Introduction to the Galois Correspondence pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhauser

作者:Fenrick, Maureen H.

出品人:

页数:255

译者:

出版时间:1998-12

价格:$ 101.64

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817640262

丛书系列:

图书标签:

• 伽罗瓦
• GT
• Galois theory
• Field theory
• Abstract algebra
• Polynomials
• Field extensions
• Group theory
• Correspondence
• Mathematics
• Algebra
• Higher education

《代数结构与群论基础》 这本书是一本旨在为读者构建扎实代数结构与群论基础的入门读物。它并非一本单纯罗列概念的教科书，而是力图通过清晰的逻辑脉络和丰富的示例，引导读者逐步深入理解抽象代数的核心思想，为进一步学习更高级的数学领域，如域论、数论、拓扑学以及代数几何等，打下坚实的基础。 全书共分为十一章，每一章都围绕着代数世界中的基本构建块展开，层层递进，由浅入深。 第一章：集合、关系与函数 在进入抽象代数的殿堂之前，我们需要掌握一些基本的数学语言和工具。本章首先回顾了集合的基本概念，包括集合的定义、元素、子集、并集、交集、差集以及幂集等。接着，引入了关系的概念，重点讲解了等价关系及其等价类，这为理解群中的陪集等重要概念铺垫了基础。最后，详细阐述了函数的概念，包括函数的定义、单射、满射、双射、函数的复合以及逆函数等。理解这些基本概念对于后续学习中对代数结构的刻画至关重要。 第二章：群论初步——定义与例子 本章正式引入了群这一最基础的代数结构。我们从群的公理定义出发，即一个非空集合 G 配备一个二元运算 ，满足封闭性、结合律、存在单位元以及存在逆元。随后，通过一系列精心挑选的例子，如整数加法群、非零实数乘法群、对称群、矩阵群等，直观地展现了群的丰富性和多样性。我们将分析这些例子为何满足群的定义，并通过它们来初步感受群运算的特性。 第三章：子群与平凡群 在理解了群的整体结构之后，本章将目光聚焦于群的“内部”。我们引入了子群的概念，即一个群的子集，它自身也构成一个群。通过分析子群的性质，读者将学会如何从一个大群中识别出小的、结构更简单的子群。我们将详细探讨平凡群（只包含单位元的群）和特殊线性群等重要子群的例子，并讨论它们在群论研究中的作用。 第四章：循环群 循环群是群论中最简单也是最重要的一类群。本章将深入探讨循环群的性质。我们定义了由一个元素生成的循环群，并证明了任何循环群都同构于整数加法群或其有限次幂。循环群的结构简单，性质清晰，是理解更一般群结构的一个重要切入点。我们将分析循环群的子群结构，并讨论其阶的性质。 第五章：群的陪集与拉格朗日定理 陪集是理解群结构，特别是有限群结构的关键概念。本章引入了左陪集和右陪集的概念，并详细阐述了它们与子群之间的关系。拉格朗日定理作为有限群论中的一个基石，将被详细证明和阐释。我们将通过大量例子，展示拉格朗日定理如何帮助我们确定有限群的阶的可能值，以及群的子群的阶与群的阶之间的关系。 第六章：正规子群与商群 正规子群是实现群“商运算”的必要条件。本章定义了正规子群，并解释了其重要性，即其左陪集与右陪集相等。在此基础上，我们引入了商群（或称因子群）的概念，即以正规子群的陪集作为元素，并赋予新的运算规则而形成的群。我们将通过具体的例子，如整数加法群关于其子群的商群，来展示商群的构造过程及其结构。 第七章：群的同态与同构 本章将深入探讨不同群之间的“联系”与“相似性”。我们定义了群同态，即保持群运算的映射，以及群同构，即可逆的群同态。同构意味着两个群在结构上是完全相同的，只是元素的表示不同。我们将通过一些经典例子，如整数加法群与偶数加法群的同构，来阐释同态与同构的概念，并介绍同态基本定理，它揭示了群的同态与商群之间的深刻联系。 第八章：置换群与凯莱定理 置换群是代数结构中一个非常重要的研究对象，它提供了一种理解一般群的视角。本章我们将详细介绍置换的概念、置换的乘法，并定义了置换群。凯莱定理作为一项强大的结果，将被引入并证明，它表明任何一个群都同构于某个置换群。这将使读者认识到，置换群的理论实际上可以涵盖所有群的性质。 第九章：对称性与对称群 对称性是数学中一个普遍而强大的主题，而对称群正是刻画对称性的代数工具。本章将通过几何学中的例子，如正多边形的对称群、立方体的对称群等，来展示对称群的构建过程。我们将分析这些对称群的结构，如它们的阶、子群以及正规子群，从而理解对称性如何转化为抽象的群论语言。 第十章：域的初步概念 在进一步深入代数结构的研究之前，本章将引入域这一重要的代数结构。域是一种具有两种运算（加法和乘法），并且满足一系列公理的集合，例如实数域、复数域、有理数域等。我们将详细阐述域的定义，并介绍一些常见的例子。理解域的结构对于后续学习代数扩张和伽罗瓦理论至关重要，尽管本书不直接深入探讨这些内容，但域的引入为理解更广泛的代数体系奠定了基础。 第十一章：群论在数论与几何中的应用浅析 本书的最后一章旨在展示群论的普适性和应用性。我们将简要介绍群论在数论中的一些初步应用，例如证明欧拉定理和费马小定理，以及在几何中的一些简单应用，如晶体学的对称性分析。这些浅析性的例子将帮助读者体会到抽象代数理论的强大力量，以及它们如何深刻地影响着其他数学分支和科学领域。 本书的语言力求严谨而不失生动，概念的引入都伴随着直观的解释和易于理解的例子。数学证明的步骤清晰，逻辑严密，并鼓励读者独立思考和动手实践。希望通过这本书的学习，读者能够掌握群论的基本概念、重要的定理及其应用，并对代数结构产生浓厚的兴趣，为未来的深入学习开启一扇门。

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这本书的结构安排，体现出一种精心设计的层次感。它不是简单地罗列定义和定理，而是围绕着伽罗瓦对应这一核心主线，层层递进地构建起整个理论体系。前几章可能侧重于代数基础的复习和巩固，确保读者具备必要的工具，比如域的扩张、最小多项式等。然后，随着章节的深入，理论的复杂性也随之提升，特别是涉及到无限扩张和普适伽罗瓦群的部分，那种感觉就像攀登一座高耸入云的山峰，每一步都充满挑战，但每登高一步，视野就开阔一分。我个人认为，作者在选择例题和习题方面也做得非常到位。它们不是那些一眼就能看出解法的简单练习，而是巧妙地设计来检验读者是否真正理解了概念的细微差别和内在联系。做完这些习题，你才能真正感觉到自己的思维被“打磨”过，变得更加锐利和精确。这本书的价值不在于让你快速通关，而在于让你在解决难题的过程中，真正建立起牢固的数学直觉。

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从阅读体验的角度来看，这本书的“可读性”是一个相对的概念，它取决于读者的“可读能力”。对于那些已经对抽象代数有一定掌握的读者，这本书无疑是令人兴奋的，因为它提供了一种俯瞰整个理论体系的视角，让你看到那些看似零散的定理是如何被统一在伽罗瓦对应这一强大框架之下的。作者的叙事节奏把握得很好，懂得在关键时刻停下来进行总结和回顾，这有助于读者消化前一阶段接收到的信息量。我特别欣赏作者在引入“可解群”和“简单群分类”等相关话题时的过渡处理，虽然这些内容不完全是伽罗瓦理论的核心，但作者巧妙地将它们嵌入到理论的自然延伸中，使得整个数学图景更加完整和迷人。这本书的价值在于它成功地将一个看似纯粹的代数工具，与方程求解这一古老而核心的数学问题紧密地联系起来，展现了数学理论的强大生命力和应用潜力。它不仅仅是一本教材，更像是一部关于数学思想史的侧写，让人在学习知识的同时，也能感受到数学家们探索真理的历程。

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这本书的语言风格，怎么说呢，非常“学术化”，有一种老派数学家特有的那种克制和精准。它不像某些现代教材那样，试图用大量的比喻和生活中的类比来软化抽象概念的棱角，而是直截了当地把数学的本质呈现给你。这对于那些已经有一定基础，希望进行系统性深入学习的读者来说，无疑是最高效的学习方式。我记得我最喜欢的部分是关于伽罗瓦群作用在根式上的那一段论述，作者处理得极其巧妙，用一种近乎艺术化的方式展示了为什么五次及以上方程的根式解会“消失”。那种清晰的逻辑递进，让你在阅读过程中，时不时会拍案叫绝。当然，这种风格也意味着它对读者的预备知识要求较高。如果你是第一次接触这个领域，可能会觉得有些吃力，就像被直接扔进了深水区，需要强大的自学能力和毅力才能游起来。但我相信，对于那些愿意投入时间和精力的读者，这本书的回报是巨大的，它不仅仅是教会你“如何计算”，更是让你理解“为什么是这样”。它培养的是一种对数学结构内在一致性的深刻洞察力。

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这本书的书名让我想起大学时代，那时候我对抽象代数还处于“懵懂”阶段，第一次接触到群论和域论的抽象概念时，那种既敬畏又有点迷茫的感觉至今难忘。这本书的封面设计倒是挺简洁的，给人一种专业而严谨的学术气息。我记得我拿到这本书时，是抱着一种“挑战自我”的心态的，希望能通过它来梳理和巩固那些散落在不同教材里的知识点。初翻目录，那些熟悉的术语——“正规子群”、“正规扩张”、“伽罗瓦群”——就跳了出来，仿佛在无声地提醒我，接下来的旅程不会轻松。这本书的排版很清晰，数学符号的印刷质量很高，这对于需要长时间盯着公式看的读者来说，无疑是个加分项。不过，对于初学者来说，可能需要一点时间来适应它的论证风格，它似乎更倾向于直接切入核心概念，而不是花大量篇幅铺垫直观的例子。那种深入骨髓的数学美感，只有当你真正跟上作者的思路时，才能体会到。我特别欣赏作者在处理那些经典定理时的那种行云流水的叙述方式，仿佛在讲述一个早已被无数次证明过的完美逻辑链条。这本书更像是一位经验丰富的导师，在你面前铺陈出整个理论的宏伟蓝图，等你亲自去探索其中的每一个细节。

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作为一本严肃的代数参考书，我对它的“可靠性”和“权威性”给予高度评价。在查阅某些特定的证明细节或对某个历史背景的精确描述时，我发现这本书提供的论证是无可挑剔的，它几乎可以作为某个特定命题的标准参考文本。与市面上其他一些流于表面的介绍性读物相比，它拒绝走捷径，坚持用最严谨的方式来构建理论的基石。这使得它在知识的深度和广度上都保持了领先地位。我记得有一次我为一个比较冷僻的子域的结构感到困惑，翻阅了这本书的某个章节后，作者用寥寥数语就点明了问题的关键所在，那种“一语中的”的精妙，是长期学术积累才能达到的境界。当然，也正因为其深度，它更适合作为研究生阶段或专业研究人员的案头工具书，而非本科生入门的第一本教材。它更像是一坛陈年的老酒，需要时间去品味，才能真正体会到其中蕴含的醇厚和复杂性。这本书的“厚重感”，是很多轻量级读物无法比拟的。

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Galois 理论太奇妙！！第四遍。搞定！

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我觉得里面错误的地方挺多

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Galois 理论太奇妙！！第四遍。搞定！

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