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出版者:AIPI

作者:Cram101 Textbook Reviews

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:2009-10-29

价格:USD 32.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781428836198

丛书系列:

图书标签:

• Precalculus
• Mathematics
• College
• Textbook
• Study Guide
• Outlines
• Highlights
• Notes
• ISBN
• 9780321767582
• Pearson

《高等代数：概念、方法与应用》 本书简介 《高等代数：概念、方法与应用》旨在为读者提供一个坚实、全面且深入的代数基础，侧重于抽象概念的理解、严谨的逻辑推理能力的培养以及理论知识在现代数学和相关科学领域的实际应用。本书超越了传统代数课程的范围，着重于向量空间、线性变换、矩阵理论、特征值与特征向量、以及更广义的代数结构（如群论基础）的深入探讨。 第一部分：基础与结构 本书的开篇部分致力于巩固和深化读者对集合论基础、数域（实数域 $mathbb{R}$ 与复数域 $mathbb{C}$）性质的理解，并为后续更抽象内容的学习打下坚实基础。 第一章：集合、映射与数系回顾 本章首先回顾集合论的基本概念，包括集合的运算、笛卡尔积和幂集。随后，详细阐述函数（映射）的性质，特别是单射、满射和双射，并介绍函数的复合与逆运算。核心内容集中在实数系 $mathbb{R}$ 的完备性公理——这是理解微积分和高等数学分析的基石。复数域 $mathbb{C}$ 的引入，不仅限于代数形式 $a+bi$，更深入探讨了其几何意义（高斯平面）以及极坐标表示，并给出代数基本定理的证明思路。 第二章：域与多项式代数 本章是理解代数结构的关键。我们从抽象代数的角度审视数域的扩张。详细讨论了多项式的定义、运算（加法、乘法、除法）以及带余除法在任意域上的有效性。关键概念包括多项式的根、因式分解定理，以及高斯引理的证明和应用。本章还引入了有理系数多项式在域扩张中的重要性，为伽罗瓦理论的铺垫做好了准备。 第二部分：线性代数的核心 本书的中心部分完全聚焦于线性代数，这是理解现代科学计算、工程和物理学的必备工具。我们采用现代的、基于向量空间的定义方式，而不是仅仅停留在矩阵运算层面。 第三章：向量空间与子空间 本章正式引入向量空间的抽象定义，涵盖了域 $F$ 上的向量空间。我们详细分析了常见的例子，如函数空间、多项式空间和 $mathbb{R}^n$。子空间的概念通过闭合性条件严格定义，并通过与子空间和直和的运算，探讨了子空间之间的关系。 第四章：线性组合、生成集与基 线性组合、张成（生成）集合的概念被细致阐述。维度（Dimension）的概念被定义为最小生成集的大小或最大线性无关集的元素个数，并证明了其唯一性。本章的核心在于“基”的构造与性质，特别是基向量集合的线性无关性证明，以及如何通过基的变换来描述同一向量空间中的不同视角。 第五章：线性变换与矩阵表示 线性变换 $T: V o W$ 被视为向量空间之间的结构保持映射。我们深入分析了核（Kernel，零空间）和像（Range，值域）的性质，并证明了秩-零化度定理。矩阵的引入不再是起点，而是线性变换在特定基下的“坐标表示”。详细讨论了相似变换、基变换矩阵的计算，以及矩阵的秩与线性方程组解集之间的深刻联系。 第六章：行列式 本章从几何直觉（体积的伸缩因子）出发，严格定义行列式。我们探讨了行列式的多线性、反对称性，并给出了莱布尼茨公式与代数余子式展开式的推导。重点在于行列式的计算方法（行变换的性质）以及行列式在判断矩阵可逆性、求解线性方程组（克莱默法则）中的核心作用。 第三部分：结构分析与应用 本部分关注于向量空间结构的深入剖析，特别是特征值理论和内积空间的概念。 第七章：特征值与特征向量 特征值和特征向量被定义为在特定线性变换下方向不变的向量。本章详细介绍了特征多项式的求解方法、代数重数与几何重数的概念，以及对角化（Diagonalization）的充要条件。对于不可对角化的矩阵，本章引入了若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的理论框架，用以描述矩阵在复数域上的最简结构表示，这是矩阵理论中最强大的工具之一。 第八章：内积空间与正交性 本书扩展到具有度量结构的向量空间——内积空间（如欧几里得空间和酉空间）。详细定义了内积、范数和角度。正交基（Orthogonal Basis）的概念是本章的重点，通过格拉姆-施密特正交化过程，展示了如何高效地构造正交基。最小二乘法和正交投影的概念，及其在数据拟合和误差分析中的应用，也得到了充分的讨论。 第九章：二次型与二次曲面 本章将线性代数的理论应用于几何问题。二次型被表示为对称矩阵 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$。通过对二次型矩阵进行正交相似对角化，我们能将二次型化为标准形，从而简洁地分析二次曲面的几何性质（如椭圆、双曲线、抛物线等）。惯性定理和正定矩阵的判断标准也是本章的重要内容。 附录：代数结构初步 附录简要介绍群、环、域的基本概念，将读者从线性代数的具体世界引导至更广阔的抽象代数领域，展望了更高阶的数学研究方向。 本书特色 本书的编写风格力求清晰、严谨且富有启发性。每章都包含大量的例题和习题，后者分为“概念检验”、“计算应用”和“理论探究”三个层次，确保读者不仅能掌握计算技巧，更能理解背后的数学原理。本书特别强调证明的完整性与逻辑的连贯性，适合作为数学、物理、计算机科学、工程学专业本科生的高等代数或线性代数课程的教材。它为后续学习泛函分析、微分几何和理论物理打下了不可替代的坚实基础。

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