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出版者:科学出版社

作者:乐茂华

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1998-10-01

价格:16.0

装帧:

isbn号码:9787030066237

丛书系列:现代数学基础丛书

图书标签:

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书籍简介：丢番图方程的现代解析与计算方法 书名：丢番图方程的现代解析与计算方法 引言： 丢番图方程，一类寻找整数或有理数解的多项式方程，自古希腊时代起便以其深邃的理论内涵和惊人的应用潜力吸引着数学家们的目光。从费马大定理的百年悬案到当代数论研究的前沿，这类方程的求解一直是数论皇冠上的宝石。本书旨在系统梳理丢番图方程理论的经典基石，并重点介绍二十和二十一世纪涌现出的、行之有效且具有强大计算能力的现代方法。本书的叙述风格力求严谨而不失启发性，旨在为高年级本科生、研究生以及从事相关领域研究的数学工作者提供一本结构清晰、内容深入的参考读物。 第一部分：经典理论的重温与基础构建 (The Classical Foundations) 本部分着重于对丢番图方程理论的根基进行夯实。我们将从最基础的线性丢番图方程入手，回顾欧几里得算法在求解这类方程中的核心作用，并引入线性不定方程组的求解框架。 随后，我们将深入探讨二次丢番图方程，尤其是形如 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ 的一般二次方程。这里，本书将详细阐述如何通过配方法和代数数论工具将其转化为标准的佩尔方程 (Pell's Equation) $x^2 - Dy^2 = N$。佩尔方程的解法是丢番图方程理论中的一个里程碑，本书将详细介绍连分数展开法在生成基本解以及所有正整数解中的关键机制，并讨论这些解的无穷性与周期性结构。 紧接着，我们将介绍椭圆曲线 (Elliptic Curves) 的基础概念，尽管椭圆曲线上的有理点问题本质上是更高阶的丢番图问题，但理解其代数结构（如群律）是后续讨论的基础。我们引入莫德尔方程 (Mordell Equation) $y^2 = x^3 + k$ 的特例分析，并概述希尔伯特第十大问题（关于丢番图方程可解性）被否定（马蒂亚塞维奇定理）的历史背景及其对该领域的深远影响。 第二部分：高阶方程的代数数论工具箱 (Algebraic Number Theory Toolkit) 解决高阶丢番图方程，特别是涉及更高次幂的方程，需要强大的代数工具。本部分将聚焦于数域和理想理论的应用。 代数整数环: 我们将详细介绍二次域 $mathbb{Q}(sqrt{D})$ 上的代数整数环 $mathcal{O}_K$ 的结构，包括单位群的结构（狄利克雷单位定理），以及如何利用这些单位来分析佩尔方程的解集。 理想与因子分解: 书中将引入理想的概念，区分主理想域 (PID) 和唯一因子分解域 (UFD)。通过分析方程在特定数域上的因子分解情况，我们可以利用理想的唯一性来简化或解决某些特定形式的丢番图方程。例如，处理涉及高次幂的方程时，必须依赖于对特定域中代数整数因子分解性质的深刻理解。 Thue 方程: 专门辟出一章讨论 Thue 方程 $a x^n + b y^n = c$ (其中 $n ge 3$) 的性质。虽然 Thue 本人给出了超越性的边界估计，但本书将着重介绍其后继者们，例如 Siegel 和 Baker，如何通过 线性形式对数 (Linear Forms in Logarithms) 理论，将这类方程的有限解集转化为一个可计算的、规模受限的问题集，为精确计算所有解提供了理论基础。 第三部分：现代解析方法与计算策略 (Modern Analytic Approaches and Computational Strategies) 本部分是本书的重点，它涵盖了近几十年来在丢番图方程研究中取得突破性进展的方法，这些方法往往结合了代数几何、解析数论和先进的计算机代数系统 (CAS)。 模形式与 L-函数: 我们将介绍Taniyama-Shimura-Weil 猜想（现为 Faltings 定理的重要延伸）与丢番图方程之间的深刻联系。虽然本书不深入讲解模形式理论的全部细节，但会清晰阐述 Frey 曲线的构造，以及如何利用椭圆曲线上的局部性质（如良素数上的模形式结构）来证明费马大定理（Wiles 的工作）。这一部分展示了代数几何与数论的统一力量。 有效方法与界限: 针对 Thue 方程和更一般的 Thue 型方程，我们将侧重于有效计算界限的构造。这包括对 Baker 理论的实际应用，即如何将理论上确定的界限转化为计算机可以处理的、有限的搜索空间。介绍如何使用特定的算法（如基于 LLL 约化的算法）来高效地搜索这些界限内的所有整数解。 Diophantine Approximation（丢番图逼近）: 本部分将引入Roth定理及其有效形式——Szpiro猜想的背景。理解如何用有理数去“好地”逼近代数数，是解决高阶方程（如 $x^n + y^n = z^n$）超越性证明的关键。本书将侧重于这些逼近工具如何转化为对丢番图方程解集规模的限制。 第四部分：特定方程类的高级专题研究 (Advanced Topics on Specific Equations) 最后，本书将应用前述工具来攻克一些著名的或具有挑战性的特定方程类型： 1. Catalan 方程 (Mihăilescu 定理): 深入探讨 $x^a - y^b = 1$ 仅有唯一正整数解 $(3^2 - 2^3 = 1)$ 的证明思路，特别关注利用组合方法和代数数论来排除其他解的策略。 2. 高阶单位方程: 讨论形如 $sum a_i x_i^n = 0$ 的齐次方程，以及如何利用Siegel's Theorem on Integral Points（西格尔关于整数点的定理）来证明这类方程（当 $n ge 3$ 时）只有有限个非平凡解。 3. 算术几何中的方程: 简要介绍 Faltings 定理（Mordell 猜想）对曲线亏格大于 1 的丢番图方程的意义，即它们只有有限个有理点。 总结： 《丢番图方程的现代解析与计算方法》旨在提供一个从经典到前沿的完整视图。它不仅教授求解特定方程的技巧，更侧重于建立一个跨越数论、代数和分析的统一框架，使读者能够理解现代数学家如何利用强大的工具来揭示这些古老问题的内在结构。全书辅以大量的例题和计算实例，以期达到理论深度与实践应用相结合的目的。

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这本书，单从书名《Gel''fond-Baker方法在丢番图方程中的应用》来看，就足以激起我对数论领域最前沿问题的探索欲望。Gel''fond-Baker方法，它本身就代表着处理代数数论中某些深刻问题的强大理论体系，尤其是在涉及代数数线性形式的界上，其威力非同小可。而丢番图方程，则是数论中最古老、也最富有挑战性的研究对象之一，它们是数学中许多深刻猜想的温床。因此，我非常好奇，作者是如何将Gel''fond-Baker方法这一可能相当抽象的理论框架，具体地、有效地应用于解决一系列的丢番图方程的。我设想，书中不仅仅是简单地罗列一些定理，更重要的是它会详细地解释Gel''fond-Baker方法的核心思想，包括它如何通过建立代数数之间的代数关系，并利用一些分析工具来给出这些关系的界限。更令我期待的是，书中如何将这些理论“落地”，变成解决具体丢番图方程的有力工具。是否会包含对一些著名丢番图方程的深入分析，例如指数丢番图方程，或者一些具有特殊代数性质的丢番图方程？作者会如何根据方程的具体形式，巧妙地运用Gel''fond-Baker方法的不同变体或技巧，来约束方程解的可能性，或者直接证明其解的存在性？这种将抽象理论与具体数学难题相结合的书籍，对我而言，是提升理论理解和实际应用能力的关键。

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《Gel''fond-Baker方法在丢番图方程中的应用》——这个书名本身就散发着一种数学上的深邃与力量。作为一个对数论，特别是丢番图方程的研究者，我深知Gel''fond-Baker方法在解决代数数论中的一些棘手问题，尤其是在处理代数数线性形式的界时，所扮演的关键角色。因此，我对这本书充满了期待，希望它能为我打开一扇全新的视角，让我看到如何将这一强大的理论工具，系统性地应用于解决各式各样的丢番图方程。我猜想，书中会详细阐述Gel''fond-Baker方法的基本原理，包括其在超越数论中的起源，以及如何通过建立代数数之间的算术关系来获得关于它们的指数界。更重要的是，我期待看到书中是如何将这些理论“具象化”的，是如何一步步地将这些抽象的概念，转化为求解丢番图方程的切实可行的步骤。例如，书中是否会选取一些经典的丢番图方程，诸如某些高次方程，或者涉及指数和对数的复合方程，然后详细地展示Gel''fond-Baker方法是如何被运用，如何通过估计一些关键代数数的大小来限制解的可能范围，甚至是如何最终证明方程的解集。这种将抽象理论与具体问题紧密结合的书籍，对我来说，是提升数学研究能力、拓宽解题思路的重要资源。

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作为一名有一定数学基础的读者，我被《Gel''fond-Baker方法在丢番图方程中的应用》这个书名所吸引，尤其是“Gel''fond-Baker方法”这个关键词，它直接指向了代数数论中一个非常重要的理论分支。我对丢番图方程的研究一直抱有浓厚的兴趣，因为它们连接了代数和数论，很多看似简单的方程却隐藏着深刻的数学奥秘。我猜想，这本书的核心价值在于它提供了一个系统性的框架，来展示如何将Gel''fond-Baker方法这一强大的分析工具应用于解决一系列经典的以及现代的丢番图方程问题。我期待书中能够深入地解析Gel''fond-Baker方法的原理，包括它在超越数论中的起源，以及它如何通过对代数数的线性形式的界来推断其性质。更重要的是，我希望书中能有详尽的例子，展示如何将这些抽象的理论转化为具体的解题步骤。例如，作者是否会选取一些著名的丢番图方程，如Mordell方程、Pell方程的变种，或者是更复杂的指数丢番图方程，然后一步步地展示Gel''fond-Baker方法是如何被运用，如何建立不等式，如何通过估计数的大小来证明解的存在性或不存在性，甚至是如何确定所有可能的解。我期待的不仅仅是定理的证明，更是证明思路的清晰呈现，以及理论工具与实际问题之间巧妙的连接。

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这部名为《Gel''fond-Baker方法在丢番图方程中的应用》的书籍，仅凭其名字就足以勾起我深入探索的欲望。Gel''fond-Baker方法，这几个字代表着在代数数论领域，尤其是在处理代数数线性形式的上界问题上，一套极其强大的分析工具。而丢番图方程，则是数学中最古老、最具挑战性的领域之一，它们以其简洁的表述和隐藏的深刻数论性质吸引着一代又一代的数学家。我迫切地想知道，作者是如何将Gel''fond-Baker方法这一高深莫测的理论，巧妙地“编织”进解决各种丢番图方程的逻辑之中。我推测，书中必然会深入解析Gel''fond-Baker方法的核心思想，例如如何利用代数数的一些基本性质，通过建立复杂的函数和不等式，来限制这些数之间的关系。更令我好奇的是，这些理论是如何被“实例化”的，是如何被转化为处理丢番图方程的实际步骤。书中是否会包含一些经典的、甚至是难以攻克的丢番图方程的案例，然后作者会一步步地展示，Gel''fond-Baker方法是如何像一把精准的解剖刀，剖析方程的结构，并最终揭示其解的存在性或给出解的具体集合？我期待的是，书中能够提供清晰的证明思路，巧妙的构造方法，以及对理论工具与实际问题之间关联的深刻阐述，这将是我理解数学前沿研究、提升解题能力的重要途径。

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《Gel''fond-Baker方法在丢番图方程中的应用》——这本书的名字，足以让任何一个对数论有深入了解或浓厚兴趣的读者为之侧目。Gel''fond-Baker方法，在处理代数数理论问题，特别是关于代数数的线性形式的界定方面，其重要性不言而喻。而丢番图方程，则是数学中永恒的经典，它们以其简单的表述和深刻的内在奥秘，吸引了无数代数的智慧。因此，我迫不及待地想知道，作者是如何将Gel''fond-Baker方法这一相对高深的理论工具，巧妙地融入到解决各类丢番图方程的实践中。我设想，书中必然会对Gel''fond-Baker方法的核心思想进行深入浅出的阐述，包括它如何利用代数数的一些基本性质，通过复杂的函数和不等式，来推导出一些关于这些数之间关系的限制。随后，这些理论分析将如何被“转化”为处理丢番图方程的“密码”？书中是否会包含一些经典的丢番图方程，例如那些看起来普通但实际上非常棘手的方程，然后作者会一步步地展示，Gel''fond-Baker方法是如何像一把精确的手术刀，剖析方程的结构，并最终揭示解的存在性或给出解的明确范围？我对书中可能出现的严谨证明、巧妙的构造，以及对方法论的系统性梳理充满了期待，它们将极大地丰富我对丢番图方程研究的认知，并可能启发我解决其他数论问题的新思路。

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这本书的名字就足够吸引人——《Gel''fond-Baker方法在丢番图方程中的应用》。作为一个对数论，尤其是丢番图方程充满好奇的数学爱好者，当我在书店的角落里看到它时，内心瞬间涌起了莫名的激动。虽然我并非此领域的专业研究者，但“Gel''fond-Baker方法”这几个字本身就带着一种神秘而强大的力量，仿佛预示着对那些看似无解的方程给出终极审判。我深信，任何一本能将如此深刻的理论工具与经典的数学难题联系起来的书，都必定蕴含着非凡的智慧和精巧的论证。翻开书页，即使仅仅是粗略地浏览目录和一些引言部分，我都能感受到作者深厚的学术功底和严谨的逻辑思维。我迫不及待地想知道，究竟是如何将Gel''fond-Baker方法这一处理代数数论问题的强大工具，巧妙地应用于解决那些古老而棘手的丢番图方程。我想象着，作者会如何一步步地剖析这些方程的结构，如何精确地运用代数数论的原理，如何通过微积分的精妙技巧，最终揭示方程解的存在性、个数以及具体的形态。这本书的出现，对我来说，无疑打开了一扇通往更深层次数学理解的大门，让我有理由相信，那些曾经困扰数学家们多年的难题，在这本书的引导下，将不再是遥不可及的星辰，而是可以被理解、被征服的目标。我对书中可能包含的定理证明、具体算例的解析，以及方法论的系统梳理充满了期待，它们将是我探索丢番图方程世界的重要向导，也是我理论知识的有力补充。

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拿到这本书，我的第一感觉是它充满了“硬核”的气息。封面设计朴素但透着一丝学术的庄重，这让我立刻意识到，这并非一本轻松的读物，而是一部需要耐心和专注来研读的学术专著。我的兴趣点在于，作者是如何将Gel''fond-Baker方法这一抽象的理论工具，具体地、实在地“嵌入”到丢番图方程的解决框架中的。我设想着，书中很可能包含了对Gel''fond-Baker方法基本原理的详细阐述，从它在复数域的根基，到它如何与代数数论中的理想、代数整数等概念相结合，再到它如何通过建立某些代数数之间的关系来限制解的可能性。随后，这些理论知识会如何被“转化”成处理丢番图方程的“利器”？这其中必然涉及一套精巧的论证逻辑，以及对丢番图方程内在结构的深刻洞察。我尤其好奇作者会如何处理那些看似“普通”的丢番图方程，但实际上隐藏着深奥的数论性质的例子。比如，作者是否会从一个经典的丢番图方程入手，然后逐步展示Gel''fond-Baker方法的威力，一步步引导读者理解它是如何被“驯服”的？书中是否会包含一些关于方法的“变种”或者“拓展”的讨论，以应对不同类型的丢番图方程？这些都是我非常期待能在书中找到答案的问题，它们不仅能帮助我理解Gel''fond-Baker方法本身的精妙，更能让我领略其在解决实际数学问题时的强大生命力。

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《Gel''fond-Baker方法在丢番图方程中的应用》——这个书名就足够吸引我，因为它直接触及了数论领域两个极其重要的概念：“Gel''fond-Baker方法”和“丢番图方程”。Gel''fond-Baker方法，作为处理代数数论中某些难题，尤其是在代数数线性形式的界限问题上的强大工具，一直是我非常感兴趣的研究方向。而丢番图方程，它们以其简洁的表述和深邃的数学内涵，历来是数学家们智慧的试炼场。因此，我非常想知道，作者是如何将Gel''fond-Baker方法这一相对抽象的理论，巧妙地“植入”到解决各种丢番图方程的框架之中，并且是如何利用它来取得突破的。我设想，书中会详细地阐述Gel''fond-Baker方法的基本原理，可能包括如何利用代数数的性质，通过建立特定的函数，来推导出关于这些数线性组合的界限。更令我期待的是，书中如何将这些理论“落地”，如何运用到具体的丢番图方程求解中。例如，作者是否会选取一些著名的、甚至是悬而未决的丢番图方程，然后详细展示Gel''fond-Baker方法是如何被运用的，如何通过这些方法来约束解的数量，或者直接证明解的存在性？我期待书中能够提供严谨的数学推导、精巧的解题技巧，以及对理论与实践之间深刻联系的揭示，这将极大地丰富我对丢番图方程研究的理解。

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《Gel''fond-Baker方法在丢番图方程中的应用》这本书，光听名字就让人感受到一种数学上的“力量感”。我尤其对“Gel''fond-Baker方法”这一部分充满了好奇，因为它在数论领域，尤其是在处理某些超越性问题和代数数论问题时，一直被视为一把“重型武器”。而“丢番图方程”则是我一直以来非常着迷的一类数学问题，它们如同一个个充满魅力的谜题，等待着数学家们去破解。我非常渴望了解，作者是如何将Gel''fond-Baker方法这样一个可能相当抽象的理论工具，巧妙地“嫁接”到丢番图方程的研究上，并且是如何发挥其“威力”的。我设想，书中很可能不仅仅是罗列一些定理和证明，更重要的是它会提供一种解决问题的“思路”和“框架”。比如，作者会如何通过Gel''fond-Baker方法来“约束”丢番图方程的潜在解？它又是如何帮助我们判断方程是否有整数解，或者给出解的个数的界限？我迫切地想知道，在书中，Gel''fond-Baker方法是如何被“具体化”的，它如何通过估计代数数的大小、线性形式的下界等方式，来直接影响丢番图方程的解的结构。书中是否会包含一些经典的、但用传统方法难以解决的丢番图方程，然后展示Gel''fond-Baker方法如何以一种“降维打击”的方式，将其一一攻克？这种将深刻理论与经典难题相结合的书籍，对我而言，是理解数学发展脉络、提升数学思维能力的重要途径。

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当我第一眼看到《Gel''fond-Baker方法在丢番图方程中的应用》这本书的名字时，我的脑海里立刻闪过了无数关于代数数论和数论史的图景。Gel''fond-Baker方法，这个名字本身就带着一股强大的数学气息，它在超越数论中具有里程碑式的意义，而丢番图方程则是数学中最古老、最引人入胜的领域之一。我最想知道的是，作者是如何将Gel''fond-Baker方法这一可能非常技术性的理论，融会贯通到丢番图方程的解决之中的。我猜测，书中会详细介绍Gel''fond-Baker方法的核心思想，比如如何利用线性型代数数来建立某种形式的指数界，以及这些界如何被用来限制丢番图方程解的规模。我非常期待书中能有大量的实例分析，通过这些具体的例子，来展示Gel''fond-Baker方法在处理不同类型的丢番图方程时，所展现出的强大能力。比如，作者是否会深入探讨指数丢番图方程，这类方程常常涉及到指数函数和多项式方程的组合，而Gel''fond-Baker方法在这方面似乎有着天然的优势。我希望书中能够清晰地展示，作者是如何根据不同方程的特点，灵活运用Gel''fond-Baker方法的各个方面，从而有效地约束解的数量，甚至确定所有可能的解。这本书对我而言，不仅仅是一本工具书，更像是一扇窗户，让我能够窥见数学前沿的研究成果，并从中学习到严谨的逻辑推理和创新的解题思路。

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