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出版者:Springer-Verlag New York Inc.

作者:Grubb, Gerd

出品人:

页数:478

译者:

出版时间:2010-2

价格:$ 79.04

装帧:

isbn号码:9781441927439

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• PDE
• OperatorTheory
• Mathematics
• FunctionalAnalysis
• FunctionSpaces
• 数学
• 分析
• 泛函分析
• 分布理论
• 算子理论
• 偏微分方程
• 数学物理
• 线性代数
• 傅里叶分析
• 应用数学

《统计分布模型与函数运算》 本书深入探讨了现代统计学中至关重要的两大核心概念：统计分布模型和函数运算。我们将从基础理论出发，逐步构建起读者对各种常见统计分布的深刻理解，并在此基础上，详细阐述如何对这些分布进行各种形式的数学运算，以及这些运算在实际应用中的意义和价值。 第一部分：统计分布模型 我们将首先聚焦于统计分布模型的构建与解析。这部分内容旨在为读者提供一个坚实的概率论基础，并详细介绍一系列在科学研究、工程应用、金融分析等领域广泛使用的概率分布。 概率论基础回顾： 我们将从随机变量、概率质量函数（PMF）、概率密度函数（PDF）、累积分布函数（CDF）等基本概念入手，确保读者对概率分布的数学表达有清晰的认识。 离散概率分布： 二项分布（Binomial Distribution）： 探讨在固定次数的独立伯努利试验中，成功次数的概率分布。我们将分析其参数（试验次数n和成功概率p）的影响，并介绍其均值、方差以及在实际场景中的应用，例如质量控制、投票分析等。 泊松分布（Poisson Distribution）： 研究在固定时间或空间间隔内，某个事件发生的次数的概率分布。我们将深入理解其参数（平均发生率λ）的意义，探讨其与二项分布的关系，并列举其在电话呼叫中心、交通事故发生频率等方面的应用。 几何分布（Geometric Distribution）： 关注的是首次成功所需的试验次数的概率分布。我们将分析其参数（成功概率p）对分布形态的影响，并探讨其在可靠性工程、在线广告点击率预测等领域的应用。 负二项分布（Negative Binomial Distribution）： 考察的是达到一定成功次数所需的试验次数的概率分布。我们将介绍其不同参数化形式，并说明其在市场研究、疾病传播模型中的应用。 超几何分布（Hypergeometric Distribution）： 研究在不放回抽样中，从有限总体中抽取到特定类型样本的概率分布。我们将解释其与二项分布的区别，并说明其在质量检验、彩票中奖分析等方面的应用。 连续概率分布： 均匀分布（Uniform Distribution）： 探讨在给定区间内，取值概率均等的连续分布。我们将分析其参数（区间端点）对分布的影响，并说明其在模拟随机数、交通流量建模中的应用。 正态分布（Normal Distribution / Gaussian Distribution）： 作为最重要的连续分布之一，我们将对其进行详尽的分析。从其美妙的钟形曲线出发，深入理解其均值（μ）和标准差（σ）对分布形态的决定性作用。我们将详细介绍标准正态分布，并讲解如何利用Z-score进行标准化以及查表或使用软件计算概率。此外，本书还将重点介绍中心极限定理（Central Limit Theorem），解释为何许多自然现象和统计变量都服从正态分布，并阐述其在统计推断中的核心地位。我们将探讨正态分布在金融市场波动分析、测量误差、生物特征测量等领域的广泛应用。 指数分布（Exponential Distribution）： 研究的是事件发生间隔时间的概率分布，特别适用于描述无记忆性过程。我们将分析其参数（率参数λ）的含义，并探讨其在可靠性分析、排队论、通信系统中的应用。 伽马分布（Gamma Distribution）： 作为指数分布的推广，我们将探讨其作为一系列独立同分布指数随机变量之和的分布。我们将深入分析其形状参数（k）和尺度参数（θ）对分布形态的影响，并介绍其在金融风险建模、生命周期分析等领域的应用。 贝塔分布（Beta Distribution）： 关注的是介于0和1之间的随机变量的概率分布，常用于表示概率的概率。我们将分析其两个形状参数（α和β）对分布形状的精妙控制，并说明其在贝叶斯统计、比例数据建模、机器学习中的应用。 韦布尔分布（Weibull Distribution）： 重点研究其在可靠性工程和寿命分析中的应用，特别擅长描述具有磨损或随时间变化的故障率的系统。我们将分析其形状参数、尺度参数和位置参数对寿命分布的影响。 t分布（Student's t-distribution）： 介绍在样本量较小且总体标准差未知时，用于估计总体均值的分布。我们将分析其自由度（degrees of freedom）对分布形态的影响，并重点讲解其在置信区间估计和假设检验中的应用。 卡方分布（Chi-squared Distribution）： 探讨其作为一组独立标准正态随机变量平方和的分布。我们将分析其自由度对分布形态的影响，并重点阐述其在方差检验、拟合优度检验以及独立性检验等方面的核心作用。 F分布（F-distribution）： 研究两个独立卡方随机变量之比的分布。我们将分析其两个自由度参数对分布形态的影响，并重点讲解其在方差分析（ANOVA）和回归分析中的关键应用。 第二部分：函数运算与分布变换 在对各种统计分布有了深入理解之后，本部分将聚焦于如何对这些分布进行有效的数学运算，以及这些运算如何改变分布的形态，并产生新的分布。 随机变量函数的分布： 线性变换： 研究 $Y = aX + b$ 形式的变换如何影响随机变量 $X$ 的分布。我们将推导 $Y$ 的均值、方差以及其新的分布类型，例如正态分布的线性变换仍然是正态分布。 非线性变换： 探讨如 $Y = X^2$ 或 $Y = ln(X)$ 等非线性变换对分布的影响。我们将学习如何利用变量变换法（Jacobian method）来推导新分布的概率密度函数。 两个随机变量函数的分布： 和的分布： 研究 $Z = X + Y$ 的分布，特别是当 $X$ 和 $Y$ 独立时，将介绍卷积（Convolution）方法，并探讨例如两个独立正态分布的和仍然是正态分布。 差的分布： 研究 $Z = X - Y$ 的分布。 积的分布： 研究 $Z = XY$ 的分布。 商的分布： 研究 $Z = X/Y$ 的分布，例如t分布和F分布的来源。 期望与方差的运算： 线性性质： 详细阐述 $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$ 和 $Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2abCov(X, Y)$ 的性质，并探讨独立变量时的简化形式。 条件期望： 引入条件期望的概念，并研究其在预测和信息更新中的应用。 矩母函数（Moment Generating Function, MGF）与特征函数（Characteristic Function, CF）： 定义与性质： 介绍这两种强大的工具，它们能够唯一地确定一个概率分布，并方便地计算随机变量的各种矩（均值、方差、偏度、峰度等）。 应用： 重点演示如何利用矩母函数和特征函数来推导和变换分布，例如证明两个独立泊松变量的和服从泊松分布。 共轭先验与贝叶斯更新： 共轭分布的概念： 介绍在贝叶斯统计中，当似然函数和先验分布属于同一族时，后验分布也属于该族。 常见共轭分布对： 列举并分析如Beta-Binomial、Gamma-Poisson、Beta-Uniform等共轭分布对，并展示如何利用它们进行高效的贝叶斯模型更新。 多元统计分布： 多元正态分布： 介绍其概率密度函数、协方差矩阵的意义，以及其在多元统计分析中的重要性，例如主成分分析（PCA）和因子分析（Factor Analysis）的基础。 多元t分布、Wishart分布等： 简要介绍这些更高级的多元分布，并提及它们在金融建模、时间序列分析等领域的应用。 本书致力于提供一个全面且实用的统计分布模型与函数运算的知识体系。通过理论讲解、公式推导和案例分析相结合的方式，读者将能够熟练掌握各种统计分布的特性，理解它们之间的内在联系，并能灵活运用函数运算来处理和分析复杂的数据问题。无论您是统计学专业的学生，还是在数据科学、机器学习、金融工程等领域工作的专业人士，本书都将是您宝贵的参考资料。

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总而言之，《Distributions and Operators》是一本非常值得推荐的数学书籍。无论是对于有志于深入研究数学领域的学生，还是对于希望拓宽知识视野的非数学专业读者，这本书都能够提供极大的帮助。它不仅是一本知识的宝库，更是一次数学思想的启迪之旅。我从这本书中获得的不仅仅是数学知识，更是一种解决问题的方法论和对抽象思维的训练。我强烈建议任何对高等数学感兴趣的朋友，都能翻开这本书，去体验一次数学的魅力。

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《Distributions and Operators》这本书的语言风格也值得称赞。作者在保持数学严谨性的同时，又避免了过于晦涩难懂的术语堆砌。他善于运用比喻和类比，将复杂的概念转化为更容易理解的意象。我尤其欣赏他在解释“算子范数”时，将其比作一个“放大器”的增益，形象地说明了算子对向量长度的“拉伸”程度。这种生动形象的描述，让我在记忆和理解这些数学概念时事半功倍。此外，书中对一些重要定理的阐述，也力求清晰透彻，不会留下模棱两可的解释，让读者能够真正领会其数学内涵。

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坦白说，《Distributions and Operators》这本书的挑战性不言而喻，它需要读者具备一定的数学基础和耐心。但正是这种挑战，才使得成功的阅读体验更加令人回味。作者在引导读者穿越复杂概念迷宫的过程中，始终保持着一种鼓励和引导的态度。我能够感受到作者希望读者不仅仅是“知道”这些概念，而是真正“理解”它们，并能够运用它们去解决问题。书中一些具有启发性的思考题，也促使我去独立思考和探索，这种主动学习的过程，是我在这本书中最大的收获之一。

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《Distributions and Operators》这本书最让我印象深刻的地方在于，它将理论知识与实际应用巧妙地结合在了一起。我原本以为这本书会是一本纯粹的理论探讨，但出乎意料的是，书中引用了大量来自物理学、工程学甚至量子力学领域的例子，来阐释这些抽象数学概念的应用。例如，在讨论狄拉克 $delta$ 函数作为一种广义函数时，作者就将其与物理学中的点电荷或脉冲信号联系起来，展示了它在描述奇点和瞬时变化方面无与伦比的强大能力。这种接地气的讲解方式，让原本枯燥的数学理论变得生动有趣，也让我看到了这些数学工具在解决现实世界问题中的巨大潜力。我开始意识到，那些看似遥远的数学概念，其实离我们的生活并不遥远，它们是理解和塑造我们所处世界的关键。

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这本书的结构设计也非常人性化。作者在每一章的开头都会给出本章的学习目标，并在结尾处进行总结回顾。这种清晰的教学框架，让我能够更好地把握学习的重点和难点。我尤其喜欢作者在处理一些复杂证明时，会先给出一个简化的、直观的思路，然后再逐步展开详细的推导。这样的讲解方式，避免了直接面对复杂的数学符号而产生的畏难情绪，让我能够循序渐进地理解 proofs 的逻辑链条。而且，书中穿插的练习题也设计得非常得当，既有巩固基础的概念题，也有需要运用所学知识解决的综合性问题，这极大地提升了我的学习效果。我感觉自己不仅仅是在阅读一本数学书籍，更像是在与一位耐心的老师进行一场富有成效的对话。

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我必须说，《Distributions and Operators》这本书在我的阅读生涯中留下了深刻的印记。它不仅为我打开了通往高等数学殿堂的大门，更重要的是，它激发了我对数学学习的持久热情。在阅读过程中，我曾多次因为理解某个概念而陷入沉思，但每当我最终克服困难，豁然开朗的那一刻，都会感受到一种巨大的成就感。这本书让我明白，学习数学并非是死记硬背公式，而是理解概念背后的逻辑和思想。作者在书中不经意间流露出的对数学的热爱，也深深地感染了我，让我对这个看似冷冰冰的学科产生了更深的共鸣。

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最近有幸读了《Distributions and Operators》这本书，虽然我本身并非数学科班出身，但一直对抽象的数学概念抱有浓厚的兴趣。在浏览书店时，这本书的封面和标题就深深地吸引了我。它散发着一种严谨而又充满魅力的气息，仿佛预示着一段探索未知数学领域的旅程。拿到书后，我迫不及待地翻开，试图理解那些我从未接触过的数学工具。最初，我对“分布”和“算子”这两个词汇的含义感到十分模糊，只知道它们在高级数学中扮演着至关重要的角色。然而，随着阅读的深入，我逐渐感受到作者在概念引入上的循序渐进。他并没有上来就抛出复杂的定义和定理，而是通过一些直观的例子和类比，将那些抽象的概念一点点地具象化。例如，在解释“分布”时，作者并没有局限于微积分中函数的概念，而是将其扩展到更广阔的范畴，比如描述物理现象中的不确定性或测量误差。这种处理方式极大地降低了我的阅读门槛，让我能够以一种更加放松的心态去理解那些原本可能令人生畏的数学思想。

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这本书的排版和印刷质量也非常令人满意。大量的数学公式都得到了清晰而规范的排版，字体大小适中，阅读起来非常舒适。书中一些重要的定义和定理，都采用了加粗或者不同颜色的字体，使得它们更加醒目，方便查阅。我发现，高质量的排版对于一本数学书籍来说是至关重要的，它能够极大地提升读者的阅读体验，减少不必要的干扰。这本书在这些细节上做得非常到位，让我能够完全专注于内容本身。

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我对《Distributions and Operators》这本书的整体感觉，可以用“豁然开朗”来形容。在阅读之前，我总觉得某些高等数学领域，比如泛函分析或者偏微分方程，就像是一座难以逾越的高山，而这本书则像是一位经验丰富的向导，为我指引了攀登的路径。作者在讲解“算子”时，特别强调了它作为一种“变换”的本质，这种变换不仅仅是对数字的映射，更是对函数空间本身的结构性操作。我发现，很多看似复杂的数学问题，一旦用算子的语言来描述，就会变得清晰而有条理。比如，在处理微分方程时，作者巧妙地将微分算子引入，使得方程的求解过程从繁琐的代数运算转变为对算子性质的分析，这不仅大大简化了计算，更让我从一个全新的角度理解了问题的本质。书中对不同类型的算子，如线性算子、有界算子、自伴算子等的区分和讨论，也让我对算子家族有了更深入的认识。

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《Distributions and Operators》这本书的深度和广度都让我印象深刻。作者不仅详细介绍了广义函数和算子的基本理论，还探讨了它们在许多重要数学分支中的应用，例如傅里叶分析、希尔伯特空间以及谱理论等。我特别欣赏书中关于算子谱的研究，它揭示了算子的内在结构和性质，为理解线性算子的行为提供了强大的工具。通过这本书，我了解到，看似简单的线性变换，其背后的谱结构可以蕴含如此丰富的信息。这种对数学概念的深入挖掘，让我对数学的理解提升到了一个新的层次。

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关于operator realization的部分很值得一读。

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