数值分析全真试题解析 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:250

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出版时间:2010-5

价格:28.00元

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isbn号码:9787564121525

丛书系列:

图书标签:

• 数值分析
• 数值方法
• 高等数学
• 考研
• 试题
• 解析
• 真题
• 数学建模
• 计算数学
• 工程数学

深入探索计算科学的基石：数值方法与现代应用 图书名称： 计算方法与数值模拟：理论、算法与工程实践 图书简介： 本书旨在为读者提供一个全面且深入的视角，用以理解和掌握现代计算科学中至关重要的“数值方法”领域。我们深知，在当今以数据驱动和复杂系统模拟为特征的科技时代，精确、高效的数值算法是解决实际工程、物理、金融乃至生命科学等领域中遇到的微分方程、积分问题、优化难题和矩阵代数运算的核心工具。 本书的结构设计，力求在扎实的数学理论基础与前沿的计算实践之间搭建起一座坚实的桥梁。我们避免了对特定考试内容的简单复述或解析，而是专注于构建一个系统化的知识体系，使读者能够独立分析问题、选择合适的数值方法，并对其进行优化和实现。 第一部分：基础理论与误差分析——数值计算的灵魂 本部分是理解后续所有高级算法的前提。我们首先从浮点数运算与计算机表示入手，详细剖析了固定精度和可变精度运算的内在局限性，为理解数值稳定性奠定了基础。 随后，我们深入探讨了误差理论。这不仅仅是计算“误差”的大小，更重要的是理解误差的来源（截断误差、舍入误差）及其在算法迭代过程中的传播机制。我们将讲解如何使用严格的数学工具（如泰勒级数展开、局部截断误差分析）来评估算法的收敛性、稳定性和一致性。特别是，我们将对病态问题（Ill-conditioned Problems）进行深入分析，阐明为什么在数学上看似简单的问题，在计算机上可能变得难以求解，并介绍条件数估计等关键概念。 第二部分：线性代数方程组的数值求解——矩阵计算的基石 线性方程组 $Ax=b$ 是科学计算中最频繁出现的数学模型。本部分将系统地介绍求解这类问题的各种方法，并侧重于它们的计算复杂度和内存需求。 我们将首先讲解直接法，包括高斯消元法、LU分解（及其变体如Doolittle和Crout分解），并详细分析带状矩阵和稀疏矩阵的特殊优化策略。接着，我们将重点转向迭代法，这在处理大规模、高维问题时具有无可比拟的优势。内容涵盖雅可比（Jacobi）法、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）法，并着重介绍收敛性分析，如谱半径的概念。最后，我们将覆盖现代高效的迭代求解器，如Krylov子空间方法，重点剖析共轭梯度法（CG）、广义最小残量法（GMRES）及其预处理技术（如代数多重网格法AMR的基础思想），这些是现代有限元和有限差分方法求解器的核心。 第三部分：非线性方程与优化——全局与局部搜索策略 处理非线性方程 $f(x)=0$ 和优化问题 $min f(x)$ 是工程建模的另一大挑战。 在非线性方程求解方面，我们将对比分析： 1. 区间套法：如二分法，保证收敛性但速度较慢。 2. 迭代法：如牛顿法、割线法（Secant Method）和雷默斯法（Regula Falsi），分析其局部分类收敛速度（线性、超线性、二次）。特别地，我们将讨论如何处理导数不易获取或不存在的情况。 在无约束优化方面，本书将详尽介绍一维搜索方法（如黄金分割法）和多维优化算法。除了经典的梯度下降法，我们将深入讲解拟牛顿法（如DFP和BFGS算法），它们通过构建Hessian矩阵的近似来平衡收敛速度与计算成本。对于约束优化，我们将简要介绍拉格朗日乘数法的基础概念，以及序列二次规划（SQP）方法的思想。 第四部分：插值、逼近与数值积分——函数建模的艺术 在实验数据点已知但函数形式未知时，插值和逼近成为必需。本部分专注于如何用光滑的函数来表示离散数据。 我们将系统地研究插值技术：从基础的多项式插值（如拉格朗日插值）到其内在的龙格现象（Runge Phenomenon）分析，再到更稳健的分段插值，尤其是样条插值（Cubic Splines），解释它们如何在保持连续性和光滑度的同时，克服高次多项式插值的缺陷。 在数值积分（Quadrature）方面，我们将从牛顿-科茨公式族出发，推导出梯形法则和辛普森法则的误差表达式。重点将放在高斯求积法上，解释其卓越的代数精度是如何通过选择最优的节点（勒让德多项式根）来实现的。 第五部分：常微分方程的数值解法——模拟动态系统的工具箱 常微分方程（ODEs）是描述时间演化系统的核心。本部分聚焦于如何将连续的微分过程离散化。 我们将详细讲解单步法，特别是欧拉法（前向与后向）的稳定性和局限性。随后，我们将深入研究具有高精度和稳定性的龙格-库塔（Runge-Kutta）族方法，包括经典的四阶RK法及其在自适应步长控制中的应用。 对于刚性系统（Stiff Systems），标准的显式方法往往需要极小的步长才能保持稳定。因此，本书将引入隐式方法（如后向欧拉法、隐式中点法），分析其在“A-稳定性”方面的优势，并讨论如何数值求解由此产生的代数方程组。 第六部分：偏微分方程的数值实现基础——从理论到网格 偏微分方程（PDEs）是描述空间和时间多维度现象（如热传导、流体力学、电磁场）的关键。本部分将引入实现PDEs数值解的两种主要离散化技术。 1. 有限差分法（FDM）：重点讲解如何将偏导数用有限差分近似，如何处理边界条件，以及如何将椭圆型方程（如拉普拉斯方程）转化为线性代数系统。 2. 有限元法（FEM）基础：介绍其核心思想——将问题转化为变分形式，选择基函数，以及如何在离散网格上构建全局刚度矩阵。 本书的最终目标是培养读者将严谨的数学理论转化为高效、可靠的计算代码的能力，为后续深入研究计算流体力学（CFD）、有限元分析（FEA）或科学计算的更专业领域打下坚实的基础。全书贯穿着对算法效率（时间复杂度）和数值稳定性的严格考量。

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