Pythagorean-Hodograph Curves pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Farouki, Rida T.

出品人:

页数:728

译者:

出版时间:

价格:$ 101.64

装帧:

isbn号码:9783540733973

丛书系列:

图书标签:

• Pythagorean-Hodograph curves
• Spline curves
• Geometric modeling
• Computer-aided design
• CAD
• Curve design
• Mathematics
• Computer graphics
• Numerical methods
• Polynomial curves

《几何的颂歌：曲线的优雅与应用》 引言：线条的交响与空间的叙事 本书是一部深入探索曲线理论、其数学本质及其在现代科学与工程领域广泛应用的专著。它并非对特定数学分支的僵硬综述，而是一场关于“形”与“变”的深刻对话。我们将以严谨的几何视角和直观的物理洞察力，剖析曲线如何承载信息、如何驱动运动，以及它们如何成为我们理解和塑造世界的强大工具。本书旨在为数学爱好者、几何学家、工程师以及任何对曲线之美与功能性充满好奇的读者，提供一套系统而富有启发性的知识框架。 第一部分：曲线的解析与拓扑基础 第一章：从欧几里得到微分几何的过渡 本章回顾了曲线研究的历史脉络，从古希腊对完美形态的追求，到解析几何的诞生，最终过渡到描述空间中弯曲路径的微分几何。我们将着重探讨参数化曲线的基本概念，包括曲线的向量表示、弧长、切线、法线以及曲率的定义。曲率作为衡量曲线弯曲程度的核心量度，将被赋予详尽的几何解释。 第二章：平坦空间中的拓扑不变量 本章将引入拓扑学的基本思想，探讨曲线在不依赖于具体嵌入空间度量下的内在属性。我们将分析曲线的连通性、紧致性，并深入讨论如高斯-布恩尼科夫斯基（Gauss-Bonnet）定理等关键的拓扑/几何联系定理，阐释曲线如何“记住”其自身的整体结构。重点内容包括曲线的自交点分析及其对全局行为的影响。 第三章：曲率的变分原理与极值问题 曲线的形态往往由某种“优化”原则所决定，例如最小化能量或最短路径。本章将运用变分法研究曲线族的性质。我们将探讨测地线（Geodesics）——测地线方程的推导及其在平面和曲面上的具体表现。此外，我们还将考察等周问题（Isoperimetric Problems）的离散和连续形式，揭示为什么特定形状的曲线在特定约束下表现出最优性。 第二部分：曲线的构造与控制 第四章：样条曲线与计算机辅助设计（CAD） 在现代工程实践中，对光滑、可控的曲线进行精确描述至关重要。本章聚焦于样条曲线家族，特别是贝塞尔（Bézier）曲线和B样条（B-Splines）。我们将详细剖析这些曲线的局部控制性、仿射不变性以及它们如何通过调整控制点实现对复杂形状的灵活塑形。曲线的求值算法和计算效率也将被纳入讨论。 第五章：插值与逼近的艺术 本章处理如何使用有限的数据点来精确（插值）或近似（逼近）地构造出符合特定光滑度要求的曲线。我们将比较拉格朗日插值、牛顿多项式以及更鲁棒的样条插值方法（如三次样条）。重点讨论误差分析和Runge现象，以指导读者在实践中选择最合适的构造方法。 第六章：曲线的动力学表示与运动规划 曲线不仅是静态的几何对象，它们还是描述物体运动轨迹的蓝图。本章将曲线的参数化与时间变量相结合，探讨速度、加速度和角速度等动态属性。我们将应用经典力学原理，研究如何设计具有特定动力学约束（如最大曲率变化率或最小时间行驶）的路径，这对于机器人学和自动驾驶路径规划具有直接意义。 第三部分：高维空间与特殊曲线类 第七章：空间曲线的曲率与挠率 当曲线从平面扩展到三维空间时，除了曲率，挠率（Torsion）成为描述曲线“扭曲”程度的关键新概念。本章将深入研究弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式组，该公式组完整地描述了空间曲线的局部几何行为。我们还将分析螺旋线（Helices）等经典空间曲线的特性。 第八章：微分几何中的曲率流 曲率流是一种强大的演化方程，它描述了曲线如何根据其自身曲率进行时间上的动态变化。本章将介绍平均曲率流（Mean Curvature Flow）及其在几何分析中的应用。我们将探讨这些演化过程如何趋向于更“简单”或更稳定的构型，以及它们在表面演化和形态稳定化中的作用。 第九章：离散曲线与数值方法 在计算机模拟和离散数据处理中，我们常常需要处理由有限段线段近似而成的离散曲线。本章探讨了将连续曲线概念推广到离散结构的方法。我们将讨论离散曲率的定义、离散微分算子的构造，以及有限元法在求解曲线相关偏微分方程中的应用。这部分内容强调了理论与实际计算之间的桥梁。 结论：未尽的探索 本书的探讨旨在揭示曲线作为连接抽象数学结构与具体物理现实的强大纽带。从基础的拓扑性质到复杂的动力学演化，曲线的几何语言是理解我们周围世界的根本工具之一。我们期望读者能够带着对线条精确性的深刻理解，去探索更多未被本篇幅完全覆盖的领域，例如代数曲线、奇异点理论，以及它们在更高维度流形上的精妙表现。曲线的几何世界，广阔而永恒，等待着新的发现和应用。

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