Simplicial Complexes of Graphs pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Jonsson, Jakob

出品人:

页数:396

译者:

出版时间:

价格:74.95

装帧:

isbn号码:9783540758587

丛书系列:

图书标签:

• Simplicial Complexes
• Graph Theory
• Combinatorics
• Topology
• Discrete Mathematics
• Algebraic Topology
• Combinatorial Topology
• Graph Combinatorics
• Mathematical Structures
• Network Analysis

图论中的代数拓扑基础：从圈到更高维度结构的严谨探索 作者： [此处留空，或填写虚构作者名] 出版社： [此处留空，或填写虚构出版社名] 本书概述： 本书是一部深度聚焦于图论与代数拓扑交叉领域的严谨学术专著。它旨在为具备扎实的离散数学和基础抽象代数知识的读者，提供一个从经典图论概念出发，逐步过渡到由同调代数工具所驱动的现代拓扑结构分析的全面框架。本书的核心不在于构建或研究“单复形”（Simplicial Complexes），而是将重点完全置于图的内在结构、图的特定代数表示、图的谱理论，以及网络科学中基于图的几何化方法。 我们将从图的定义和基本概念入手，详细阐述图的矩阵表示——邻接矩阵、拉普拉斯矩阵的性质及其在图的连通性、划分和嵌入方面的应用。本书的重点在于拉普拉斯谱分析，深入探讨特征值和特征向量如何揭示图的全局结构信息，例如割值（Cuts）、扩张性（Expanders）以及随机游走的行为。 第一部分：图论的代数基础与矩阵表示 本部分奠定了全书的数学基础，并完全围绕图的线性代数描述展开。 第一章：图论的经典构造与属性 详细回顾无向图、有向图的定义、子图、图同构的概念。重点分析图的连通性、路径、圈的性质，以及图的平面性测试的经典算法（如Kuratowski定理的代数视角解读，而非拓扑嵌入证明）。 第二章：图的矩阵代数表示 深入分析邻接矩阵（Adjacency Matrix $A$）的谱性质，包括其特征值的范围和特征向量的性质（例如，对应最小非零特征值的特征向量与图的平衡割的关系）。随后，重点剖析图拉普拉斯矩阵（Graph Laplacian $L = D - A$）的数学特性，包括其半正定性、零特征值（对应连通分量）的重数，及其与特征值的排序对图结构的敏感性。 第三章：拉普拉斯谱分析的深度应用 本章是本书的基石之一。我们详尽讨论了谱图论的核心应用： 1. 最大割与最小割问题： 利用Fiedler向量（对应第二小特征值 $lambda_2$ 的特征向量）来近似求解最大割问题，并讨论其近似比。 2. 图的扩张性理论： 引入切割（Cheeger/Alon-Boppana界限），解释高扩展性图（Expanders）在通信网络和编码理论中的重要性，及其特征值分离度的度量。 3. 谱聚类（Spectral Clustering）： 详细阐述如何利用拉普拉斯矩阵的特征分解来对图的节点进行有效的划分，并讨论各种归一化拉普拉斯矩阵的优势与局限。 第二部分：图的几何化与嵌入理论 本部分探索如何将离散的图结构嵌入到连续空间中，关注的是距离和几何性质的保持。 第四章：图的距离几何与度量空间 定义图的测地距离、随机游走距离。探讨距离谱法（Distance Spectral Method），分析距离矩阵（All-Pairs Shortest Path Matrix）的谱分解在图结构识别中的作用。重点区分于拓扑上基于邻域的结构定义。 第五章：低维嵌入与流形学习的图表示 研究如何将高维图数据映射到低维欧几里得空间，同时尽可能保持节点间的局部或全局距离关系。详述多维缩放（MDS）、Isomap以及局部线性嵌入（LLE）等算法的数学原理，这些方法侧重于从邻接信息推导出嵌入空间的几何度量，而非构造高维度的拓扑组合体。我们讨论了保持局部邻域关系的嵌入稳定性。 第六章：图上的连续函数与热核扩散 分析拉普拉斯算子在图上的离散化形式——图拉普拉斯算子。研究图上的热方程（Heat Equation on Graphs），利用热核（Heat Kernel）来量化信息在图上的扩散过程，以及如何通过热核的性质来度量图的连通性和局部结构。这部分内容完全基于微分方程的离散模拟，与组合拓扑的构造无关。 第三部分：高级代数结构与网络科学模型 本部分转向更抽象的代数结构在分析复杂网络中的应用，强调代数而非几何组合。 第七章：图的代数不变量：张量表示 超越二部邻接矩阵，引入高阶张量来表示多重边、多层网络或更复杂的局部结构。讨论高阶谱分析（Tensor Decomposition）在识别网络中的社区结构和功能模块中的应用，例如如何使用张量分解来识别超图（Hypergraphs）的代数表征，尽管本书不直接研究超图的拓扑复形。 第八章：图的代数编码与信息论 探讨图的结构如何转化为可编码的形式。分析基于图的信道编码，特别是使用正则图和扩展器图作为底层结构的编码方案。引入代数图论（Algebraic Graph Theory）中的特定代数结构（如群作用下的图、环上的图）来研究其对称性和不变量。 第九章：网络动力学与反馈系统 将图结构视为动力系统的基础骨架，分析基于图的微分方程组或差分方程组的稳定性。讨论同步现象（Synchronization）、传播模型（如SIR, SIS）在特定图拓扑（如无标度网络、小世界网络）上的演化规律，关注的是动力学的连续或离散时间演化，而非由组合构造定义的拓扑空间。 结论：图论分析的现代工具箱 本书的结论总结了图论分析中矩阵方法、谱分析、几何嵌入和代数编码的强大力量，强调这些工具如何有效地揭示和量化复杂网络所固有的几何、代数和动态属性。全书旨在提供一个深度且实用的图论分析框架，其焦点始终锁定在图的离散代数结构及其在连续空间中的映射，避免了对组合拓扑对象（如单纯复形）的构造、同调群或链复形的任何讨论。本书内容高度依赖于线性代数、傅里叶分析和微分方程的离散化版本。

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