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出版者:Princeton University Press

作者:L P Neuwirth

出品人:

页数:334

译者:

出版时间:1975

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780691081670

丛书系列:

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《纽结、群论与三维流形》：一段跨越几何、代数与拓扑的探索之旅 《纽结、群论与三维流形》并非一本浅显的读物，它是一扇通往数学深层之美的窗口，为读者打开了一个充满抽象概念和精妙联系的宇宙。本书的核心在于探索三个看似独立但实则紧密交织的数学领域：纽结理论（Knot Theory），群论（Group Theory），以及三维流形（3-Manifolds）。它不仅仅是知识的罗列，更是一段引导读者深入理解这些概念如何相互作用，如何共同揭示空间和结构的内在本质的旅程。 纽结理论：缠绕的艺术与分类的挑战 本书的第一部分将我们带入一个看似简单的世界——在三维空间中，我们如何理解“绳子”的缠绕方式？纽结理论正是研究这些“不可解开的绳圈”的学科。从最基础的“平凡纽结”（一个没有缠绕的圆环）开始，读者将逐渐接触到各种复杂的纽结形态。本书会详细阐述如何区分不同的纽结，即使它们看起来相似，或者可以通过平滑的变形（即不剪断、不穿过自身）相互转化。这涉及到定义纽结不变量（Knot Invariants），即那些在纽结变形过程中保持不变的量。 我们将在书中深入探讨一些经典的纽结不变量，例如亚历山大多项式（Alexander Polynomial）和琼斯多项式（Jones Polynomial）。这些代数工具能够赋予每个纽结一个独特的“指纹”，从而帮助我们判断两个纽结是否相同，即使它们在视觉上难以辨认。本书会循序渐进地介绍计算这些多项式的算法和方法，并阐释它们背后的几何直觉。从射影平面（Projective Plane）中的纽结嵌入，到弦理论（String Theory）中纽结的概念应用，本书将展现纽结理论在不同领域中的强大生命力。 除了代数不变量，我们还将审视纽结的拓扑性质。例如，过桥数（Crossing Number）——在平面投影中，需要的最少交叉点数量——是衡量纽结复杂度的直观指标。本书将探讨如何通过Reidemeister移动（Reidemeister Moves）来理解纽结的等价性，以及如何利用这些移动来简化纽结图，从而更有效地识别和分类纽结。 群论：抽象结构的语言与对称性的力量 纽结的复杂性和分类需求，自然而然地引出了群论的强大工具。本书第二部分将深入介绍群论的基本概念。我们将从二元运算（Binary Operation）、单位元（Identity Element）、逆元（Inverse Element）以及结合律（Associativity）这些构成群的基石开始。读者将接触到阿贝尔群（Abelian Groups）（也称为交换群）和非阿贝尔群（Non-Abelian Groups）的区别，理解它们的结构以及性质。 本书将重点关注与纽结理论紧密相关的群——纽结群（Knot Group）。纽结群是纽结理论中的一个核心不变量，它捕捉了围绕纽结的“空间如何缠绕”的信息。我们将在书中详细讲解如何从纽结的平面图生成其弗里德曼演示（Wirtinger Presentation），并以此来定义纽结群。通过研究纽结群的子群（Subgroups）、正规子群（Normal Subgroups）和商群（Quotient Groups），我们可以获得关于纽结拓扑结构的深刻洞察。 此外，本书还将触及表示论（Representation Theory），探讨如何将抽象的群元素映射到向量空间（Vector Spaces）中的线性变换（Linear Transformations）。这为我们提供了另一种理解群结构和计算不变量的强大途径。例如，李群（Lie Groups）和李代数（Lie Algebras）等更高级的群结构，虽然可能不直接用于基础纽结的计算，但其背后的思想将为读者理解更广泛的数学结构打下基础。 三维流形：空间的内在几何与拓扑的边界 在理解了纽结和群论的语言后，本书第三部分将引领我们进入更宏大的空间——三维流形。流形是一种局部上类似于欧几里得空间的拓扑空间。一个零维流形是点，一维流形是曲线，二维流形是曲面。而三维流形，则是我们本书的终极舞台。 本书将区分嵌入式三维流形（Embedded 3-Manifolds）和嵌入在四维空间中的三维流形（3-Manifolds Embedded in 4-Space）。我们将重点关注完备的三维流形（Closed 3-Manifolds），即紧致且无边界的三维空间。研究三维流形的拓扑分类是本书的重要目标之一。是否所有看起来不同的三维流形都可以通过连续变形相互转化？这是数学家们长期探索的问题。 瑟斯顿的几何化猜想（Thurston's Geometrization Conjecture）（现已由佩雷尔曼证明）将成为本书讨论的焦点。这一猜想指出，任何一个紧致、无边界的三维流形都可以被分解成若干个具有一致几何（Uniform Geometries）的“标准块”。本书将介绍这些八种标准几何，包括欧几里得几何、球面几何、双曲几何等，并解释为何它们在三维流形的分解中如此重要。 我们将探讨如何利用纽结和群论的工具来研究三维流形。例如，佩里树（Perelmann's Ricci Flow）在证明几何化猜想过程中扮演了关键角色，它是一种演化流形几何的方法。此外，霍普夫纤维化（Hopf Fibration）等例子将展示三维流形是如何由更低维度的对象构建而成，以及不同三维流形之间的映射（Maps）和同伦（Homotopy）关系。 知识的交汇与深层联系 《纽结、群论与三维流形》的精髓在于揭示这三个领域之间错综复杂的联系。纽结的纽结群提供了研究三维空间结构的重要线索，而三维流形的分类又反过来为理解纽结的性质提供了更广阔的视角。例如，一个纽结在三维球面S³上的补集（Knot Complement）是一个三维流形，其拓扑性质（特别是其基团，即外层空间群（External Group））与纽结本身密切相关。 本书将带领读者通过一系列定理（Theorems）、引理（Lemmas）和证明（Proofs），一步步构建起这些联系。我们将学习如何使用代数拓扑（Algebraic Topology）的工具，如同调论（Homology Theory）和同伦论（Homotopy Theory），来理解流形的整体结构。同时，微分几何（Differential Geometry）的概念，如曲率（Curvature）和测地线（Geodesics），也将用于描述流形的内在几何性质。 这本书不仅适合对数学有浓厚兴趣的本科生和研究生，也对希望拓展数学视野的专业研究人员具有极高的价值。它将激发读者对抽象数学的热情，培养解决复杂问题的能力，并深刻理解数学语言在描述和探索宇宙结构中的强大力量。阅读《纽结、群论与三维流形》，就如同踏上了一场智慧的探险，在抽象的海洋中寻找规律，在缠绕的线索中发现真理，在空间的结构中洞察本质。

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坦率地说，这本书的难度系数不低，它更偏向于研究生或高年级本科生的进阶读物，绝非轻松的入门读物。但其价值恰恰在于这种挑战性。它拒绝提供简化或肤浅的解释，而是直面数学的复杂性。书中对流形上的覆盖空间理论的运用，尤其令人印象深刻。作者不仅定义了覆盖空间，更重要的是，他们展示了如何利用覆盖空间来研究流形的拓扑性质，特别是如何通过研究覆盖空间的基本群，来反推出原流形的结构。这种从具体到抽象，再从抽象回到具体结构解释的循环论证，是高等拓扑学思维的核心。我发现自己不得不频繁地参考代数拓扑学的预备知识，但这种“查漏补缺”的过程，反而加深了我对相关领域知识的整合能力。这本书迫使你成为一个更严谨的数学家。

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我花了整整一个夏天来消化这本书的内容，每一次阅读都有新的体会。这本书的叙事节奏非常独特，它不是那种平铺直叙、面面俱到的参考书，而是更像一位经验丰富的导师，引导你一步步走向问题的核心。例如，在处理三维流形的分类问题时，作者巧妙地引入了 Seifert 纤维化流形的概念，并在接下来的章节中，通过精巧的论证展示了它们在拓扑分类中的关键作用。这种“搭积木”式的数学构建方式，极大地提高了阅读的趣味性。我特别欣赏它在处理“手术”（Surgery）操作时的细致程度，那部分内容常常是其他教材中的难点，但在这里，通过清晰的图示和详尽的代数计算，即便是复杂的球面纤维丛上的手术，也能被清晰地解构。对于正在进行或计划进行几何化猜想相关研究的学者而言，这本书提供的技术背景是无可替代的，它构建了一个扎实的计算和概念基础。

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这本《Knots, Groups and 3-Manifolds》绝对是拓扑学领域的一部里程碑式的著作。初次翻开时，就被其严谨的数学结构和深入浅出的论述方式所震撼。它不仅仅是一本教科书，更像是一次深入数学思想腹地的探险。作者对纽结理论（Knot Theory）的阐述极其详尽，从最基础的 Reidemeister 移动开始，逐步构建起一个完整的理论框架。特别是关于 Jones 多项式和 Vassiliev 不变量的讨论，展现了作者对现代低维拓扑学前沿的深刻洞察力。书中对于群论在几何学中的应用，特别是基本群（Fundamental Group）如何编码三维流形的信息，讲解得鞭辟入里。这种将看似抽象的代数概念与具体的几何对象紧密结合的能力，是本书最引人入胜之处。对于那些希望从初级拓扑学迈向专业研究的读者来说，这本书无疑提供了一个坚实而富有启发性的跳板。它要求读者具备一定的代数基础，但回报是巨大的——你将对三维空间和纽结的内在结构有一个全新的认识。

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如果你期待的是一本包含大量鲜艳彩色插图和大量应用案例的“科普读物”，那么《Knots, Groups and 3-Manifolds》可能会让你失望。它的美在于纯粹的逻辑和清晰的符号系统。书中充斥着大量的定理、引理和证明，每一个步骤都经过了最严格的逻辑检验。我尤其推崇它在引入 Dehn 综述（Dehn Invariants）时的处理方式。作者没有草率地给出定义，而是先用一个直观的例子（例如，不同截面的三棱柱的体积差异）来激发读者的直觉，然后才正式进入代数构造。这种处理方式极大地帮助我理解了为什么需要引入这个复杂的拓扑不变量。对于那些已经掌握了基本拓扑工具，并渴望深入了解三维拓扑如何与几何群论交织在一起的读者来说，这本书简直就是一盏明灯，它提供的理论深度是其他教材难以企及的。

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这本书的结构布局体现了作者深厚的学术功底和对学科脉络的精准把握。它巧妙地平衡了代数（群论，同伦群）与几何（流形，纽结）之间的关系，构建了一个统一的理论框架。我个人最欣赏的是，作者在介绍完一个复杂的理论工具后，总会紧接着提供一个极具洞察力的例子或一个具有里程碑意义的定理的证明，以此来巩固读者的理解。例如，关于 Heegaard 分解的部分，处理得极其到位，清晰地展示了如何利用此分解来系统地描述和构造三维流形。这本书的语言风格是高度专业化且凝练的，没有多余的赘述，每一个句子都承载着重要的数学信息。它需要的不是快速翻阅，而是沉下心来，在草稿纸上演算每一个细节。这是一部需要投入时间去“啃”的经典，一旦掌握，其对后续学习和研究的助益将是深远的。

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