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出版者:American Mathematical Society

作者:Kristopher Tapp

出品人:

页数:166

译者:

出版时间:2005-6-13

价格:USD 32.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821837856

丛书系列:Student Mathematical Library

图书标签:

数学
其余代数7
for
Undergraduates
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Matrix
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具体描述

Matrix groups are a beautiful subject and are central to many fields in mathematics and physics. They touch upon an enormous spectrum within the mathematical arena. This textbook brings them into the undergraduate curriculum. It is excellent for a one-semester course for students familiar with linear and abstract algebra and prepares them for a graduate course on Lie groups.

Matrix Groups for Undergraduates is concrete and example-driven, with geometric motivation and rigorous proofs. The story begins and ends with the rotations of a globe. In between, the author combines rigor and intuition to describe basic objects of Lie theory: Lie algebras, matrix exponentiation, Lie brackets, and maximal tori. The volume is suitable for graduate students and researchers interested in group theory.

《矩阵群论基础：探索对称与结构的抽象之旅》本书旨在为初学者提供一个坚实且引人入胜的矩阵群论入门。我们将带领读者深入探索群论的核心概念，并重点关注其在矩阵表示中的丰富应用。本书不涉及《Matrix Groups for Undergraduates》这本书的具体内容，而是从更广泛的视角，为你铺就一条通往抽象代数丰富世界的道路。一、群的基石：理解抽象的对称性在踏上矩阵群的旅程之前，我们首先需要构建对“群”这一数学结构的深刻理解。群是一种由一组元素和一个二元运算组成的集合，它必须满足四个基本公理：封闭性、结合律、单位元存在性以及逆元存在性。我们将从最简单的例子入手，例如整数的加法群、非零实数的乘法群，以及更抽象的置换群。封闭性：运算的结果必须仍然属于该集合。结合律：运算的顺序不影响结果，即 (a b) c = a (b c)。单位元：存在一个特殊的元素，与集合中的任何元素进行运算时，都不会改变该元素，即 e a = a e = a。逆元：集合中的每个元素都存在一个对应的逆元，与该元素运算后得到单位元，即 a a⁻¹ = a⁻¹ a = e。通过对这些基本公理的详细阐释和生动示例，你将能够体会到群论所蕴含的抽象而强大的对称性概念。我们还将介绍子群、陪集、正规子群以及商群等重要的群论概念，这些概念将为后续的矩阵表示打下坚实的基础。二、线性代数的桥梁：矩阵在群论中的角色矩阵，作为线性代数的核心工具，在群论中扮演着至关重要的角色。它们为抽象的群提供了具体的、可操作的表示。本书将详细介绍如何将抽象的群元素映射到可逆方阵，从而使得群的运算能够通过矩阵乘法来刻画。矩阵表示：我们将学习如何为给定的群构造不同的矩阵表示。一个群的表示是将群的元素对应到一定维度的方阵，同时保持群的运算结构。这意味着如果群中的运算是 `a b = c`，那么对应的矩阵表示 `D(a) D(b) = D(c)`。忠实表示与非忠实表示：我们将区分忠实表示（其中群中的不同元素对应到不同的矩阵）和非忠实表示（其中不同的群元素可能对应到相同的矩阵）。忠实表示能够更直接地反映群的结构。同构与同态：我们将探讨矩阵表示如何体现群之间的同构（结构完全相同）和同态（结构部分相似）关系。通过矩阵表示，我们可以直观地比较和分类不同的群。三、经典群的探索：从对称性到矩阵本书将带领读者深入探索几个重要的经典群，并展示它们如何通过矩阵来具体地体现。这些群不仅在纯粹数学中具有深远影响，在物理学、密码学等领域也扮演着关键角色。一般线性群 GL(n, F)：这是所有 n×n 可逆矩阵（其元素来自某个域 F，如实数域 R 或复数域 C）的集合，其运算为矩阵乘法。GL(n, F) 是一个非常重要的群，它包含了大量其他的群作为子群。特殊线性群 SL(n, F)：这是 GL(n, F) 中行列式为 1 的矩阵组成的子群。SL(n, F) 在代数几何和表示论中具有重要地位。正交群 O(n)：这是保留欧几里得内积的 n×n 实矩阵组成的群。正交群描述了空间中的旋转和反射等对称变换。特殊正交群 SO(n)：这是 O(n) 中行列式为 1 的矩阵组成的子群，它们代表了纯粹的旋转。酉群 U(n)：这是保留复数向量空间中的内积的 n×n 复矩阵组成的群。酉群在量子力学中尤为重要。特殊酉群 SU(n)：这是 U(n) 中行列式为 1 的矩阵组成的子群。SU(n) 在粒子物理学中扮演着核心角色，例如描述 SU(2) 和 SU(3) 的对称性。对于每一个群，我们将详细讨论其定义、性质，以及它们与几何变换、对称操作的深刻联系。我们将展示如何通过构造具体的矩阵，来验证这些群的群公理，并探索它们的子群结构。四、表示理论的初步：理解群的内在结构当我们用矩阵来表示群时，我们实际上是在探索群的“表示理论”。表示理论是研究群的表示及其性质的数学分支，它为我们提供了一种强大的工具来理解群的内在结构。不可约表示：我们将介绍不可约表示的概念，即不能再分解为更小的表示的表示。不可约表示是理解一个群表示的“基本单元”。表示的等价性：我们将讨论不同矩阵表示之间的等价性，以及如何通过相似变换来转换表示。特征标（Character）：特征标是表示的一个重要不变量，它能够帮助我们区分不同的表示，并从中提取群的结构信息。通过对这些表示理论基本概念的介绍，你将能够初步体会到如何利用矩阵来揭示群的深层数学奥秘。五、应用与展望：矩阵群的广泛影响矩阵群论不仅是抽象数学中的一个重要领域，更在众多科学和工程领域有着广泛的应用。物理学：群论在量子力学、粒子物理学（如标准模型）、固体物理学（晶体对称性）等领域至关重要。矩阵群是描述基本粒子相互作用和对称性的语言。化学：分子的对称性可以用群论来描述，这对于理解分子的光谱性质、化学反应性至关重要。密码学：一些现代密码学算法的设计和分析依赖于群论的性质，特别是有限域上的矩阵群。计算机科学：图论、算法设计等领域也可见群论的应用。本书将为你打开一扇通往这些精彩应用的大门，并鼓励你进一步探索矩阵群在各个领域的深层联系。本书的目标读者本书适合那些对抽象代数和线性代数有一定基础的学生。如果你对数学的抽象美感充满好奇，渴望理解对称性背后的深刻数学结构，并希望掌握一个强大的数学工具来分析现实世界中的问题，那么本书将是你理想的学习伙伴。我们力求通过清晰的解释、丰富的例子和逐步深入的讲解，让你在掌握矩阵群论的同时，也能享受到探索数学世界的乐趣。

作者简介

目录信息

Cover 1
Title 2
Copyright 3
Contents 4
Why study matrix groups? 8
Chapter 1. Matrices 12
§1. Rigid motions of the sphere: a motivating example 12
§2. Fields and skew-fields 14
§3. The quaternions 15
§4. Matrix operations 18
§5. Matrices as linear transformations 22
§6. The general linear groups 24
§7. Change of basis via conjugation 25
§8. Exercises 27
Chapter 2. All matrix groups are real matrix groups 30
§1. Complex matrices as real matrices 31
§2. Quaternionic matrices as complex matrices 35
§3. Restricting to the general linear groups 37
§4. Exercises 39
Chapter 3. The orthogonal groups 40
§1. The standard inner product on K[sup(n)] 40
§2. Several characterizations of the orthogonal groups 43
§3. The special orthogonal groups 46
§4. Low dimensional orthogonal groups 47
§5. Orthogonal matrices and isometries 48
§6. The isometry group of Euclidean space 50
§7. Symmetry groups 52
§8. Exercises 54
Chapter 4. The topology of matrix groups 58
§1. Open and closed sets and limit points 59
§2. Continuity 64
§3. Path-connected sets 66
§4. Compact sets 67
§5. Definition and examples of matrix groups 69
§6. Exercises 71
Chapter 5. Lie algebras 74
§1. The Lie algebra is a subspace 75
§2. Some examples of Lie algebras 77
§3. Lie algebra vectors as vector fields 80
§4. The Lie algebras of the orthogonal groups 82
§5. Exercises 84
Chapter 6. Matrix exponentiation 86
§1. Series in K 86
§2. Series in M[sub(n)](K) 89
§3. The best path in a matrix group 91
§4. Properties of the exponential map 93
§5. Exercises 97
Chapter 7. Matrix groups are manifolds 100
§1. Analysis background 101
§2. Proof of part (1) of Theorem 7.1 105
§3. Proof of part (2) of Theorem 7.1 107
§4. Manifolds 110
§5 More about manifolds 113
§6. Exercises 117
Chapter 8. The Lie bracket 120
§1. The Lie bracket 120
§2. The adjoint action 124
§3. Example: the adjoint action for SO(3) 127
§4. The adjoint action for compact matrix groups 128
§5. Global conclusions 131
§6. The double cover Sp(1) → SO(3) 133
§7. Other double covers 137
§8. Exercises 138
Chapter 9. Maximal tori 142
§1. Several characterizations of a torus 143
§2. The standard maximal torus and center of SO(n), SU(n), U(n) and Sp(n) 147
§3. Conjugates of a maximal torus 152
§4. The Lie algebra of a maximal torus 159
§5. The shape of SO(3) 161
§6. The rank of a compact matrix group 162
§7. Who commutes with whom? 164
§8. The classification of compact matrix groups 165
§9. Lie groups 166
§10. Exercises 167
Bibliography 170
Index 172
A 172
B 172
C 172
D 172
E 172
F 172
G 172
H 172
I 173
L 173
M 173
N 173
O 173
P 173
Q 173
R 173
S 173
T 173
U 173
V 173
Back Cover 176
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的印刷质量相当不错，纸张的触感细腻，油墨的颜色饱满，阅读体验极佳。我对“群的表示”这一主题非常感兴趣，希望书中能有详细的讲解。特别是关于“群的线性表示”的概念，以及如何利用表示来研究群的性质。我听说这本书提供了一些关于置换群、对称群的表示的例子，并解释了它们在物理学（如量子力学）中的应用。这对我来说非常有吸引力，因为它将抽象的代数概念与实际应用联系起来。书中关于“群的同构不变量”的介绍也让我十分期待。了解哪些性质在群的同构下保持不变，是理解群结构的关键。希望书中能清晰地解释什么是群的同构不变量，并提供一些例子，比如阶、交换子子群的结构等。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名就极具吸引力，预示着它将为我们打开群论的大门。它的内容似乎是从最基础的概念开始，逐步深入。我最看重的是书中对“群的子群生成”的讲解。如何找到一个群的生成子集，以及如何利用生成子集来描述和研究群的结构，是我学习的重点。希望书中能提供一些算法或者方法来寻找生成子集，并展示它们在不同类型的群中的应用。我个人对“有限群的结构”很感兴趣，希望书中能对一些重要的有限群，比如“二面体群”、“四元群”等，进行详细的分析，包括它们的子群结构、正规子群以及商群。这些具体的例子能够帮助我更好地理解抽象的理论。同时，如果书中能有一些关于“群在组合数学中的应用”，比如在计数问题、图论中的应用，那将是非常有价值的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书脊设计简洁大气，摆在书架上显得十分专业。我关注的重点是书中关于“群的分类”的各个方面。我希望书中能对“有限单群”的分类有一个概述性的介绍，即使不深入探讨其复杂的证明，也能让我们对这个“数学领域的巨大成就”有一个大致的了解。我非常期待书中对“有限阿贝尔群的基本定理”的讲解，这个定理能够将任何有限阿贝尔群分解为循环群的直积，这是一种非常漂亮的分类结果。希望书中能提供清晰的证明，并展示如何利用这个定理来分类具体的有限阿贝尔群。我个人对“群的表示论”中的“特征标理论”很感兴趣，希望书中能对特征标理论有一个初步的介绍，并解释它在研究群的表示和结构中的作用。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计非常符合学术书籍的风格，稳重而不失现代感。打开书页，一股油墨的清香扑来，让人心生喜爱。从内容上看，这本书似乎非常注重数学语言的准确性和规范性。代数中的符号和定义非常多，如果能有清晰的符号表和术语解释，将大大降低学习的门槛。我特别关注书中对“同态”和“同构”的讲解，这两个概念是理解群结构本质的关键。希望书中能有大量的例子来区分它们，并说明它们在分类群时的作用。我听说这本书对“陪集”和“正规子群”的讲解非常透彻，并且能够很好地引出“商群”的概念。这部分是很多初学者容易混淆的地方，希望作者能给出一些直观的类比或者可视化解释。另外，书中关于“Sylow定理”的部分，据说也是这本书的一大亮点，能够帮助我们理解有限群的结构。我对Sylow定理的证明过程和应用场景非常期待，尤其是它如何用来证明一些经典的群论定理。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，首先感受到的是其沉甸甸的知识分量。书的厚度适中，不像有些书那样过于冗长，也不像有些书那样过于简略。内容方面，我非常期待书中关于“群的生成元和关系”的部分。这是一种描述群的强大方法，尤其是在研究无限群时。希望书中能有如何通过生成元和关系来确定群的结构，或者如何判断两个由生成元和关系描述的群是否同构的例子。我对“Cayley定理”的讲解也非常感兴趣，它表明任何群都可以被看作是某个置换群的子群，这是一种非常深刻的洞察。书中是否会展示Cayley定理的具体证明，并给出一些实际应用的例子？我比较喜欢那种能够触类旁通的学习方式，希望这本书的结构设计能够引导我们从基础的群概念出发，逐步深入到更复杂的概念和定理，并且能够看到它们之间的联系。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版非常清晰，页边距适中，字体大小也很合适，长时间阅读也不会感到疲劳。我最看重的是书中讲解的逻辑性和严谨性。代数，尤其是群论，最需要的就是严密的证明和清晰的逻辑推理。我希望作者能够一步步地引导读者理解每个定理的由来和证明过程，而不是直接给出结论。书中是否有提供一些“思考题”或者“挑战题”，来激发我们独立思考和解决问题的能力？这对于培养数学思维非常重要。我听说这本书的例子选取得非常好，既贴合理论，又具有一定的趣味性，能够帮助我们理解抽象的概念。比如，关于群的表示，我希望书中能有详细的例子，比如如何表示对称群，以及这些表示的意义。此外，书中关于群的分类，比如有限单群的分类，虽然可能不会深入讲解，但如果能给出一个概览，让我们对这个领域有一个大致的了解，也是非常有益的。我个人对利用群论来研究对称性非常感兴趣，希望书中能有相关的应用案例，比如在晶体学或者分子对称性中的应用。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常吸引人，简洁大方，一看就知道是为本科生量身打造的。书的纸质也很不错，拿在手里有质感，阅读起来非常舒适。内容方面，从目录来看，它涵盖了群论的许多核心概念，包括群的定义、子群、陪集、正规子群、商群、同态、同构，以及一些重要的特定群，比如对称群、交错群、循环群、有限阿贝尔群等。我特别期待书中关于群作用、Sylow定理以及置换群表示的部分，这些是理解更高级代数结构的关键。作者在写作风格上据说非常注重清晰和循序渐进，这对于初学者来说是至关重要的。希望书中能有大量的例子和练习题，帮助我们巩固所学知识，并能启发我们思考群论在其他数学分支中的应用，比如拓扑学、几何学，甚至是物理学。考虑到我目前刚开始接触抽象代数，这本书能否提供足够的背景知识和直观解释，帮助我建立起对抽象概念的理解，将是我非常看重的。如果书中还能穿插一些历史上关于群论发展的重要人物和事件的介绍，那就更好了，这能让学习过程更加生动有趣。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，我立刻被它简洁而又专业的气质所吸引。书的重量感恰到好处，握持舒适。从目录来看，这本书似乎非常注重群论的“结构”和“分类”。我非常期待书中关于“无限群”的讲解，比如“模群”、“模群的子群”以及“自由群”和“自由积”。这些是群论中比较抽象但又非常重要的概念。希望书中能提供一些方法来理解它们的结构，并且展示它们在数论或几何中的应用。我尤其对“模群”及其性质感兴趣，因为它们在数论中有着广泛的应用。这本书是否会提供一些关于模群的例子，并介绍如何计算它们的阶或判定它们的同构性质？我希望这本书不仅能教会我群论的知识，更能培养我独立解决数学问题的能力，因此，书中提供的思考题和进阶练习将是评价其价值的重要标准。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计简洁而有力量，一眼就能感受到其学术深度。从目录上看，它涵盖了群论的许多重要分支，并且似乎在“群的同态定理”和“群的同构定理”上进行了深入的讲解。这些定理是理解群结构和分类的关键。希望书中能提供非常清晰的证明，并辅以大量的例子来阐释它们的含义和应用。我尤其期待书中关于“群的中心”、“交换子群”以及“可解群”的介绍。这些概念对于理解群的内部结构和性质至关重要。我希望这本书能教会我如何利用这些概念来分析和分类不同的群。另外，如果书中能提供一些关于“群的子群格”的讨论，并展示如何利用子群格来研究群的结构，那将是非常有益的学习补充。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计有一种经典而又引人入胜的感觉，一看就觉得内容会很扎实。我个人对“群作用”这个概念非常着迷，希望书中能有详细的讲解，特别是关于“轨道”、“稳定子”和“不动点”等概念的定义和性质。我听说这本书通过大量的例子来解释群作用，比如在多项式群作用、几何图形的对称性以及集合的置换等方面。这对于我这种需要直观理解抽象概念的学习者来说，是极大的福音。另外，关于“有限生成群”和“自由群”的部分，如果书中能有清晰的介绍，并解释它们在代数中的重要性，那将非常有帮助。我一直对“ NILPOTENT 且 SOLVABLE 群”这一类群的性质很感兴趣，希望书中能对这些概念的定义和一些基本性质有所涉及，哪怕只是一个初步的介绍。

评分☆☆☆☆☆

通俗易懂，脉络清晰

评分☆☆☆☆☆

通俗易懂，脉络清晰

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通俗易懂，脉络清晰

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通俗易懂，脉络清晰

评分☆☆☆☆☆

通俗易懂，脉络清晰