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出版者:Princeton University Press

作者:Robert C. Gunning

出品人:

页数:254

译者:

出版时间:1966-10-21

价格:USD 55.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780691079974

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 黎曼曲面
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《黎曼曲面讲义》 本书是对黎曼曲面这一引人入胜且极其重要的数学领域的深度探索。黎曼曲面，作为复几何中的基本对象，以其独特的几何性质和深刻的代数结构，在数学的众多分支，如代数几何、复分析、拓扑学，乃至理论物理学中扮演着核心角色。本书旨在为读者提供一个全面而细致的学习路径，使他们能够深入理解黎曼曲面的理论及其丰富的内涵。 本书的结构设计旨在循序渐进，从基础概念出发，逐步构建起对黎曼曲面理论的完整认知。我们首先将引入复流形的思想，解释黎曼曲面作为一维复流形的特有属性。读者将了解到，黎曼曲面不仅是几何对象，更是承载着丰富的拓扑和代数信息。我们将详细阐述连接黎曼曲面和其上函数空间的黎曼-罗赫定理，这是黎曼曲面理论的基石之一，它揭示了曲面上线性系统与亏格之间的深刻联系，并为后续许多重要结果奠定了基础。 微分形式和上同调理论在黎曼曲面研究中占据着至关重要的地位。本书将详细介绍黎曼曲面上的微分形式，以及德拉姆上同调的构造。我们将重点讨论霍奇分解，这是理解黎曼曲面几何和拓扑性质的关键工具，它将上同调群分解为不同类型的微分形式，揭示了曲面上的几何结构。此外，复分析方法在黎曼曲面研究中无处不在。我们将深入探讨亚纯函数、全纯函数以及它们在黎曼曲面上的分布，并介绍割线和连接线的概念，这些是理解曲面结构及其上函数行为的重要技术。 复结构的唯一性问题，即一个给定的拓扑空间是否可以赋予一个唯一的复结构，是黎曼曲面理论中的一个核心问题。本书将深入探讨如何构造和识别黎曼曲面的复结构，并介绍模空间的思想，它描述了所有可能的黎曼曲面结构的集合。模空间的研究是理解不同黎曼曲面之间关系的桥梁，并且在弦理论等领域具有重要应用。 本书还将触及一些高级主题，以期展现黎曼曲面理论的广度和深度。例如，我们将简要介绍阿贝尔簇与雅可比簇的概念，它们是由黎曼曲面上的直线丛和线丛的模空间所诱导的更一般的代数簇，是理解黎曼曲面与代数几何之间深刻联系的关键。此外，一些与物理学相关的应用，如共形场论中的某些概念，也将有所提及，以展示黎曼曲面作为研究二维共形对称性的强大工具的潜力。 为了便于读者理解，本书包含大量的例子和练习，涵盖了从基础概念的理解到高级定理的应用。这些例子将帮助读者将理论知识转化为实际的解决问题的能力，而练习则旨在巩固所学内容，并鼓励读者独立思考和进一步探索。 本书适合数学专业高年级本科生、研究生以及对黎曼曲面感兴趣的研究人员。掌握本书内容，读者将能够为进一步深入研究代数几何、复几何、调和分析，以及理论物理学中的相关课题打下坚实的基础。我们相信，通过本书的学习，读者将能够深刻领略黎曼曲面这一数学对象的优雅与强大，并从中获得丰富的学术收获。

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这部著作无疑是一次深邃的智力探险，它不仅仅是关于黎曼曲面的教科书，更像是一部引导读者进入现代数学核心区域的向导手册。作者的处理方式极为精妙，他似乎深谙初学者在面对代数几何和复分析的交汇点时可能产生的困惑，因此，开篇部分的叙述显得尤为扎实和富有耐心。尤其令人称道的是对拓扑基础的复习和嵌入，这种无缝衔接的方式使得读者能够平滑地过渡到曲面这一抽象概念的构建中去。我发现书中对于莫比乌斯带、球面、环面等具体实例的几何直观描述，与后续抽象化的结构化定义之间，建立了一种非常坚固的桥梁。这种由具体到抽象的循序渐进，极大地降低了理解难度，避免了许多传统教材那种突兀地抛出定义而缺乏铺垫的问题。读到中间部分，当涉及到除数、函数域以及狄利克雷问题时，作者展现出了对分析工具的娴熟运用，这使得原本枯燥的公式推导充满了几何的生命力。可以说，对于任何渴望从表面理解复几何概念，而不仅仅是记住公式的人来说，这本书都是一份无价的财富。它培养的不是应试能力，而是深层次的数学洞察力。

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我必须承认，这本书的难度不容小觑，它要求读者具备扎实的复变函数基础，并对抽象集合论有基本的概念。然而，一旦跨越了最初的适应期，你会发现其内容的组织结构具有一种令人上瘾的内在逻辑性。尤其是关于微分形式在曲面上的外微分和积分的章节，作者的处理方式堪称典范。他非常清晰地区分了“流形”上的概念和“黎曼曲面”上因复结构而带来的特殊性质。书中对于“局部坐标系”的转换过程中，共形性质是如何被保持或改变的讨论，深入且精确，这是理解亚纯函数理论和柯西积分定理在曲面上推广的关键所在。我发现，许多其他教材往往一带而过地使用“局部坐标下看起来像平面”的论断，但本书却详尽地剖析了这种“看起来像”背后的数学保证，即共形映射的性质。这种对细节的执着，确保了读者在构建起复杂理论大厦时，地基是异常稳固的。

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这本书的魅力还在于其对数学美学的独特表达。它不仅仅是一本技术手册，更是一部颂扬复几何结构简洁与完备性的文本。作者对紧致性假设的引入和后果的探讨，那种从有限性中涌现出无限可能性的感觉，令人心潮澎湃。在最后一部分，涉及到的黎曼曲面上的代数曲线与复结构的联系，虽然较为深入，但通过清晰的例子，成功地将代数几何的工具引入了复分析的框架。特别是关于自同构群的分析，揭示了黎曼曲面在变换下的稳定性和刚性。阅读这本书就像攀登一座高山，过程必然伴随着喘息和迷茫，但每一次成功克服一个难点，视野都会变得开阔无比。最终，你会发现，你手中握着的不仅仅是关于黎曼曲面的知识，而是一把可以开启更广阔数学世界的钥匙，它所承载的，是一种对数学结构深刻而持久的敬畏之情。

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这本书的叙事节奏是如此的独特，它没有那种急于求成的线性推进感，反而是带着一种沉稳的、近乎哲学的步调，引导你领略黎曼曲面背后蕴含的深刻结构美学。我特别欣赏作者在引入关键定理，比如黎曼-罗赫定理时所采用的论证路径。他没有直接跳跃到高度抽象的微分几何语言，而是先通过调和函数和狄利克雷积分的物理直觉，巧妙地搭建起一个易于把握的分析框架。这种对“为什么”而非仅仅“是什么”的执着探究，使得理论的构建过程本身就成为了一种学习体验。书中对于“模空间”概念的初步探讨，虽然篇幅不长，但其引人入胜的描述，成功地在读者心中种下了一颗种子，让人对更高维度的几何结构产生了强烈的向往。全书的排版和图示设计也极具匠心，那些精心绘制的示意图，往往能在最关键的时刻点亮那些晦涩的代数表达，起到“一图胜千言”的效果。这使得即便是面对那些复杂的映射和分支点时，我的思维也未曾陷入迷宫。

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阅读此书的体验，更像是一次与一位经验丰富、且极具教学热情的导师进行的一对一的深度讨论。作者在讲解复变函数在曲面上的推广时，那种细致入微的笔触，简直令人叹为观止。他仿佛预判到了读者可能在何处产生疑问，并在那个点上停留更久，用不同的视角进行阐释。比如，在讨论亏格（genus）的计算和其拓扑不变量的地位时，作者不仅提供了代数计算的方法，更穿插了关于欧拉示性数在曲面上几何意义的直观解释，这种跨学科的融合能力，是很多专业书籍所欠缺的。更令人耳目一新的是，书中对于某些经典问题的历史背景和不同学派的观点差异的简要提及，这使得这本偏向于现代视角的教材，拥有了一丝厚重的学术底蕴。它让你明白，这些概念并非凭空出现，而是数学家们在长期探索中不断打磨和完善的结果。对于那些希望将理论应用于物理学，特别是弦论或量子场论的读者而言，这本书提供的坚实基础，是任何轻量级读物都无法替代的。

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一般工具应用在黎曼曲面上，这本书是黎曼曲面的经典之作：向量丛等价于它的截面的层（局部自由全纯函数模层）；复向量丛和全纯向量丛的区分后者是解析条件而前者仅仅是向量空间。张量积和对偶赋予复流形上线丛一个阿贝群结构，也就是群pic（X)=H1（X,Ox）利用指数序列研究。柯西黎曼方程理解为全纯函数层的部分优层分解

评分☆☆☆☆☆

着重讲了上同调群，Gunning广义函数爱好者，没用椭圆曲线证明Riemann Roch

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一般工具应用在黎曼曲面上，这本书是黎曼曲面的经典之作：向量丛等价于它的截面的层（局部自由全纯函数模层）；复向量丛和全纯向量丛的区分后者是解析条件而前者仅仅是向量空间。张量积和对偶赋予复流形上线丛一个阿贝群结构，也就是群pic（X)=H1（X,Ox）利用指数序列研究。柯西黎曼方程理解为全纯函数层的部分优层分解

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着重讲了上同调群，Gunning广义函数爱好者，没用椭圆曲线证明Riemann Roch

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着重讲了上同调群，Gunning广义函数爱好者，没用椭圆曲线证明Riemann Roch