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出版者:

作者:薛小平

出品人:

页数:187

译者:

出版时间:2011-6

价格:29.00元

装帧:

isbn号码:9787030315243

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 泛函分析
• 非线性分析
• 数学分析
• 偏微分方程
• 泛函分析
• 变分法
• 拓扑学
• 数值分析
• 应用数学
• 工程数学
• 优化理论

《数学的疆域：从整数到无穷》 这是一部关于数学思想演进的壮丽史诗，它不触及非线性分析的任何具体概念。本书将带领读者穿越古希腊的几何迷宫，感受欧几里得公理化体系的严谨之美；我们将跟随牛顿和莱布尼茨的足迹，领略微积分革命的震撼，理解变化率和累积量的力量如何塑造了现代科学；随后，我们将深入探索数论的幽深之处，欣赏素数分布的神秘韵律，以及数域扩展带来的奇妙世界。 本书的主旨在于揭示数学的内在逻辑和人类对数的探索是如何一步步拓展我们认知的边界。我们不会讨论函数如何弯曲，也不会审视方程的复杂解法。相反，我们将聚焦于数学最基础的构建模块——数字本身。从计数的基本原理出发，本书将循序渐进地介绍整数的性质，如奇偶性、整除性、质数与合数，以及它们在数论中的深刻联系。我们将看到，看似简单的整数，却蕴含着无尽的奥秘，这些奥秘驱动着数学家们不断提出新的猜想，并发展出全新的证明技巧。 接着，我们将踏入超越整数的广阔天地。本书会详细阐述有理数和无理数的出现，解释分数和小数为何是理解连续量不可或缺的存在。我们将探讨代数方程的发展，特别是多项式方程在求根过程中的挑战，以及根式、复数等概念的引入如何统一和简化了代数运算。本书将强调代数运算的优雅和其在描述世界中所扮演的关键角色，但不会深入到非线性方程组的求解技术。 本书的另一重要篇章将献给几何学。我们将追溯欧几里得几何的公理化方法，体会公理、定义、定理之间的严密推理过程。我们也将触及非欧几何的诞生，了解空间形态的多样性如何挑战了我们对“直线”和“平面”的直观认知，这为我们理解不同数学框架下的结构提供了深刻的启示。然而，书中对几何的讨论将停留在基本的度量、形状和空间关系层面，绝不会涉及曲面弯曲度或微分几何的范畴。 在本书的后半部分，我们将目光投向更抽象的数学领域，如集合论和逻辑学。我们将了解集合的概念如何成为现代数学的通用语言，以及集合之间的关系如何构建起复杂的数学结构。逻辑推理的严谨性将在书中得到充分的展现，我们将看到形式逻辑如何为数学证明提供了坚实的基础。本书会探讨一些基础的数学证明方法，如归纳法和反证法，并欣赏它们在揭示数学真理时的威力，但绝不会涉及涉及非线性动力学或迭代过程的证明技巧。 《数学的疆域：从整数到无穷》旨在激发读者对数学本质的思考，展现数学并非一成不变的规则集合，而是一个充满活力、不断探索的领域。它证明了即使在最基础的数学概念中，也蕴藏着无穷的深度和美感。本书的叙述风格力求生动形象，通过历史故事、直观类比以及精选的数学趣闻，让原本抽象的数学概念变得触手可及。它适合所有对数字、逻辑以及人类智慧探索过程感兴趣的读者，无论他们是否有深厚的数学背景。通过本书，读者将能更深刻地理解数学的逻辑之美，感受数学语言的普适性，以及它如何塑造了我们认识和理解世界的基石。它是一次关于数学核心思想的宁静而深刻的旅程，远离非线性分析的复杂漩涡，专注于数学最纯粹、最根本的脉络。

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初读《非线性分析》时，我最大的感受是“硬核中的浪漫”。这本书的笔触极为精准，每一个定义、每一个推导都像是经过无数次打磨的钻石，闪烁着逻辑的光芒。我特别欣赏它在处理奇点理论和分支现象时所展现出的那种细腻和层次感。很多教科书在讲到分岔时，往往只是草草带过，将复杂的相图变化归结为参数的微小扰动，但本书却深入挖掘了这些变化的深层拓扑原因。作者对各种经典例子——例如洛伦兹吸引子、霍普夫分岔——的阐述，详略得当，既有详尽的计算步骤，又不失对物理意义的深刻洞察。它迫使你停下来思考，为什么在这个参数区域，系统会选择A而非B的稳定性。这种对“为什么”的执着追问，使得阅读过程充满了智力上的挑战与满足感。对于已经有扎实线性代数基础的读者来说，这本书无疑是一座桥梁，将你们带到当代数学研究的最前沿。

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我必须坦诚，《非线性分析》的阅读体验并非一帆风顺，它更像是一场与自我智力极限的较量。这本书的深度是毋庸置疑的，它毫不留情地探讨了不动点理论在变分问题中的应用，以及如何利用测度论的工具来处理那些不可导的能量泛函。对于那些期望获得快速、应用导向型知识的读者来说，这本书可能会显得过于学术化和抽象。它要求读者不仅要熟练掌握微积分和线性代数，更需要对拓扑学和泛函分析有一定的预备知识。我个人花了很长时间才消化完关于卡德卡菲斯定理（Kadomtsev-Petviashvili equation）那几章，感觉大脑的“运算能力”被榨干了。然而，一旦攻克了这些难点，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的，它让你对“稳定性”、“收敛性”这些概念有了更本质的理解，不仅仅停留在计算层面。这本书不适合当快餐读物，它是需要时间沉淀、反复研读的经典。

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这部《非线性分析》绝对是数学物理领域的一剂猛药，拿到手沉甸甸的，光是封面设计就透着一股严谨与深邃。我本来对偏微分方程和动力系统这些前沿课题有些畏惧，总觉得那些抽象的符号和定理是高不可攀的象牙塔。然而，这本书的叙事方式却出乎我的意料。它没有直接抛出那些令人望而生畏的复杂定理，而是像是耐心的老教授，一步步引导你走进问题的核心。它从最直观的例子入手，比如湍流现象的建模，或者生物种群动态的演化，将那些高深的泛函分析工具“具象化”了。尤其是关于不动点理论的介绍，作者似乎有一种魔力，能将布劳威尔或夏尔平斯基的那些高维抽象概念，通过精妙的几何直觉展现出来。读到后面，我感觉自己不再是单纯地在记忆公式，而是在“看见”数学结构是如何在现实世界的复杂系统中运作的。唯一美中不足的是，某些章节的习题难度跨度有点大，有些地方需要结合其他教材辅助理解，但总体而言，这本书无疑是那些渴望突破自己数学舒适区的研究者和高年级本科生的必备指南。

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这本书最大的价值或许在于它提供了一个极佳的视角，去理解现代科学研究中的“建模”思维。作者在介绍诸如纳维-斯托克斯方程的解的适定性问题时，并没有直接给出那些高度专业化的能量估计，而是巧妙地将这些估计与物理中的“能量守恒”或“熵增”概念联系起来。这种跨学科的对话，让冰冷的数学符号重新焕发出生命力。我尤其喜欢它对不动点理论在博弈论和经济学模型中的潜在应用的讨论，这显示了非线性分析工具的普适性。虽然书中对某些现代数值方法的提及较少，但它为读者打下了极其坚实的理论基础，使得后续学习任何数值分析或计算方法时，都能清晰地理解其背后的数学限制和假设。总而言之，这是一本能改变你思考问题方式的教材，它教会你如何用更强大的数学工具去解析这个充满非线性和不确定性的世界。

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这本书的排版和符号系统简直是教科书级别的典范。我通常对数学书籍的印刷质量不太在意，但《非线性分析》在细节上处理得极其到位，公式的对齐、字体的大小和间距都极大地缓解了长时间阅读带来的视觉疲劳。更重要的是，作者在引入新的数学工具时，总会先给出清晰的动机，而不是直接抛出一个复杂的积分方程或变分原理。比如，在介绍Sobolev空间时，作者花了大量篇幅解释为什么传统的函数空间无法满足某些物理问题的正则性要求，这种“带着问题去学习”的方式，让知识的吸收变得非常自然。阅读这本书，就像是跟随一位经验丰富的登山向导，他不仅告诉你路在哪里，还告诉你为什么这条路比其他的路更平坦、风景更好。尽管某些证明的篇幅较长，但每一步的逻辑跳跃都控制得很好，很少出现那种需要凭空想象才能接上的地方，非常适合自学者进行深入研究。

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