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出版者:Springer-Verlag

作者:V. V. Nikulin

出品人:

页数:251

译者:

出版时间:1987-12

价格:USD 79.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387152813

丛书系列:

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《几何与群》 内容概述 《几何与群》是一本深入探讨几何学与群论之间深刻联系的学术专著。本书旨在为读者提供一个清晰、严谨且富有启发性的框架，以理解这两个看似独立但实则密不可分的数学分支如何相互映照、相互构建。全书围绕着“对称性”这一核心概念展开，通过群的语言来描述和分析几何对象的对称性，进而利用几何的直观性来理解抽象的群结构。 本书首先从介绍几何学的基本概念入手，包括欧几里得几何、非欧几里得几何以及更抽象的微分几何。作者会循序渐进地引入度量空间、流形、曲率等核心概念，为后续群论的应用打下坚实的基础。与此同时，书中也会对群论的基础知识进行详尽的阐述，涵盖群的定义、子群、陪集、正规子群、商群、同态、同构等基本概念，并引入有限群、无限群、交换群、非交换群、循环群、对称群等重要的群结构。 本书的精髓在于将几何对象与群论的抽象概念巧妙地结合起来。例如，作者会详细讨论点的平移、旋转、反射等几何变换如何构成一个群，而这个群的结构则精确地反映了对应几何对象的对称性。通过研究这些几何变换群的性质，我们可以深入理解不同类型几何空间的内在结构和性质。 书中会重点探讨几种重要的几何与群的交织之处。其中，离散群的章节将是重中之重。离散群在几何学中扮演着至关重要的角色，例如晶体学中的点群和空间群，它们描述了晶体结构中原子排列的周期性和对称性。作者会从群论的角度出发，详细分析各种晶体学群的构成、分类及其与宏观晶体性质的关系。 此外，庞加莱群与闵可夫斯基时空的联系也将得到深入的阐述。作者会借由庞加莱群的结构，解释狭义相对论中时空的不变性以及洛伦兹变换的群论本质。这一点将有助于读者理解物理学中对称性原理的深刻含义。 本书还将引导读者探索黎曼几何与李群的深刻联系。李群作为连续的对称群，在描述微分流形上的连续变换和对称性方面发挥着关键作用。作者会介绍李群的基本概念，如李代数，并探讨它们在研究流形的结构、几何测度和动力系统中的应用。例如，通过研究特定流形上的李群作用，我们可以揭示其内在的几何属性。 拓扑群的概念及其在几何学中的应用也将是本书的一大亮点。拓扑群结合了群的代数结构和拓扑空间的连续性，为研究更广泛的对称性提供了强大的工具。作者会介绍拓扑群的性质，并举例说明其在拓扑流形、李群以及代数几何中的作用。 本书的另一个重要方面是对称性破缺的讨论。在物理学和几何学中，对称性破缺是一个普遍存在的现象，它解释了许多自然界中看似不具有对称性的现象，例如相变或某些几何结构的形成。作者会从群论和几何学的角度，探讨对称性破缺的机制及其产生的后果。 为了更好地呈现这些复杂的概念，本书将穿插大量精心设计的例证和习题。这些例证将涵盖从经典的几何问题到现代数学研究的前沿领域，帮助读者将抽象的理论知识与具体的数学对象联系起来。习题的设计旨在检验读者对概念的理解和应用能力，并鼓励读者进行更深入的探索。 本书的写作风格力求严谨且易于理解。作者假设读者具备一定的数学基础，包括线性代数、微积分和基本的群论知识。然而，对于关键概念，书中会提供清晰的定义和直观的解释，以帮助读者建立起完整的知识体系。书中也会适时引用重要的定理和猜想，并提供必要的证明或关键思路，以期让读者领略到数学的深度与美感。 目标读者 《几何与群》面向广泛的数学爱好者、本科生、研究生以及相关领域的科研人员。对于数学专业的学生而言，本书可以作为深入学习群论和几何学的参考教材，帮助他们建立起坚实的理论基础，并为进一步的研究打下坚实的基础。对于物理学、计算机科学（如图形学、机器人学）、密码学等领域的专业人士，本书提供的群论与几何学的视角也能为他们的工作带来新的启发和工具。 本书的价值 本书的价值在于其独特地连接了两个核心数学分支，揭示了数学世界中普遍存在的对称性原理。通过对几何对象和群结构的相互理解，读者将能够： 深化对数学结构的洞察： 掌握利用群的语言描述和分析几何性质的方法，反之亦然。 理解对称性的普遍性： 认识到对称性不仅仅是一个几何概念，更是贯穿整个数学乃至自然科学的基本原理。 拓宽数学视野： 接触并理解许多现代数学研究的前沿领域，例如李群、微分几何、代数拓扑等。 培养严谨的数学思维： 通过对抽象概念的深入理解和逻辑推理，提升分析和解决问题的能力。 总而言之，《几何与群》是一本致力于展现数学之美、探索数学世界深层联系的力作。它将引导读者踏上一段既具挑战性又充满回报的数学探索之旅，揭示隐藏在几何形状与抽象代数结构背后的深刻奥秘。 章节概览（示意性，具体内容可能更细致） 第一部分：基础概念回顾与铺垫 第一章：几何学概览： 欧几里得几何、非欧几里得几何、度量空间、拓扑空间简介。 第二章：群论基础： 群的定义、运算、阶、子群、陪集、拉格朗日定理、正规子群、商群。 第三章：映射与同构： 群同态、群同构、凯莱定理。 第二部分：几何变换与群 第四章：欧几里得空间中的对称性： 平移、旋转、反射、刚体运动群。 第五章：有限几何与对称群： 多边形、多面体的对称群。 第六章：晶体学中的群： 点群、空间群，及其与晶体结构的联系。 第三部分：抽象几何与群的交织 第七章：度量空间的群论视角： 等距变换群，测地线与群的相互作用。 第八章：流形与对称性： 切空间、向量场，以及作用在流形上的群。 第九章：微分几何中的群论工具： 联络、曲率张量与群的性质。 第四部分：现代数学的前沿视角 第十章：李群与李代数： 连续对称性，指数映射，矩阵李群。 第十一章：庞加莱群与相对论： 时空对称性，洛伦兹变换。 第十二章：拓扑群与泛代数： 拓扑群的性质，单位根群。 第十三章：对称性破缺： 在物理学和几何学中的体现。 第五部分：进阶主题与应用 第十四章：群表示论简介： 群表示的定义与基本性质。 第十五章：几何与群在其他领域的应用： （示例性，可能涉及计算机图形学、编码理论等） 附录： 符号表，参考文献，索引。

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这是一部令人印象深刻的学术著作，其深度和广度都超出了我的预期。它不仅仅是对既有知识的系统性梳理，更在于作者对概念之间微妙关系的出色洞察。书中对“作用”（Action）的讨论尤其精彩，作者通过对各种变换群作用于不同空间（无论是向量空间还是流形）的分析，清晰地展示了群论如何成为研究空间结构和对称性的核心语言。我尤其欣赏它在处理辛几何（Symplectic Geometry）与哈密顿力学联系时的严谨性，这部分内容通常在入门级的教材中会被一笔带过，但在这里却被赋予了足够的篇幅进行详尽的阐述，展示了代数结构在物理学前沿应用中的决定性作用。当然，这本书的阅读门槛是客观存在的，它要求读者具备扎实的线性代数和初步的拓扑学背景，对于初学者来说可能会感到吃力。但对于那些寻求一本能够真正挑战自我、拓展知识边界的深度阅读材料的进阶读者而言，这本书的价值无可估量。它迫使你去思考，去质疑，去建立自己对抽象世界的精确认知框架。

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这本《Geometries and Groups》的书，真是让我大开眼界，简直是数学思维的饕餮盛宴。我本以为它会是一本枯燥的纯理论书籍，充斥着让人望而生畏的符号和抽象的概念，但事实远非如此。作者在开篇就用一种近乎诗意的笔触，将几何直觉与群论的严谨结构巧妙地编织在一起。初读时，我仿佛置身于一个无限维度的空间，每一个定理的推导都像是在构建一座精妙的数学大厦，每一步都坚实而优雅。特别是关于李群与微分几何的交汇部分，作者没有简单地罗列公式，而是通过大量的几何图像和实例，将那些原本抽象的对称性转化成了触手可及的视觉体验。那种豁然开朗的感觉，就像是第一次理解了欧拉公式的普适性，它揭示了看似不相关的数学分支之间深刻的内在联系。我特别欣赏作者在讲解拓扑群概念时所采用的类比手法，它成功地架起了直观理解和形式证明之间的桥梁，使得复杂的结构不再高不可攀。这本书的排版和插图也极为考究，细节之处无不体现出对读者体验的尊重，让长时间的阅读也成为一种享受而非负担。对于任何希望深入理解现代几何学基础，并对对称性背后的深层数学结构感到好奇的读者来说，这本书无疑是案头必备的珍宝。

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坦白说，我拿起这本书的时候，内心是充满忐忑的，毕竟“群”和“几何”这两个词组合在一起，对非专业人士来说，就像是通往另一个维度的密码。然而，这本书的叙事方式极其平易近人，它没有一上来就抛出最艰深的定义，而是从历史脉络和实际应用的角度切入，这极大地降低了入门的门槛。作者的行文风格非常像一位经验丰富的老教授，他知道哪些地方需要放慢速度，哪些地方可以稍微提速，总是能在你快要迷失方向的时候，适时地抛出一个精妙的例子来帮你校准航向。我尤其喜欢它对“不动点定理”的讨论，从行星轨道到晶体结构，无处不体现出数学思想的强大生命力。这本书的难度曲线设计得非常巧妙，前半部分是坚实的基础构建，而后半部分则迅速攀升到更具挑战性的领域，比如黎曼几何中的等距群。虽然有些证明细节需要我反复揣摩，甚至不得不查阅一些预备知识，但这种“斗智斗勇”的过程反而加深了我对知识的掌握。这本书不是那种读完就扔在一边的教材，它更像是一本可以陪伴你不断成长的工具书，每次重读都会有新的感悟和理解的深化。

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我一直认为，好的数学书应该像一把精密的雕刻刀，既能剖析细节，又能展现整体的美感。这本《Geometries and Groups》完全符合我的期待。它的结构安排极具逻辑性，从最基础的群公理出发，逐步过渡到矩阵群，再到更抽象的拓扑空间上的群结构。这种由具体到抽象的推进过程，使得读者能够顺畅地跟进作者的思路，而不至于在过早的抽象化中迷失方向。书中对伽罗瓦理论在几何中的体现也有独到的见解，虽然篇幅不多，但点出了几何与代数深层统一性的一个重要侧面。我特别喜欢它在每一章末尾设置的“拓展思考题”，这些问题并非简单的计算题，而是引导性的概念探究，极大地激发了我主动去连接不同章节知识点的欲望。这本书的行文风格是高度精确和高度凝练的，每一个句子都信息量巨大，需要逐字逐句地研读，绝不能浮光掠影。它不是那种可以让你在咖啡馆里轻松翻阅的书籍，它需要你全身心地投入，准备好迎接智力上的挑战，但最终的回报是丰厚的。

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这是一部充满智慧和洞察力的著作，它成功地将两个看似分属不同领域的数学分支——几何的直观性和群论的抽象性——进行了完美的融合。这本书最成功的地方在于，它没有将几何视为仅仅是“空间对象”的研究，而是将其视为由特定“对称性”所定义和约束的结构。作者在解释射影几何和它对应的变换群时，运用了大量的对偶性原理，这是一种非常高阶的视角，它揭示了事物可以通过其“不变性”来被定义和理解的哲学深度。我发现自己花了大量的时间去研究关于“同调群”和“群作用”如何帮助我们分类不同类型的几何结构，这部分内容写得极为深刻且富有启发性。这本书对数学史的引用也恰到好处，它让我们明白，今天的这些结构是如何一步步被探索出来的，充满了人文关怀。总而言之，这本书的阅读体验是一次智力上的“蜕变”，它彻底改变了我对“结构”这一概念的理解，并为我后续研究提供了极其坚实和灵活的数学工具箱。它不仅仅是一本书，更像是一扇通往数学更深层奥秘的大门。

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