具体描述
《概率论与数理统计》是由多位具有丰富教学经验的资深教师，根据高等学校工科类本科“概率论与数理统计”课程教学基本要求编写而成，是南京理工大学国家精品课程“概率与统计”的教学用书，内容包括概率论的基础知识、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、回归分析与方差分析初步、随机过程的基本知识、平稳随机过程、S-PLUS统计软件简介。
《概率论与数理统计》通俗易懂，注意理论联系实际，有助于读者在概率统计直觉能力方面的培养与提高。《概率论与数理统计》可作为高等院校理工科非数学专业学生的教材，也可供教师及工程技术人员参考。
好的，这是一本名为《线性代数与优化方法》的图书简介，内容力求详实、专业，且完全不涉及《概率论与数理统计》的相关内容。 --- 线性代数与优化方法 导言：现代科学与工程的基石 在当今高度依赖数据分析、复杂系统建模和高效决策制定的时代，线性代数与优化方法已不再是单纯的数学分支，而是驱动从人工智能、机器学习到金融工程、运筹学等诸多领域的核心驱动力。本书《线性代数与优化方法》旨在为读者提供一个坚实而全面的理论框架，并辅以大量的应用实例，使读者能够熟练运用这些强大的数学工具解决实际工程和科学问题。 本书的编写遵循了“理论的严谨性与应用的直观性相结合”的原则，力求在数学基础的铺垫上，自然过渡到前沿的优化算法设计与分析。我们相信，对线性代数核心概念的深刻理解，是掌握现代优化理论的先决条件。 第一部分：线性代数的深度剖析（共五章） 本部分聚焦于线性代数的核心理论，并特别强调其在数据结构和变换中的几何意义。 第一章：向量空间与线性变换的几何视角 本章首先严格定义了向量空间、子空间、线性无关性、基和维数。不同于侧重于初等行列式计算的传统教材，本书将重点放在向量空间的内在结构。我们将深入探讨欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的几何结构，包括内积、长度和角度的定义。 随后，本章引入线性变换的严格概念，并详细阐述了矩阵是如何作为线性变换的“表示”，及其与坐标系选择的内在联系。我们将通过探讨直和、投影等概念，为后续的最小二乘问题打下坚实的几何基础。 第二章：矩阵的结构与秩理论 本章的核心在于理解矩阵的“本质”结构，而非仅仅将其视为数字的矩形排列。我们将系统地分析矩阵的零空间（核）和列空间（像），并详细论证著名的秩-零化度定理。 此外，本章对矩阵的奇异值分解（SVD）进行初步介绍，将其视为描述矩阵结构最完备的工具，而非仅仅是数值计算的结果。我们探讨了矩阵的秩与SVD中非零奇异值的数量的精确关系，并讨论了秩亏损矩阵的特性。 第三章：特征值问题与相似性分析 特征值和特征向量是分析线性系统动态行为的关键。本章深入探讨如何计算特征值和特征向量，并详细分析了相似变换的概念。我们将区分对角化和非对角化的情形，并引入Jordan标准型来处理特征值重复但矩阵不可对角化的情况。 特别地，本章会花费大量篇幅讨论实对称矩阵的谱分解及其在平方和分析中的重要性，为后续优化中的正定性分析提供必要的数学工具。 第四章：正交性、分解与矩阵逼近 本章侧重于构建正交系统，这是数值稳定性和许多优化算法的基础。我们将从Gram-Schmidt正交化过程出发，严格推导QR分解的原理及其在最小二乘问题求解中的应用。 此外，本章深入研究矩阵的各种范数（如Frobenius范数），并从信息论的角度审视主成分分析（PCA）的线性代数根源，将其视为在高维空间中寻找最优低秩近似的问题。 第五章：多元函数的可微性与泰勒展开 本章作为从纯线性代数到多变量微积分和优化的桥梁，对多元函数的微分性质进行了严谨的铺垫。我们定义了偏导数、方向导数和梯度，并给出了可微性的精确定义，强调其与偏导数存在的区别。 核心内容包括多元函数的泰勒定理（一阶和二阶），并引入了Hessian矩阵。Hessian矩阵的性质（正定性、半正定性）将直接决定函数在驻点处的局部曲率，是优化算法收敛性分析的基础。 --- 第二部分：优化方法的原理与算法（共五章） 本部分基于第一部分建立的线性代数基础，系统介绍无约束和约束优化问题的核心理论和求解方法。 第六章：无约束优化：梯度下降法及其变体 本章从最基础的优化目标——无约束优化问题 $min f(mathbf{x})$ 开始。我们定义了最优解的必要条件（梯度为零）和充分条件（Hessian矩阵的性质）。 核心内容是一维搜索问题的求解策略，包括精确线搜索（如Fibonacci法）和不精确线搜索（如Armijo和Wolfe条件）。在此基础上，我们将详细分析最速下降法（梯度下降法）的原理、收敛速度及其局限性。 第七章：牛顿法与拟牛顿法 本章探讨了二阶信息在加速优化过程中的作用。牛顿法通过利用Hessian矩阵提供二次曲面近似，实现了局部二阶收敛速度。我们将详细分析牛顿法的可行下降方向的确定性以及其对Hessian矩阵正定性的依赖。 由于精确计算和存储Hessian矩阵的成本高昂，本章重点转向拟牛顿法。详细介绍DFP和BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）公式，解释如何通过秩一或秩二更新矩阵来近似Hessian的逆矩阵，从而在保持快速收敛的同时显著降低计算负荷。 第八章：共轭梯度法：高效的迭代策略 共轭梯度法（CG法）提供了一种在不直接使用Hessian信息的情况下，达到与牛顿法相当的收敛速度的途径。本章从二次函数最小化出发，严格推导了A-共轭的概念，并展示了CG法如何系统地消除搜索方向间的线性相关性。 我们将探讨CG法的非二次函数情形下的应用，包括Fletcher-Reeves公式和Polak-Ribière公式，并讨论其在求解大规模稀疏线性系统的强大能力。 第九章：约束优化基础：KKT条件与对偶性 约束优化是实际工程中最常见的情形。本章首先引入线性规划（LP）问题的标准形式，并介绍单纯形法的几何解释（沿可行域顶点移动）。 随后，我们将重点放在非线性约束优化上，详细推导了Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件，这是所有约束优化解的必要条件。我们将分析KKT条件的四个组成部分（平稳性、原始可行性、对偶可行性和互补松弛性）。 第十章：对偶理论与拉格朗日乘子法 本章深入挖掘优化问题的对偶结构。我们从拉格朗日函数出发，定义了对偶问题，并严格证明了弱对偶性和强对偶性的条件（如Slater条件）。 对偶理论不仅提供了另一种求解原问题的方法，更重要的是，它揭示了约束条件“价格”（即拉格朗日乘子 $lambda$）的经济学和工程学含义。本章将结合KKT条件，阐释拉格朗日乘子法在处理等式约束问题时的具体实施步骤和收敛性分析。 --- 本书特色与目标读者 特色： 1. 强调几何直观： 所有线性代数概念均与向量空间和变换的几何意义紧密联系。 2. 算法驱动： 优化部分侧重于迭代方法的推导、收敛性分析以及实际的工程应用选择。 3. 矩阵分解为核心： SVD、QR分解等被视为解决问题的通用工具而非计算技巧。 目标读者： 本书适合于数学、物理、计算机科学（特别是机器学习方向）、电子工程、工业工程及经济学等领域的高年级本科生、研究生以及需要扎实数学基础的科研人员和工程师。读者应具备微积分和基础代数知识。 --- （全文共计约1530字）
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