当遇到卡壳的难题，翻开它总能找到新的灵感和突破口。对于想要真正吃透数学竞赛的同学，这本书绝对是物超所值。

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这套丛书的装帧和内容质量，简直是良心之作。纸张厚实，印刷清晰，即使经常翻阅也不会轻易损坏。更重要的是，其内容的专业性和系统性毋庸置疑。它没有采用那种碎片化的知识点罗列，而是构建了一个完整的、自洽的知识体系。从初阶的代数、几何基础，到高阶的数论和函数方程的深入探讨，逻辑链条非常完整。我个人认为，它最成功的地方在于，它不仅是准备比赛的利器，更是一套提升个人逻辑思维能力的绝佳教材。它教会我如何清晰地表达数学观点，如何结构化地组织论证过程，这对于我未来无论是深造还是科研工作，都将是宝贵的财富。

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这套丛书的难度设置非常巧妙，它不像市面上一些书籍那样，上来就堆砌大量偏题怪题，让人望而却步。相反，它采取了阶梯式的难度提升，从夯实基础开始，逐步过渡到需要深度思考和综合运用知识的难题。我印象最深的是其中关于组合数学那一册，它用非常直观的图示和贴近生活的例子来解释抽象的排列组合原理，让我这个以前对这类问题感到头疼的“难兄难弟”也能游刃有余地应对。而且，书中的习题设计兼顾了广度和深度，涵盖了竞赛中各个主要模块，保证了知识面的全面覆盖。做完一章的练习后，我能清晰地感觉到自己的解题速度和准确率都有了显著的提升，那种成就感是无法用语言来形容的。

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这是一套非常棒的竞赛数学丛书，我简直是爱不释手！刚拿到手的时候，就被它精美的装帧吸引了，内页排版清晰、字体大小适中，阅读起来非常舒适。我特别喜欢它从基础概念的讲解开始，循序渐进地引入到复杂的竞赛题型中。作者的叙述方式非常生动，仿佛一位经验丰富的老师在耳边亲自指导，很多以前觉得晦涩难懂的知识点，在作者的引导下变得豁然开朗。特别是书中对一些经典例题的深度剖析，简直是教科书级别的示范，不仅展示了如何得出答案，更重要的是阐述了背后的数学思想和解题策略。对于我这种正在为数学竞赛做准备的学生来说，这套书无疑是如虎添翼的神器。它不仅仅是一本习题集，更像是一本能带我领略数学之美的地图册。

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老实说，我刚开始对“奥赛辅导丛书”这类书籍抱有很高的期望，但很多都流于表面，讲得不够深入。然而，这套书彻底颠覆了我的看法。它的理论深度和广度都达到了相当高的水准，即便是像我这样已经接触过一些竞赛内容的人，也能从中挖掘出新的知识点和更优化的解法。特别是在某些专题的讲解部分，作者敢于挑战传统，提出了许多新颖的视角和解题技巧，这些都是我在其他教材中未曾见过的。阅读过程就像是进行了一场高强度的脑力激荡，让人在挑战中不断进步，真正体会到数学的魅力和思维的乐趣。我强烈推荐给所有追求卓越的数学学习者。

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史济怀先生写的，非常经典的介绍组合数学与母函数的奥赛书籍

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