具体描述
《非线性椭圆型方程》系统地介绍了二阶线性椭圆算子的特征值理论，半线性椭圆型方程和方程组的上下解方法及其应用，拓扑度理论和分支理论及其应用，方程组的解耦方法，Nehari流形方法及其应用，p-Laplace算子的特征值理论和p-Laplace方程(组)的上下解方法及其应用。
《非线性椭圆型方程》选题先进、内容新颖丰富，大部分内容取自同行近几年发表的论文。尽可能地做到了自封、系统、循序渐进，强调基础理论的同时，注重具体应用。《非线性椭圆型方程》深入浅出，文字通俗易懂，并配有适量难易兼顾的习题。学完《非线性椭圆型方程》，读者就可以直接进入相关研究领域，开展研究工作。
《非线性椭圆型方程》可作为微分方程、动力系统、泛函分析、计算数学、控制论与相关理工科方向研究生的教材和教学参考书，也可作为数学、工程等领域的青年教师和科研人员的参考书。
作者简介
目录信息
第1章 预备知识
1.1 Banach空间上的微分学
1.1.1 Fréchet导数
1.1.2 Gâteaux导数
1.2 无条件局部极值
1.2.1 无条件极值存在的必要条件
1.2.2 无条件极值的存在性
1.3 应用
习题1
第2章 二阶线性椭圆算子的特征值问题
2.1 引言
2.2 主特征值及其对应的特征函数
2.3 主特征值、最大值原理与正的严格上解之间的关系
2.4 散度型二阶线性椭圆算子的特征值
2.4.1 特征值的极值性质
2.4.2 特征值的无界性和特征函数系的完备性
2.4.3 特征值的变化
2.4.4 主特征值与谱半径之间的关系
2.5 非完全耦合的二阶线性椭圆型方程组的特征值问题
2.6 另一类特征值问题
2.6.1 在Ω上p(x)≥0的情形
2.6.2 在Ω上p(x) 变号的情形
2.7 特征值的完备性定理的应用
习题2
第3章 上下解方法
3.1 完全非线性方程古典解的比较原理
3.2 一个一般形式的比较原理和正解的唯一性
3.3 方程式的上下解方法
3.3.1 解的存在性
3.3.2 单调迭代序列
3.4 应用I——几个例子
3.5 应用II——非退化的Logistic方程
3.6 应用III——退化的Logistic方程
3.6.1 正解的存在性和渐近性
3.6.2 摄动与解的模式(pattern)
3.7 弱耦合方程组的上下解方法
3.7.1 解的存在性
3.7.2 单调迭代序列
3.8 弱耦合方程组的例子
3.9 强耦合方程组的上下解方法
3.10 弱上下解方法
3.10.1 半线性方程
3.10.2 拟线性方程
3.11 无界区域上的上下解方法
习题3
第4章 拓扑度和分支理论
4.1 有限维空间上的拓扑度(Brouwer度)
4.1.1 定义
4.1.2 基本性质
4.1.3 应用
4.2 Banach空间上的拓扑度(Leray-Schauder度)
4.2.1 Schauder不动点定理
4.2.2 Leray-Schauder度
4.3 隐函数定理
4.4 孤立解处的度——不动点指数
4.5 分支理论
4.5.1 Lyapunov-Schmidt过程
4.5.2 Morse引理
4.5.3 Morse引理的应用
4.5.4 Krasnoselski定理
4.5.5 Rabinowitz定理
4.6 稳定性
4.7 椭圆型方程组解的稳定性与不动点指数的关系
4.8 应用
4.9 锥上的拓扑度理论
4.9.1 抽象理论
4.9.2 应用
习题4
第5章 方程组的齐次Dirichlet边值问题
5.1 一个带有修正的Holling II型响应函数的捕食模型
5.1.1 先验估计
5.1.2 不动点指数的计算
5.1.3 共存解的存在性
5.1.4 共存解的稳定性与多解性
5.1.5 共存解的分支、稳定性与多解性
5.2 一个带有Holling II型响应函数的捕食模型
5.2.1 共存解的存在性
5.2.2 共存解的渐近性质和估计
5.2.3 共存解的多解性、精确个数与稳定性
习题5
第6章 方程组的齐次Neumann边值问题
6.1 常数解处的指数计算
6.2 一个具有约定机制的三种群模型
6.2.1 U的全局渐近稳定性——常微分问题(6.2.1)
6.2.2 U的全局渐近稳定性——偏微分问题(6.2.4)
6.2.3 交错扩散问题的正平衡解的估计
6.2.4 特征多项式的分析和特征根的估计
6.2.5 非常数正解的大范围存在性
6.3 一个具有年龄结构和交错扩散的捕食模型
6.3.1 先验估计
6.3.2 非常数正解的不存在性
6.3.3 非常数正解的存在性
习题6
第7章 解耦方法
7.1 最大值原理与上下解方法
7.2 变分方法
习题7
第8章 Nehari流形及其应用
8.1 Nehari流形
8.2 应用
8.2.1 λ<λ1(a)的情况
8.2.2 λ>λ1(a)的情况
8.2.3 不存在性
习题8
第9章 p-Laplace方程
9.1 解的正则性、强最大值原理与Harnack不等式
9.2 特征值问题
9.3 主特征值与最大值原理之间的关系
9.4 一个边值问题解的渐近性质
9.5 上下解方法
9.6 应用
9.6.1 一个方程式的边值问题
9.6.2 一个非线性特征值问题
9.7 p-Laplace方程组
习题9
附录A Sobolev空间的若干结论
A.1 几个常用不等式
A.2空间Lp(Ω) 和Wk,p(Ω) 的几个重要性质
A.3 Sobolev不等式
A.4空间Wk,p(Ω) 中的嵌入
A.5空间Wk,p(Ω) 中的紧嵌入
附录B 二阶线性椭圆型方程的若干结论
B.1 极值原理
B.1.1 古典解的极值原理
B.1.2 弱解的极值原理
B.2 Schauder 理论和Lp理论
B.2.1 Schauder估计
B.2.2 Lp估计
B.2.3 解的存在性和估计
参考文献
索引
《现代数学基础丛书》已出版书目
· · · · · · (收起)
读后感
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用户评价
我是一名对几何分析领域充满热情的学者，我的研究常常涉及到曲面上的偏微分方程，其中非线性椭圆型方程占据着重要地位。例如，Monge-Ampère方程在研究凸体和Cauchy-Moyal代数方面起着关键作用，而Monge-Ampère流形的几何性质也常常通过非线性椭圆型方程来刻画。然而，这些方程的分析往往伴随着巨大的技术挑战，需要掌握一系列精密的几何和分析工具。这本书的书名，正好击中了我的研究兴趣。我非常期待书中能够深入介绍那些在几何分析中扮演核心角色的非线性椭圆型方程，例如与曲率、体积相关的方程。我特别关注书中关于解的全局估计，以及如何利用几何背景下的特殊结构来简化分析过程。我希望书中能够详细阐述那些与PDE相关的几何不变量，以及它们如何影响方程解的存在性、唯一性和光滑性。此外，我也对书中关于非线性椭圆型方程在几何流，例如Ricci流中的应用非常感兴趣，这类流体方程的收敛性分析往往依赖于对相关的椭圆型方程的深入理解。这本书的封面设计，简洁而富有内涵，散发出一种数学的深邃之美，这让我对书中内容的深度和广度抱有极高的期待。我相信，这本书能够为我提供新的视角和工具，以应对我在几何分析领域遇到的挑战。
评分这本书的封面设计简洁而庄重，散发着一种沉静的学术气息。书脊上“非线性椭圆型方程”几个字，如同一个古老而充满智慧的邀请，勾起了我对这个领域的无限好奇。我是一名数学系的研究生，近年来一直致力于偏微分方程的研究，特别是椭圆型方程，它们在物理、工程、几何等诸多领域都有着至关重要的应用。从基础的泊松方程到更复杂的涵数方程，我都曾涉猎。然而，随着研究的深入，我越来越感到，现实世界中的许多现象，其描述模型并非总是线性的。这促使我寻找一本能够系统性地介绍非线性椭圆型方程理论的书籍。市面上关于椭圆型方程的教材和专著并不少见，但能够深入浅出、全面覆盖非线性部分，并兼顾理论深度和应用广度的，则显得尤为珍贵。我期待这本书能够提供全新的视角，帮助我理解那些在经典线性理论框架下难以解释的复杂现象。例如，在材料科学中，许多非线性行为，如塑性形变、相变等，都可以通过非线性椭圆型方程来描述。在流体力学中，Navier-Stokes方程的某些简化形式也可能导向非线性椭圆型方程。此外，在微分几何领域，Monge-Ampère方程等经典的非线性椭圆型方程，在研究凸体、Monge-Ampère流形等方面扮演着核心角色。我特别关注那些能够揭示方程解的存在性、唯一性、光滑性以及稳定性等基本性质的理论。同时，我也希望书中能介绍一些数值方法的最新进展，因为理论研究的成果最终需要通过计算来验证和应用。这本书的书名本身就蕴含着一种挑战，非线性带来的复杂性往往使得分析变得异常困难，需要借助更高级的数学工具和技巧。我非常期待能在这本书中找到解答我困惑的钥匙，进一步拓展我对偏微分方程的认识边界，并为我的科研工作注入新的灵感和动力。
评分作为一名在计算数学领域工作多年的研究人员，我一直致力于开发和分析求解偏微分方程的数值方法。在我的研究中，非线性椭圆型方程经常出现，它们在模拟各种物理现象时扮演着核心角色。然而，相比于线性方程，非线性方程的数值分析和求解要困难得多，这需要更深入的理论理解作为支撑。这本书的书名，“非线性椭圆型方程”，精准地命中了我的研究兴趣点。我非常好奇书中将如何系统地介绍不同类型的非线性椭圆型方程，以及它们在数学和工程领域中的具体应用。我期待书中能够详细讨论那些在数值分析中至关重要的概念，例如解的先验估计，它直接关系到数值方法的收敛性和稳定性。我特别关注书中关于非线性项的增长条件，以及这些条件如何影响有限元方法、有限差分方法等数值技术的有效性。我希望书中能够介绍一些关于度量、拓扑以及不动点理论在分析非线性方程解存在性方面的应用。此外，我也对书中可能包含的关于大型稀疏非线性系统的求解技术，比如Newton-Krylov方法、多重网格方法等，非常感兴趣。这本书的封面设计，给我一种严谨而扎实的感觉，这让我对书中内容的深度和广度充满了期待。我相信，这本书能够为我提供更强大的理论武器，以应对实际工程问题中遇到的非线性挑战。
评分我是一名热爱数学科学的业余爱好者，尽管我并非专业研究人员，但我对数学中那些看似抽象却又能深刻描绘现实世界规律的理论充满着浓厚的兴趣。非线性椭圆型方程这个名称，本身就带有一种神秘而诱人的魅力，它暗示着一种超越线性世界的复杂性，而这种复杂性往往正是现实世界运作的本质。我从一些科普读物中了解到，诸如流体动力学、材料力学、光学甚至是生物学中的一些现象，都可以通过非线性椭圆型方程来描述。然而，对于这些方程的深层数学结构和分析方法，我一直感到好奇却又难以深入。我非常期待这本书能够以一种相对易懂的方式，向我展示非线性椭圆型方程的魅力所在。我希望书中能够解释清楚，为什么线性方程不足以描述某些物理现象，以及非线性是如何引入的。我期待书中能够通过一些生动形象的例子，来阐述非线性椭圆型方程的各种类型，以及它们各自的应用场景。例如，我曾听说过关于“孤立子”的奇妙现象，它们是某些非线性方程的特殊解，我希望这本书能够触及到这一领域。同时，我也希望书中能够介绍一些关于求解这些方程的基本思想，即使不涉及复杂的数学推导，也能让我体会到数学家们解决问题的智慧。这本书的封面设计，简洁而有力量，仿佛在邀请我去探索一个未知的数学世界，这让我充满了探索的欲望。我渴望能够通过这本书，打开一扇通往更深层次数学理解的大门。
评分我是一名在应用数学领域进行研究的博士生，我的研究课题聚焦于复杂网络的动力学行为和信息传播模型。在这些模型中，为了描述节点之间的相互作用和信息的传递过程，经常需要建立非线性偏微分方程模型，其中非线性椭圆型方程由于其在稳态分析中的重要性，更是普遍出现。然而，我对非线性椭圆型方程的分析工具和理论基础还不够扎实。这本书的出现，无疑为我提供了急需的知识。我非常期待书中能够详细介绍非线性椭圆型方程的分析方法，尤其是那些能够处理复杂非线性项的工具。我希望书中能够包含关于解的稳定性和吸引子分析的详细讨论，这对于理解网络的稳态行为至关重要。我特别关注书中关于非线性项的单调性、有界性以及增长率的假设，以及这些假设如何影响方程的解的性质。此外，我也对书中关于非线性椭圆型方程在随机网络和自适应网络中的应用非常感兴趣，这类应用往往需要借助更复杂的数学分析工具。这本书的封面设计，简约而不失学术深度，传递出一种严谨的治学态度，这让我对书中内容的专业性抱有极高的期待。我相信，这本书能够为我提供更强大的理论支撑，以解决我在复杂网络建模和分析中遇到的问题。
评分我的研究方向主要集中在数学物理，特别是关于某些量子力学模型和统计物理模型的描述。在这些模型中，经常会遇到描述能量最小化或者平衡态的非线性椭圆型方程。我虽然掌握了基础的泛函分析和偏微分方程理论，但面对非线性方程的复杂性，常常感到力不从心。这本书的书名，正好契合了我当前的研究瓶颈。我非常期待书中能够深入探讨非线性椭圆型方程的解的全局性质，例如解的紧性、一致收敛性以及渐进行为。我特别关注那些涉及临界增长非线性项的方程，因为这些方程的分析往往需要借助更精妙的技巧，例如能量估计、 Moser迭代等。我希望书中能详细介绍一些非线性Sobolev嵌入定理和迹定理的改进版本，以及它们在分析非线性方程中的作用。此外，我也对书中关于具有奇异非线性项的椭圆型方程的讨论非常感兴趣，例如方程中出现对数非线性项或高次非线性项的情况。这类方程的解往往具有特殊的性质，其分析难度也更大。这本书的封面设计，简洁而专业，传递出一种严谨的学术态度，这让我对书中的内容充满了信心。我希望通过阅读这本书，能够掌握更多分析非线性方程的工具和方法，从而为我的研究提供更坚实的理论基础。
评分在翻阅这本书之前，我脑海中对“非线性椭圆型方程”的理解，还停留在一些零散的概念和局部性的结果上。我曾学习过一些关于变分法、Sobolev空间、以及一些基础的PDE理论，也接触过一些关于非线性泛函分析的工具。然而，将这些工具系统地应用于非线性椭圆型方程的研究，尤其是在理解它们的解的性质方面，仍然是我在学习过程中遇到的一个瓶颈。这本书的出现，似乎填补了这一空白。我非常好奇作者将如何组织材料，才能让一个相对复杂的数学分支变得易于理解。我期待书中能够详细阐述非线性项的各种类型，以及这些非线性项如何影响方程解的存在性、唯一性、渐进行为等。例如，我已经了解到，对于某些二次或三次非线性项，可能存在多重解，而某些更复杂的非线性形式，则可能导致解的不存在或奇异性。我特别希望书中能够涉及一些关于全局解的讨论，以及在特定边界条件下，如何分析解的稳定性。这本书的封面设计，给我一种严谨而专业的印象，这让我对书中内容的质量抱有很高的期待。我相信，对于任何一个在偏微分方程领域进行深入研究的学者来说，理解和掌握非线性椭圆型方程的分析方法，都是一项必不可少的能力。这本书的问世，无疑为我们提供了一个宝贵的学习资源。我渴望了解其中关于嵌入定理、迹定理、以及Pohozaev恒等式等经典工具在非线性情况下的推广和应用。
评分我是一名对数学物理交叉领域充满热情的博士生，我的研究课题涉及到非线性弹性理论中的一些关键问题。在这些问题中，经常需要借助非线性椭圆型方程来刻画材料的应力-应变关系以及平衡态的几何构型。虽然我接触过一些关于线性椭圆型方程的经典教材，但对于非线性部分的深入理解，我仍然感到力不从心。这本书的书名，无疑正是我一直在寻找的。我非常期待书中能够清晰地阐述非线性椭圆型方程的分类，以及不同类型方程所对应的典型应用场景。例如，我特别关注那些与材料硬化、软化相关的模型，它们往往表现出复杂的非线性行为。我希望书中能够介绍一些关于非线性Sobolev空间、以及非线性Caccioppoli估计的理论，这些都是分析非线性方程解光滑性的重要工具。同时，我也对书中关于解的正则性以及一些特殊类型的解，比如径向对称解、孤立子解的讨论抱有浓厚的兴趣。这本书的封面设计，简洁而不失专业性，传达出一种严谨的学术氛围，这让我对内容的质量充满了信心。我希望书中能够包含一些关于Dirichlet问题、Neumann问题以及Robin问题的非线性变体，以及分析这些问题时所采用的关键技巧。此外，我也期待书中能够介绍一些关于大规模非线性椭圆型方程组的数值解法，这对于实际应用至关重要。
评分初次接触这本书，最吸引我的是它那充满学术气息的书名。“非线性椭圆型方程”这几个字，对我这个在应用数学领域摸索多年的研究者来说，具有非同寻常的意义。在我的研究方向，诸如图像处理、机器学习的某些模型，以及一些复杂材料的力学行为，都不可避免地会涉及到非线性的偏微分方程。椭圆型方程因其在描述稳态问题上的核心地位，更是我研究的重点。然而，将“非线性”这一元素融入其中，往往会带来分析上的巨大挑战。我迫切地希望能从这本书中学习到解决这些挑战的系统性方法。我希望书中能详细介绍一些关键的分析技巧，比如Schauder估计、Moser迭代、以及一些更高级的变分方法。我对书中可能包含的关于临界指数、Sobolev临界指数的讨论特别感兴趣，因为这些概念在理解非线性方程解的存在性时起着至关重要的作用。此外，我非常关注方程的次线性、超线性以及临界增长的各种情形，以及它们对解的性质会产生何种影响。在我的工作实践中，常常需要处理一些非局部性的非线性方程，例如分数阶偏微分方程，其非线性项可能涉及积分运算，这给分析带来了额外的复杂性。我希望这本书能够触及到这些更具挑战性的领域，或者至少提供一些可以借鉴的思路。这本书的书名，虽然简洁，却指向了一个充满深度和广度的数学领域，我期待它能成为我理解和解决复杂问题的有力助手。
评分我是一名在理论物理领域工作多年的研究者，我的研究课题涉及到场论、凝聚态物理等多个分支。在这些领域中，描述系统平衡态、激发态以及相变等现象的数学模型，常常需要借助非线性偏微分方程，而椭圆型方程由于其描述稳态的特性，更是经常出现。然而，将“非线性”这一概念引入椭圆型方程，往往使得问题的分析变得异常复杂。这本书的书名，精确地概括了我目前的研究需求。我非常期待书中能够系统性地介绍不同类型的非线性椭圆型方程，以及它们在物理学中的具体应用。我希望书中能够详细阐述那些与物理直觉紧密相连的概念，例如能量泛函的最小化、稳定点寻找以及分岔分析。我特别关注书中关于超线性、次线性以及临界增长非线性项的讨论，以及这些特性如何影响方程解的存在性、唯一性和渐进行为。此外，我也对书中关于非线性椭圆型方程在非微扰理论，例如弦理论中的应用非常感兴趣，这类应用往往需要借助更高级的数学工具。这本书的封面设计，给人一种简洁而专业的印象，这让我对书中的内容充满了信心。我希望通过阅读这本书，能够更好地理解和应用非线性椭圆型方程，从而更深入地探索物理世界的奥秘。
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