Lectures on Coarse Geometry (University Lecture Series) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:John Roe

出品人:

页数:175

译者:

出版时间:2003-11

价格:USD 41.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821833322

丛书系列:University Lecture Series

图书标签:

• 粗糙几何
• 几何学
• 拓扑学
• 数学分析
• 测度论
• 大学教材
• 高等数学
• 函数空间
• 渐近几何
• 大学讲义

《Lectures on Coarse Geometry (University Lecture Series)》图书内容综述 本书《Lectures on Coarse Geometry (University Lecture Series)》是一部深刻而系统的几何学著作，它开创性地将传统微分几何和拓扑学的许多核心概念推广到了一个更为广阔的、不依赖于局部紧致性的框架中——即粗几何（Coarse Geometry）。该书并非仅仅是对既有理论的简单回顾，而是构建了一个全新的、用于描述“大尺度”结构和拓扑性质的数学语言。 第一部分：基础与动机 本书的开篇部分奠定了粗几何学的理论基础，并清晰地阐述了为何需要这种新的几何学视角。传统的微分几何和黎曼几何高度依赖于点之间的精确距离和局部光滑性，这在处理诸如双曲群（Hyperbolic Groups）、低维流形（Low-Dimensional Manifolds）的极限行为，以及无限度量空间（Infinite Metric Spaces）时，其工具箱显得力不从心。 1. 度量空间的重构与粗糙化： 作者首先引入了粗结构（Coarse Structure）的核心概念。它提供了一种替代传统拓扑和距离结构的语言，用一组“粗等价关系”（Coarse Equivalence）来描述两个度量空间在足够远的尺度上看起来“一样”。书中详细讨论了如何构造粗集的包（Coverings）和粗邻域（Coarse Neighborhoods）。重点在于区分“远”与“近”，即如何在一个度量空间中定义一个由一组“粗糙邻域”构成的框架，使得这些邻域能够捕获空间的宏观形态，而忽略微小的局部扰动。 2. 粗拓扑与粗连续性： 传统拓扑空间中的开集和连续函数被粗几何中的概念所取代。书中详细阐述了粗拓扑的构造方法，它基于对 $epsilon$-邻域的推广。粗连续函数的定义是本书的基石之一，它要求函数在宏观上保持邻域关系，即使在微观上可能存在一个固定的、但依赖于输入点的偏移量。这种“受控偏差”的定义使得许多从有限维度空间推广而来的结构（如谱序列）能够在无限空间中得以应用。 3. 重要的例子：双曲空间： 为了展示粗几何的威力，书中深入分析了双曲度量空间，特别是庞加莱圆盘（Poincaré Disk）和其边界。在双曲几何中，粗结构的概念与几何测度论紧密相关。作者展示了如何利用粗几何工具来刻画理想边界（Ideal Boundary）的结构，这种结构在传统的黎曼几何中往往需要依赖于特定边界点的选取。 第二部分：粗代数与拓扑的联系 本书的中间部分着重于将代数拓扑和同调论的概念提升到粗几何的框架下，这部分内容对于理解粗空间的内在不变量至关重要。 1. 粗同调论（Coarse Homology）： 这是本书的核心创新之一。传统的同调论依赖于紧凑支撑（Compact Support）或有限链复形。粗几何要求一种新的、适用于无限空间的同调理论。书中详细介绍了粗凯莱同调（Coarse Čech Homology）和粗奇异同调（Coarse Singular Homology）的构造。关键在于，链复形（Chain Complexes）被“粗链复形”所取代，这些复形允许链的边界算子在远距离上具有一个小的、可控的“误差”。 2. 粗同伦与粗像（Coarse Homotopy and Coarse Images）： 类似于传统拓扑学中的同伦等价，书中定义了粗同伦等价（Coarse Homotopy Equivalence）。如果两个粗空间可以被一组粗同伦连续地相互连接，则称它们粗同伦等价。作者着重证明了，粗同伦等价的度量空间具有相同的粗拓扑不变量，特别是粗同调群。这为分类具有相似宏观结构的度量空间提供了代数工具。 3. 粗李群与粗微分结构： 书中还探讨了在度量空间上定义“李群”结构的可能性，即便这些空间没有光滑流形结构。这方面的讨论集中在如何定义粗黎曼度量和粗曲率张量。虽然无法像黎曼几何那样定义精确的曲率，但粗几何允许定义粗截面曲率（Coarse Sectional Curvature），用于量化空间在远处是双曲的、欧几里得的还是椭圆的。 第三部分：高级应用与对偶性 本书的最后部分将理论应用于更高级的领域，特别是与函数空间、几何表示论和非交换几何的交叉点。 1. 谱粗几何： 作者将拉普拉斯算子的谱理论推广到粗几何背景下。在传统的几何中，特征值与体积或平均曲率有关。在粗几何中，特征值对应于空间的“固有频率”或宏观振荡模式。书中详细阐述了如何利用粗谱序列（Coarse Spectral Sequences）来估计低频特征值，这些估计值直接与空间的直径和平均扩张率相关。 2. 粗对偶性与柯西序列： 本书引入了一种深刻的对偶性概念，类比于庞加莱对偶性。对于一个具有良好边界行为（例如，可以被一个紧致空间粗化）的度量空间 $X$，存在一个“对偶空间” $X^$，它们之间的粗结构是相互关联的。这种对偶性在处理无限维希尔伯特空间（Hilbert Spaces）的几何性质时尤为强大。 3. 非交换空间的应用： 最后，书中探讨了如何利用粗几何的工具来研究非交换几何（Noncommutative Geometry）。具体的，通过将坐标代数（Coordinate Algebras）转化为粗李群的函数代数，粗几何为理解C-代数的结构提供了新的视角，特别是那些来源于几何动力系统的C-代数。这部分内容展示了粗几何在数学物理和拓扑动力学中的前沿应用。 总而言之，《Lectures on Coarse Geometry》是一部结构严谨、内容深邃的专业著作，它为研究不依赖于局部紧致性假设的几何结构和拓扑性质提供了全面的理论框架和强大的计算工具。它显著拓宽了现代几何学的研究疆界。

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