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出版者:哈尔滨工业大学

作者:于秀源

出品人:

页数:106

译者:

出版时间:2011-3

价格:28.00元

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isbn号码:9787560332154

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好的，这是一份针对一本名为《超越数论基础》的图书的详细简介，内容详尽，绝不涉及该书本身的主题。 --- 书籍简介：《群论与拓扑学导论：从基础到应用》 导言：探索结构的内在美 在数学的广袤领域中，存在着一些核心概念，它们如同基石般支撑着现代科学的宏伟建筑。其中，代数结构的研究，特别是群论，以及对空间形态和连续性的探索，即拓扑学，构成了理解复杂系统和现象的强大工具。《群论与拓扑学导论：从基础到应用》旨在为初学者和有一定基础的读者搭建一座坚实的桥梁，带领他们深入探索这两个紧密相连却又各有侧重的数学分支。 本书并非对已知理论的简单罗列，而是力求通过直观的几何解释、精妙的代数构造，以及丰富的实例分析，揭示群与空间在本质上的统一性与互补性。我们相信，数学之美不仅在于其严谨的逻辑，更在于它能够精准地描述和预测现实世界中存在的各种模式与对称性。 第一部分：群论的基石——对称性的语言 群论是研究代数结构中最基本的一种，它关注的是集合上的运算所保持的对称性。在本书的第一部分，我们将从最直观的角度切入，逐步建立起严谨的群论框架。 第一章：初识代数结构 本章将从集合、关系和运算的概念出发，引入“群”的正式定义。我们将详细讨论群的四大公理——封闭性、结合律、单位元和逆元，并辅以大量的实例，例如整数加法群、非零有理数乘法群等。此外，我们还会探讨半群、独异点等相关概念，为理解群的独特性打下基础。 第二章：子群、陪集与拉格朗日定理 掌握群的内部结构是进阶学习的关键。本章聚焦于子群的性质，探讨如何从一个大群中识别出具有自身结构的小群。随后，我们将引入陪集的概念，它为我们理解群如何被划分提供了全新的视角。重头戏在于拉格朗日定理，该定理以极其简洁的代数语言，揭示了有限群的阶与子群的阶之间的深刻关系，其优雅的证明过程是群论学习中的一次重要体验。 第三章：正规子群与商群：构造新的群 一个群的强大之处，往往体现在其构造新群的能力上。本章的核心在于正规子群。我们将详细解释正规性条件（即 $gH = Hg$）的重要性，并阐明它为何是定义商群（或因子群）的先决条件。商群的构造，本质上是对原群进行“模去”一个特定结构，从而得到一个更简洁、信息更集中的代数对象，这是代数几何和抽象代数后续发展的重要基石。 第四章：群同态与同构：结构之间的映射 数学研究的核心是比较。同态描述了两个群之间结构保持的映射关系，而同构则意味着两个群在本质上是相同的，仅仅是元素名称上的差异。本章将深入讲解第一同构定理（或称基本同态定理），这是连接同态、核与像（像群）之间的核心桥梁，也是理解抽象结构之间关系的里程碑。 第五章：有限群的结构与应用举例 有限群的结构理论相对完备，本章将探讨柯西定理和Sylow定理，这些定理提供了关于有限群中特定阶的子群存在的保证，是有限群分类的重要工具。我们将通过实际例子，如对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$，展示群论在解释几何对称性和晶体结构中的直观应用。 第二部分：拓扑学的视野——空间的柔性 拓扑学，常被称为“橡皮几何学”，关注的是空间在连续形变下保持不变的性质。它摆脱了距离和角度的束缚，专注于“邻近性”和“连通性”等内在属性。 第六章：度量空间与拓扑空间的基础 拓扑学的根基在于对“邻域”的精确定义。本章从更基础的度量空间出发，通过定义距离函数来引入开球和开集的概念。随后，我们将抽象化这些概念，引出拓扑空间的定义，即通过一组开集的集合来描述空间结构，极大地拓宽了我们研究对象的范围。 第七章：连续性、收敛与紧致性 在拓扑空间中，函数的连续性定义依赖于开集的像。本章将阐明拓扑连续性与度量空间中 $epsilon-delta$ 定义的等价性。随后，我们将引入拓扑学中至关重要的性质——紧致性。紧致性的直观含义是“没有遗漏任何边界”，它在函数分析和微分方程的解的存在性证明中扮演着不可或缺的角色。 第八章：连通性与路径连通性 空间是“一块”还是“多块”？连通性是区分空间结构的重要拓扑不变量。本章将定义连通空间，并讨论路径连通性。我们将证明在许多常见空间中，连通性与路径连通性是等价的，并利用这些概念来区分不同的几何对象，例如圆盘与圆环。 第九章：拓扑不变量：基本群与同伦 本章是拓扑学中最富有机智色彩的部分，它引入了基本群的概念，这是将代数工具（群论）应用于拓扑空间研究的典范。基本群衡量了空间中“洞”的数量和类型，任何两个在同伦意义上等价的空间，其基本群必然同构。我们将详细解释如何构造基本群，并计算如圆周 $S^1$、环面等简单空间的群结构。 第三部分：桥梁的搭建——连接代数与几何 本书的最后部分致力于展示群论如何作为分析拓扑性质的强大工具，特别是通过分类空间和李群的视角。 第十章：黎曼几何的边缘：李群简介 当我们要求群的元素具有光滑的结构时，便进入了李群的范畴。李群是既是群又是光滑流形的特殊结构，是描述连续对称性的主要工具。本章将简要介绍李群的基本概念，如连续子群、指数映射，并展望它们在理论物理学（如粒子物理的标准模型）中的核心作用。 第十一章：分类空间与纤维丛（概述） 我们将探讨纤维丛的概念，它允许我们将局部上看似简单的结构（纤维）通过一个投影空间（基空间）黏合成一个复杂的整体结构。分类空间 $BG$ 则是与特定群 $G$ 相关的拓扑空间，其同伦群直接揭示了该群的结构信息。本章旨在为读者提供一个高屋建瓴的视角，理解如何利用群的表示来研究复杂的几何对象。 总结与展望 《群论与拓扑学导论：从基础到应用》是一部旨在培养读者抽象思维能力和结构化分析方法的著作。通过对对称性语言的掌握和对空间柔性特性的探索，读者将能以更深刻的视角审视数学的各个分支，并为未来进入微分几何、代数拓扑、表示论等更高级的研究领域奠定坚实的基础。本书强调逻辑的严谨性与直观的几何感之间的平衡，确保读者在享受数学美的同时，也获得了解决实际问题的能力。

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这本书的写作风格非常独特，它既有严谨的数学推理，又不失文学的韵味。作者在讲解复杂的理论时，常常会穿插一些历史故事和数学趣闻，让枯燥的数学知识变得生动有趣。我尤其喜欢他对费马大定理发展历程的描述，他通过生动的语言，将那些看似不可能的数学难题，以及无数数学家前仆<bos> 后的奋斗历程呈现在我眼前，让我深受感动。 他对代数数论的讲解，更是让我领略到了数学的抽象之美。作者从群论的概念出发，逐步引入了理想、范数等核心概念，并详细阐述了它们在数论研究中的作用。他没有回避那些复杂的数学证明，但他总是能以一种非常清晰和有条理的方式来呈现，让我能够理解其中的逻辑。我对书中关于唯一因子分解整环的讨论印象尤为深刻，它让我理解了为什么在某些数域中，我们无法像整数那样进行唯一的素因子分解，以及由此带来的深远影响。

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这本书让我对数论的理解，从“朦胧”走向了“清晰”。作者的语言风格非常简洁明了，他能够用最精炼的语言，解释最复杂的概念。他对数论在拓扑学中的应用的介绍，更是让我看到了数学的普适性。 书中对“二次互反律”的介绍，让我对数论的对称性和深刻性有了更深的认识。作者通过对二次互反律的陈述和一些例子，展示了它在简化二次同余计算中的作用，并介绍了其证明过程的梗概。我对书中关于数论在组合学中的应用的介绍印象尤为深刻，它让我理解了数论如何为计数问题提供数学模型。

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读完《超越数论基础》，我感觉自己的数学思维都被拓宽了。这本书不仅仅是关于数论的知识，它更是一种关于如何思考数学问题的方法论。作者在讲解每一个概念时，都会追溯其历史渊源，介绍相关的数学家们是如何一步步探索和发现的，这让我觉得数学不再是冰冷的符号和公式，而是人类智慧和探索精神的结晶。他详细阐述了代数数论的诞生，特别是伽罗瓦理论如何改变了我们对多项式方程解的理解，并将其与数论的抽象研究联系起来，让我第一次意识到这两个看似不相关的领域竟然有着如此紧密的联系。 书中对数域扩张的讲解，更是让我惊叹于数学的精妙。作者通过具体的例子，一步步地构建出抽象的数域，并展示了这些数域之间存在的各种关系。他没有直接给出定义，而是通过问题驱动的方式，引导读者自己去发现这些性质。这种教学方式非常有效地激发了我的学习兴趣，让我能够主动去思考，去理解。他对二次域和高次域的详细分析，让我对数论的广度和深度有了全新的认识。

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阅读《超越数论基础》的过程，对我来说是一次身心的洗礼。作者用他独特的视角，带领我穿越了数论的浩瀚星河。我从未想过，那些看似枯燥的数字背后，竟然隐藏着如此丰富多彩的世界。他对抽象代数的精妙运用，将数论的理解提升到了一个新的高度，让我看到不同数学分支之间奇妙的联系。 书中关于代数数论中“理想”的介绍，更是让我大开眼界。作者通过对整数环中理想的类比，生动地解释了代数数域中理想的概念，并详细阐述了它在解决唯一因子分解问题中的作用。我对书中关于代数数论基本定理的讲解印象尤为深刻，它让我理解了代数数域的结构，以及如何通过理想的分解来研究数域的性质。

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《超越数论基础》是一本真正意义上的“启蒙”之作。它不是那种让你死记硬背公式的书，而是引导你理解数学思想、培养数学直觉的书。作者在讲解每一个概念时，都会深入浅出地解释其背后的逻辑和意义，让你不仅仅是“知道”，更是“理解”。他对丢番图方程的深入探讨，让我对数论在解决实际问题中的应用有了更深刻的认识，特别是对一些古老数学问题的现代解读，让我感叹数学的生命力。 书中对陶里猜想的介绍，虽然篇幅不长，但却让我对这一前沿领域有了初步的了解。作者没有试图去给出详细的证明，而是侧重于解释猜想的意义和它与数论其他分支的联系，这让我对未来的研究方向有了更清晰的认识。他对数论研究的价值和意义进行了高度概括，强调了其在密码学、计算机科学等领域的应用，让我对数论有了更全面的认知。

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这本书让我对数论的理解，从“纸上谈兵”上升到了“身临其境”。作者的叙述方式非常有感染力，他能够将那些抽象的数学概念，转化为生动的故事，让我身临其境地感受到了数学的魅力。他对伽罗瓦理论在数论中的应用的讲解，更是让我看到了抽象代数如何深刻地改变了我们对数论问题的理解。 书中对“素数定理”的介绍，让我对素数分布有了更直观的认识。作者通过对渐进公式的解释，展示了素数定理的意义，并介绍了其证明过程的梗概。我对书中关于数论在编码理论中的应用的介绍印象尤为深刻，它让我理解了数论如何为信息的可靠传输提供保障。

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这本书真是让我大开眼界，虽然我之前对数论只是略知一二，但《超越数论基础》提供的视角和深度绝对是前所未有的。它不仅仅是把那些抽象的概念堆砌在一起，而是巧妙地将它们编织成一个生动的故事，让我这个初学者也能逐步领略其中的魅力。作者在引言部分就展现了他非凡的洞察力，他没有直接抛出那些令人望而生畏的定理，而是从数论最本源的问题——数的性质——出发，引导我们去思考“为什么”和“如何”。这种循序渐进的方式，让我感觉自己不是在被动地学习，而是在主动地探索。 书中对素数分布的讨论尤其令我印象深刻。我一直以为素数只是那些只能被1和自身整除的数字，但这本书让我看到了素数背后隐藏的深刻规律和未解之谜。作者用生动的语言描述了黎曼猜想，将其比作数论的“圣杯”，并且详细解释了它对整个数论体系的重要性。我虽然无法完全理解其中复杂的证明过程，但作者通过类比和直观的图示，让我对这些抽象概念有了更深刻的理解。他没有回避那些艰深的数学语言，但他总是会用一种巧妙的方式来解释，让那些晦涩的公式变得不再那么难以接近。

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《超越数论基础》是一本让我欲罢不能的书。作者的讲解方式非常富有启发性，他能够将那些看似零散的知识点，巧妙地串联起来，形成一个完整的知识体系。他对数论在分析学中的应用的介绍，更是让我看到了数学的联动性。 书中对“同余理论”的深入讲解，让我对数论的基础有了更坚实的掌握。作者通过对模运算的性质和一些基本定理的介绍，展示了同余理论在解决数论问题中的强大威力，并给出了一些实际应用。我对书中关于数论在统计学中的应用的介绍印象尤为深刻，它让我理解了数论如何为数据的分析和建模提供数学支持。

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我一直认为，学习数学最重要的是要理解其“为什么”，而不是仅仅记住“是什么”。《超越数论基础》恰恰做到了这一点。作者在讲解每一个定理时，都会从问题的根源出发，引导读者去思考，去探索，去发现。他对李群和李代数在数论中的应用的介绍，更是让我看到了数学研究的前沿。 书中对代数数论中“类数”概念的解释，让我对数论的复杂性有了更深的认识。作者通过对二次域的例子，详细阐述了类数与数域结构之间的关系，并介绍了类数公式的由来和意义。我对书中关于数论在密码学中的应用的介绍印象尤为深刻，它让我理解了为什么数论在现代信息安全中扮演着如此重要的角色。

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《超越数论基础》是一本让我重新认识数论的书。它不仅仅是知识的传授，更是思维的启迪。作者的讲解方式非常灵活，他能够根据读者的不同背景，调整讲解的深度和广度，让我这个非数学专业出身的读者也能从中受益匪浅。他对代数几何在数论中的应用的介绍，更是让我看到了数学研究的交叉性。 书中对“丢番图方程”的介绍，让我对数论在解决代数方程问题中的作用有了更深的认识。作者通过对一些著名丢番图方程的例子，展示了求解这些方程的难度和技巧，并介绍了许多重要的数学工具。我对书中关于数论在博弈论中的应用的介绍印象尤为深刻，它让我理解了数论如何为策略的分析提供数学基础。

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