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出版者:新蕾出版社

作者:冯晶

出品人:

页数:32

译者:

出版时间:2002-02

价格:8.00

装帧:平装

isbn号码:9787530727713

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 启蒙
• 儿童
• 教育
• 认知
• 数字
• 算术
• 学龄前
• 幼儿
• 思维训练

好的，这里是一份针对一本名为《数之学》系列图书（假设此系列涵盖了从入门到高阶的数学学习内容，但为避免与您的具体书籍《数之学1～5》重叠，以下介绍的是不包含该系列内容的数学图书的详细简介）的图书简介，力求详实、自然，避免任何人工痕迹。 《探微求真：跨越代数与几何的思维矩阵》系列图书简介 本系列图书，共计八卷，旨在为渴求深入理解数学本质、不满足于基础公式推导的学习者提供一套全新的认知框架。我们的核心理念是：数学并非孤立的运算规则，而是构建真实世界模型、解析复杂系统的核心语言。本系列将着重于数学思想的孕育、跨学科应用的深度整合，以及证明的逻辑艺术，彻底避开对初等算术、基础代数（如一元二次方程求解、基础函数图像描绘）和初中几何（如勾股定理的直接应用、三角形全等判定）的重复讲解。 第一卷：非欧空间与黎曼几何的拓扑基石 本卷放弃了对欧几里得平面几何的常规回顾，直接切入微分几何的萌芽。我们探讨的是“弯曲空间”的数学描述：如何用张量场来定义曲率？ 核心内容： 介绍流形（Manifolds）的概念，从拓扑空间出发，理解度量（Metric）如何赋予空间结构。详细剖析黎曼曲率张量的构造，解释其物理意义——它告诉我们，在一个弯曲的局部区域内，平行移动的向量是如何发生“漂移”的。 应用视角： 深入分析闵可夫斯基时空与广义相对论中空间弯曲的数学模型，展示曲率如何成为引力的来源。重点关注测地线的求解，理解物体在弯曲时空中“最直”的路径。 思维训练： 强调坐标无关性（Covariance）在数学描述中的重要性，培养“在任何坐标系下都保持一致”的抽象思维。 第二卷：群论、环与域：抽象代数的结构美学 本卷将代数从具体的数域中解放出来，聚焦于结构本身。它不是介绍群的基本定义，而是探讨这些结构的深层性质与应用。 核心内容： 深入探究同态与同构，理解如何判断不同数学对象是否具有相同的“骨架”。着重讲解伽罗瓦群（Galois Groups）的构造及其在证明五次及以上代数方程无一般根式解中的决定性作用。 重点突破： 对有限域（Finite Fields）的构建和性质进行详尽阐述，这是现代密码学（如椭圆曲线加密）的理论基石。分析Sylow定理在有限群分类中的关键地位。 对比分析： 将环论的知识点与数论中的理想（Ideals）概念进行对接，展示抽象代数如何为数论提供强大的工具箱。 第三卷：测度、积分与概率论的严格化 本卷目标在于建立概率论和泛函分析的严格分析基础，超越了牛顿-莱布尼茨微积分的局限。 核心内容： Lebesgue测度的构建过程，理解其相较于Jordan测度的优越性。详细论述Lebesgue积分的定义及其收敛定理（如占优收敛定理）。 理论升华： 将测度论应用于概率空间，构建概率测度。在此基础上，推导出鞅（Martingales）的性质及其在随机过程中的收敛性。 实战演示： 分析布朗运动的数学模型，理解其路径的不可微性，以及如何利用Itô积分（仅作概念介绍，不深入计算技巧）处理随机微分方程。 第四卷：拓扑空间与连续性的本质 本卷完全剥离了度量（距离）的概念，转而研究点集拓扑中“邻近”和“连通”的纯粹形式。 核心内容： 拓扑空间的公理化定义，重点探讨开集、闭集的构造。深入分析紧致性（Compactness）的拓扑定义（开覆盖），而非仅限于欧氏空间中的有界闭集。 关键概念： 探讨连通性的分解，以及同胚（Homeomorphism）的概念，理解拓扑学中“可以拉伸但不能撕裂”的本质。 高阶主题： 引入基本群（Fundamental Group）的概念，说明它如何区分不同“洞”的拓扑结构（例如，圆盘与甜甜圈表面的区别）。 第五卷：复分析的高级函数理论 本卷的焦点在于解析函数的深层特性，这些特性在实数域中是不可想象的。 核心内容： 深度解析柯西-黎曼方程，强调解析函数在局部具有无穷次可微性。详细论述留数定理的构造与应用，展示其在计算复杂实积分中的强大威力。 结构洞察： 探讨孤立奇点的分类（可去、极点、本质奇点），并利用洛朗级数进行局部展开。 理论联系： 介绍共形映射（Conformal Mappings），理解它们如何保持角度，以及它们在解决二维势流问题中的应用。 第六卷：数论的现代视角：解析与代数交汇 本卷不再停留在初等数论的同余运算上，而是运用微积分和代数工具来研究整数的分布。 核心内容： 严格推导素数定理的渐进公式，理解$pi(x) sim ext{Li}(x)$背后的复变函数论基础（涉及黎曼Zeta函数的零点分布）。 代数介入： 介绍代数数论的基础，如高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$ 和唯一分解整环（UFD）的概念。分析费马大定理在特定数域中的历史突破。 应用前沿： 初探椭圆曲线在数论中的角色，关注其群结构以及与费马大定理的联系。 第七卷：线性代数的高维与无限维度 本卷将线性代数的概念推广到无穷维空间，是泛函分析的预备课程。 核心内容： 向量空间不再局限于 $mathbb{R}^n$，而是扩展到函数空间（如 $L^p$ 空间）。引入算子（Operators）的概念，并研究线性算子的性质。 关键工具： Hadamard不等式和奇异值分解（SVD）的深层几何意义，理解它如何揭示矩阵的“内在维度”和“最佳低秩近似”。 理论深化： 介绍谱理论（在有限维度上即特征值分解），理解自伴算子在描述物理量（如能量）时的重要性。 第八卷：组合学的生成函数与图论的结构映射 本卷聚焦于离散数学中复杂对象的可数性和结构化表示。 核心内容： 普通生成函数（OGF）和指数生成函数（EGF）的构造与应用，展示如何用代数工具（如微分方程或幂级数运算）来解决复杂的计数问题，而非仅仅依赖于枚举。 图论的深入： 不仅限于欧拉路、哈密顿路，而是深入研究平面图的对偶性、图着色问题的复杂性，以及流量网络中的最大流最小割定理的严格证明。 连接性： 探讨 Ramsey理论的直观思想，即在一个足够大的系统中，必然存在具有特定结构的子结构。 本系列旨在构建一个连续、互锁的数学知识体系，让学习者体验从公理化、抽象化到实际建模的完整思维链条。它要求读者已具备扎实的微积分和基础线性代数功底，目标是培养能够独立进行数学研究和复杂工程建模的分析能力。

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这本书，我大概是高中时期开始接触的吧，那时候对数学的兴趣还没现在这么浓厚，更多的是一种完成作业的机械感。拿到《数**的学习1》时，说实话，我对它的期望值并不高，总觉得又是那种枯燥乏味的教科书翻版。然而，当我翻开第一章，那种感觉立刻就被打破了。它不像我们平时上的数学课那样，上来就是一堆公式和定理让你死记硬背。作者的叙述方式非常巧妙，仿佛是在跟你进行一场私密的、循序渐进的对话。他总能找到一个非常生活化或者形象化的例子来引入一个抽象的概念，比如讲解集合的时候，他会从我们日常生活中收集邮票或者书籍的分类讲起，让你瞬间理解了集合的本质。更让我印象深刻的是，这本书在基础概念的铺陈上做得极其扎实。很多我以前在其他地方怎么都绕不过去的知识点，比如微积分的极限思想，在这本书里被拆解得无比细致，每一个小小的逻辑跳跃都被清晰地填补上了。读完第一册，我发现我对数学的恐惧感真的消退了不少，取而代之的是一种探索未知的兴奋。它不仅仅是教你怎么解题，更重要的是在塑造你对数学的整体认知框架。对我来说，它更像是一把钥匙，开启了我对数字世界更深层次的好奇心。

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从一个初学者的角度来看，这套书的结构设计简直是教科书级别的范本——它成功地在“广度”和“深度”之间找到了完美的平衡。《数**的学习1》到《数**的学习5》，它像一条精心铺设的轨道，载着读者从最基本的算术直觉，平稳地过渡到高等数学的殿堂。我特别欣赏它对“工具性”的强调，但这种强调是建立在对本质理解之上的。例如，在讲解微积分时，它会花大量篇幅去论证泰勒展开式的收敛性，而不仅仅是教授如何应用公式求导积分。到了后期，它又巧妙地将前期建立的代数结构知识串联起来，展示出数学理论的内在统一性。这种体系化的构建方式，让你读完后不会觉得知识点是零散的，而是形成了一个逻辑严密、相互支撑的知识网络。我最大的感受是，通过这五本书的学习，我不仅掌握了解决特定问题的技能，更重要的是培养了一种用数学的眼光去审视和分析世界的思维模式，这比任何单一的知识点都要宝贵得多。

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我是一个对视觉呈现有要求的人，很多纯文字的数学书读起来非常吃力，因为缺乏必要的空间想象辅助。《数**的学习2》在这方面做得非常出色。它对图形和图表的运用达到了艺术的层面。那些二维和三维空间的几何证明，通过精心设计的插图，变得异常清晰。例如，在讲解向量空间中的基和维度的概念时，作者没有仅仅停留在代数定义上，而是配有大量的多面体投影图和坐标系变换的动态示意图（尽管是静态图片，但设计感让人能“看到”运动）。这些图示不仅仅是装饰，它们是理解概念的必要组成部分。我记得有一段关于傅里叶级数的解释，用不同频率的正弦波叠加来逼近一个方波，书里的图示将叠加过程的每一步都精准地描绘了出来，那种“逼近”的动态过程在纸面上鲜活地展现出来，让我瞬间明白了为什么傅里叶分析在信号处理中如此强大。这种对视觉语言的精准把握，极大地降低了理解曲线和空间的难度。

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进入大学后，学习的深度和广度都上了一个台阶，《数**的学习3》和《数**的学习4》成了我案头常备的工具书。特别是关于抽象代数和拓扑学的介绍部分，简直是神来之笔。我记得当时我们教授在讲授群论的时候，我感觉很多同学都在状态外，概念之间跳跃太大。但我提前翻阅了这几册书，尤其是对“结构”和“同构”的阐述，让我一下子就抓住了重点。作者没有直接堆砌定义，而是通过一系列优雅的类比和几何直观来构建理解的桥梁。比如，在描述同态和同构时，他会用音乐中不同调性的曲子，虽然听起来音高不同，但其内在的和声结构是完全一致的，这种类比精准又易于记忆。相比于其他高等数学教材那种冷冰冰的、完全基于公理化的推导，这套书最大的优点在于它的“人性化”。它理解读者在面对高度抽象概念时的认知瓶颈，并且总能提供一个“退一步”的视角，让你先在熟悉的领域建立起直觉，然后再稳步迈向纯粹的数学领域。阅读过程中，我甚至觉得作者本人就是一个非常有耐心的数学导师，他总是在你快要迷失方向时，轻轻拉你一把，指引你看清远方的灯塔。

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说实话，这套书的价值远超出了它“学习工具”的范畴，它更像是一部数学思想史的缩影。《数**的学习5》中对于数论和近世代数联系的探讨，让我看到了数学家们在不同分支之间寻找普适规律的伟大智慧。我尤其喜欢作者在章节末尾设置的“历史背景与哲学思考”部分。他会介绍某个定理是如何在历史的长河中被发现、被质疑、最终被接纳的过程。这让数学不再是孤立的知识点，而是人类文明发展中不断迭代、修正的活的知识体系。通过了解哥德尔不完备性定理的提出背景，我才真正理解了数学的边界和局限性，这极大地拓宽了我的思维维度，让我不再把数学视为一个绝对真理的集合。很多时候，我不是在“学习”知识，而是在“追随”数学家的思维轨迹，体会他们发现真理时的那种震撼与喜悦。这种深层次的代入感，是任何单纯的习题集或者标准教材都无法提供的体验。

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