具体描述
Computational science is fundamentally changing how technological questions are addressed. The design of aircraft, automobiles, and even racing sailboats is now done by computational simulation. The mathematical foundation of this new approach is numerical analysis, which studies algorithms for computing expressions defined with real numbers. Emphasizing the theory behind the computation, this book provides a rigorous and self-contained introduction to numerical analysis and presents the advanced mathematics that underpin industrial software, including complete details that are missing from most textbooks. Using an inquiry-based learning approach, "Numerical Analysis" is written in a narrative style, provides historical background, and includes many of the proofs and technical details in exercises. Students will be able to go beyond an elementary understanding of numerical simulation and develop deep insights into the foundations of the subject. They will no longer have to accept the mathematical gaps that exist in current textbooks. For example, both necessary and sufficient conditions for convergence of basic iterative methods are covered, and proofs are given in full generality, not just based on special cases. The book is accessible to undergraduate mathematics majors as well as computational scientists wanting to learn the foundations of the subject. It presents the mathematical foundations of numerical analysis. It explains the mathematical details behind simulation software. It introduces many advanced concepts in modern analysis. It is self-contained and mathematically rigorous. It contains problems and solutions in each chapter. This is an excellent follow-up course to "Principles of Mathematical Analysis" by Rudin.
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用户评价
我是一名在科学计算领域工作的研究人员，平日里需要大量接触各种数值算法。偶然间翻阅到这本《Numerical Analysis》，立刻被其内容的深度和广度所吸引。作者的行文风格严谨而不失灵动，他对于数学概念的阐释，总能抓住核心要义，并用最精炼的语言表达出来。书中对非线性方程求解方法的探讨，从简单的二分法、不动点迭代，到更复杂的牛顿法及其变种，再到割线法，都进行了深入的分析，包括它们的收敛性、收敛速度以及在不同情况下的适用性。作者还特别强调了数值稳定性在实际计算中的重要性，以及如何选择合适的算法来避免灾难性的舍入误差。我尤其欣赏书中关于数值积分和微分方程的章节，作者不仅详细介绍了牛顿-科特斯公式、高斯求积等方法，还对龙格-库塔法、多步法等常微分方程初值问题的数值解法进行了详尽的阐述。书中对各种方法的误差分析和稳定性分析都十分透彻，这对于我进行数值模拟和算法设计至关重要。此外，作者还穿插了许多关于最优化理论和方法的内容，比如梯度下降法、牛顿法在最优化问题中的应用，这对于我解决实际工程问题提供了宝贵的参考。这本书的排版也很出色，公式清晰，图示直观，即使面对复杂的数学推导，也能保持阅读的流畅性。
评分我曾尝试阅读过几本数值分析的书籍，但往往因为过于抽象和理论化而感到难以深入。然而，这本《Numerical Analysis》却让我眼前一亮。作者的写作风格非常贴近实际应用，他总是能从实际问题出发，引出相应的数值方法，并对其进行深入的剖析。在函数插值和逼近方面，书中不仅介绍了多项式插值，还详细阐述了分段插值和样条插值，特别是三次样条插值，并强调了它们在数据平滑和曲线拟合中的重要作用。我尤其喜欢书中关于最小二乘法在数据拟合中的应用，作者通过大量的例子，展示了如何使用最小二乘法来找到最佳的拟合曲线。在数值积分方面，书中从基本的梯形法则和辛普森法则，到更高级的高斯求积，都进行了详细的讲解，并对它们在不同场景下的适用性进行了比较。我特别对书中关于数值积分的误差分析印象深刻，这让我能够更好地理解不同积分方法的精度。关于常微分方程的数值解法，书中对欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法的详细介绍，以及对它们稳定性和收敛性的讨论，都让我对如何求解动态系统有了更深入的认识。这本书的讲解深入浅出，易于理解，并且充满了实际应用的案例，是一本非常值得推荐的书籍。
评分坦白说，我拿到这本书的时候，并没有抱太高的期望，毕竟“数值分析”这个主题听起来就有些晦涩难懂。然而，这本书的阅读体验却远远超出了我的预期。作者的叙述风格非常独特，他并没有一味地堆砌公式和定理，而是将数学理论与实际应用紧密结合，让读者在解决实际问题的过程中，自然而然地掌握数值分析的精髓。我最喜欢的是书中关于矩阵计算的部分，作者用一种非常直观的方式解释了特征值、特征向量的概念，以及它们在实际问题中的应用，比如在主成分分析、稳定性分析等领域。书中对各种矩阵分解方法的介绍，比如LU分解、QR分解、SVD分解，都非常详细，并配有丰富的算例，让我能够清晰地理解每种方法的适用场景和优缺点。此外，书中还探讨了数值线性代数在解决大型稀疏方程组方面的挑战，以及相应的迭代求解方法，如雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代和共轭梯度法。作者的讲解层层递进，从理论推导到算法实现，再到性能分析，都力求做到详尽。读完这部分内容，我对如何高效地处理大规模数据中的线性方程组问题有了更深刻的认识。这本书的另一个亮点在于，它并没有局限于理论层面，而是鼓励读者动手实践。书中提供了大量的练习题，涵盖了从基础概念到高级算法的各个方面，这些题目非常有挑战性，但同时也非常有启发性，能够帮助读者巩固所学知识，并培养解决实际问题的能力。
评分这本书就像一本通往数值计算殿堂的钥匙，为我打开了全新的视野。作者的写作风格非常精炼，他善于用最简洁的数学语言表达最深刻的数学思想。在矩阵运算的数值方法方面，书中对高斯消元法、LU分解、QR分解以及SVD分解的介绍，都非常详尽，并且对其稳定性和计算复杂度的分析都非常到位。我尤其欣赏书中关于特征值和特征向量数值计算方法的讨论，比如幂法、反幂法和QR算法，这让我对理解和计算这些重要量有了更清晰的认识。在非线性方程求解方面，书中对各种方法的比较，如牛顿法的快速收敛性及其对初值的敏感性，以及割线法和不动点迭代的普适性，都提供了深刻的见解。我特别喜欢书中关于数值积分的章节，它不仅介绍了传统的牛顿-科特斯公式，还深入探讨了高斯求积的原理及其优越性。关于常微分方程的数值解法，书中对龙格-库塔法的详细阐述，以及对多步法稳定性和收敛性的讨论，都让我对如何精确求解微分方程有了更深入的理解。这本书的数学严谨性与实际应用性完美结合，对于任何希望深入理解数值计算的研究者和工程师来说，都是一本不可多得的宝藏。
评分这本书就像一位技艺精湛的工匠，将数值分析的各个模块精心雕琢，呈现给读者。作者的叙述风格非常严谨，他注重每一个细节的推导和论证，这使得读者在理解算法的同时，也能深刻理解其背后的数学原理。在求解线性方程组的部分，书中对高斯消元法、LU分解、Crout分解的介绍，以及对它们的稳定性和计算复杂度的分析，都非常深入。我尤其喜欢书中关于迭代法求解线性方程组的讨论，比如雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代和超松弛迭代，以及它们各自的收敛条件和收敛速率。这对于我解决大规模稀疏线性方程组问题非常有帮助。在非线性方程求解方面，书中对牛顿法及其变种的深入剖析，特别是对其收敛性的几何解释，让我对这类算法有了全新的认识。此外，书中还探讨了求解大型非线性方程组的方法，以及它们在工程和科学计算中的应用。我对书中关于数值积分的章节印象深刻，作者不仅介绍了传统的牛顿-科特斯公式，还引入了更具泛化性的高斯求积方法，并对其精度和稳定性进行了详细的分析。关于常微分方程的数值解法，书中对各种显式和隐式方法（如龙格-库塔法、Adams-Bashforth法、Adams-Moulton法）的详细阐述，以及对它们稳定性的探讨，都让我受益匪浅。
评分我是一位对数学理论充满好奇心的学生，这本书无疑满足了我对数值分析的求知欲。作者的写作风格非常清晰，他总是能用最简洁的语言解释最复杂的概念。在误差分析的部分，书中深入探讨了数值计算中不可避免的截断误差和舍入误差，以及它们如何影响最终结果的精度。作者通过大量的例子，展示了如何评估和控制这些误差，这对于我进行可靠的数值模拟至关重要。在函数逼近和插值方面，书中对多项式插值、Hermite插值以及各种样条插值（如立方样条）的详细阐述，让我对如何用简单的函数来近似复杂的函数有了深刻的认识。我尤其欣赏书中关于函数逼近最佳性质的讨论，比如最小二乘逼近和切比雪夫逼近，这为我理解数据拟合和信号处理中的一些高级算法打下了基础。在数值积分的章节，书中从最基本的梯形法则和辛普森法则，到更高级的高斯求积公式，都进行了详尽的讲解，并对它们的收敛性和误差进行了深入分析。关于常微分方程的数值解法，书中对欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法的原理和比较，以及多步法的引入，都让我对如何数值求解动态系统有了更全面的理解。这本书的数学严谨性与直观性兼具，非常适合我这样的初学者深入学习。
评分这本《Numerical Analysis》对我而言，是一次真正的智力冒险。作者以一种非常引人入胜的方式，将抽象的数学概念转化为可理解的计算工具。书中关于线性代数数值方法的部分，简直是我的福音。作者从求解线性方程组出发，详细阐述了直接法（如高斯消元法、LU分解）和迭代法（如雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代）的原理、优缺点以及收敛性分析。我对书中关于矩阵求逆和行列式计算的数值稳定性方面的讨论印象尤为深刻，这对于我理解数值计算的可靠性至关重要。此外，书中对特征值和特征向量的数值计算方法，例如幂法、反幂法、QR算法的介绍，都非常详尽，并配以相应的算例，使得我能够直观地理解这些算法的运作过程。在非线性方程求解方面，书中对各种方法的比较，如牛顿法的收敛速度和对初值的依赖，以及割线法和不动点迭代的普适性，都提供了深刻的见解。我特别喜欢书中关于函数逼近和插值的章节，作者详细介绍了多项式插值、Hermite插值，以及分段多项式插值（如样条插值）的构造和性质。这对于我理解数据平滑和函数逼近理论大有裨益。书中还涉及了数值积分和微分方程的求解，这些内容都是科学计算中的核心问题，作者的讲解清晰透彻，对各种方法的误差分析和稳定性分析都进行了深入探讨。
评分我一直认为，理解算法背后的数学原理是掌握一门技术的前提。这本《Numerical Analysis》恰恰做到了这一点。作者的叙事方式非常逻辑化，他不会直接抛出算法，而是先从数学模型和问题出发，一步步推导出解决问题的数值方法。在数值求解非线性方程方面，书中对各种方法的分析，包括它们的收敛性、收敛速率以及对初值的敏感性，都做得非常到位。从基础的二分法到快速的牛顿法，再到更具一般性的割线法和不动点迭代，作者都提供了严谨的数学证明和详细的算法描述。我尤其赞赏书中对数值积分的讲解，它不仅仅是列举了梯形法则和辛普森法则，更深入地探讨了雅可比多项式和正交多项式在构造高精度求积公式中的作用，比如高斯-赛德尔积分。关于常微分方程的求解，书中对不同阶数的龙格-库塔方法的推导和比较，以及多步法的原理和稳定性分析，都让我对数值解法的精妙之处有了更深的认识。此外，书中还涉及到一些关于数据拟合和回归的数值方法，这对于理解统计学和机器学习中的一些基本算法非常有帮助。例如，书中关于最小二乘法的推导和应用，以及其在曲线拟合中的重要性，都给我留下了深刻的印象。这本书的数学语言严谨，公式推导清晰，逻辑性强，非常适合希望深入理解数值计算理论的研究者和工程师。
评分这是一本让我着迷的数学专著，初次翻开，就被其严谨的逻辑和深入浅出的讲解所吸引。作者在处理数值方法这一复杂领域时，展现出了非凡的洞察力和清晰的思路。书中的每一个概念，从最基础的误差分析到复杂的数值积分和微分方程求解，都经过了精心的铺垫和细致的阐述。我尤其欣赏作者在讲解算法时，不仅仅是给出了公式和步骤，更是深入剖析了算法背后的数学原理，以及其在实际应用中的优势和局限性。例如，在讨论插值方法时，书中不仅详细介绍了多项式插值，还引入了分段线性插值、样条插值等更高级的技术，并对比了它们在精度、稳定性和计算复杂度上的差异。作者还善于运用生动的例子来辅助说明抽象的概念，使得原本枯燥的数学理论变得鲜活起来。那些图表清晰、公式规范，读来让人赏心悦目。对于我这样一名正在学习数值分析的学生来说，这本书无疑是一座宝库，它不仅帮助我理解了数值计算的核心思想，更激发了我对数学研究的浓厚兴趣。我反复阅读书中关于迭代法的部分，其对收敛速度、收敛条件的详细分析，以及不同迭代方法之间的比较，让我受益匪浅。书中还提到了许多经典的数值算法，比如牛顿法、二分法、高斯消元法等，并给出了详细的证明过程和算法实现思路。这些都为我日后进行更深入的学习和研究奠定了坚实的基础。总而言之，这是一本值得反复品读、常备案头的经典之作，无论是初学者还是有一定基础的读者，都能从中获得极大的启发和收获。
评分这本书就像一位博学的导师，循循善诱地引导我走进数值分析的奇妙世界。一开始，我被书中关于误差分析的章节深深吸引。作者将理论上的误差概念，如截断误差和舍入误差，通过生动的例子和详实的图示，变得触手可及。他解释了这些误差是如何在数值计算过程中累积和放大的，以及如何通过选择合适的算法和精度来最小化它们的影响。我尤其对书中关于条件数和病态问题的讨论印象深刻，作者用清晰的语言解释了为什么有些问题即使数值方法很精确，也可能导致最终结果出现巨大的偏差。在学习插值和逼近部分时，书中不仅介绍了多项式插值，还对更具弹性的样条插值进行了详尽的讲解，特别是三次样条插值的构造和性质，以及它在数据平滑和曲线拟合中的广泛应用。作者还深入探讨了最佳逼近的理论，比如最小二乘逼近和切比雪夫逼近，并给出了相应的计算方法。这些内容对于我理解数据建模和信号处理中的基础原理大有裨益。本书在处理数值积分和微分方程的部分，也同样出色。从梯形法则、辛普森法则等基本方法，到高斯求积的理论推导，以及常微分方程的初值问题求解，如欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法的原理和比较，都讲解得非常到位。我反复研读了关于稳定性分析的章节，这对于理解数值方法的可靠性至关重要。
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