Practical Problems in Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Chasan, Robert

出品人:

页数:240

译者:

出版时间:2008-3

价格:450.00元

装帧:

isbn号码:9781418042295

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《高等代数精要与应用》：现代数学体系的坚实基石 本书简介 《高等代数精要与应用》旨在为学习者提供一个既严谨又富有洞察力的高等代数知识体系。本书深度聚焦于线性代数、群论、环论和域论的核心概念、基本定理及其在现代科学和工程领域的广泛应用。我们力求在保持数学纯粹性的同时，展现高等代数作为连接抽象理论与具体问题的强大工具的本质。 本书结构清晰，内容组织层层递进，从基础的向量空间概念出发，逐步深入到特征值、特征向量、相似理论，再到抽象代数中至关重要的结构——群的定义、同态、同构及其在对称性分析中的作用。最后，本书将探讨环与域的结构，为学习者理解抽象代数的高级分支（如代数几何和数论）打下坚实的基础。 第一部分：线性代数基础与几何直观 本书的第一部分着重于构建清晰的线性代数图像，强调几何直觉与代数操作的结合。 第一章：向量空间与线性无关性 本章始于对向量空间的严格定义，详细阐述了域（Field）的概念及其在代数结构中的角色。我们探讨了子空间、线性组合、跨越（Span）的概念，并对线性无关性、基（Basis）和维数（Dimension）进行了深入的讨论。特别关注有限维向量空间的基本定理，如维数定理。为了增强理解，本章引入了欧几里得空间和内积空间的概念，探讨了施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，并将其应用于几何投影和最小二乘近似的初步介绍。 第二章：线性变换与矩阵表示 线性变换是连接不同向量空间之间的桥梁。本章深入研究线性变换的性质，包括核（Kernel）和像（Image）的概念及其与秩-零化度定理的关系。重点放在矩阵表示上：如何选择不同的基向量会如何影响矩阵的表达形式。我们详细分析了相似矩阵的概念，并阐述了这种相似性在坐标变换中的重要性。矩阵的秩、行列式（作为一种衡量线性变换对体积缩放的代数工具）的计算和性质被系统梳理，特别是行列式在判断线性系统解的唯一性中的关键作用。 第三章：特征值问题与对角化 特征值和特征向量是分析线性系统动态行为的核心工具。本章详细介绍了特征多项式、特征值的计算方法以及特征空间的求解。随后，我们深入探讨了相似对角化的条件，包括可对角化矩阵的充要条件。对于不可对角化的情况，本章引入了若尔当（Jordan）标准型的概念，详尽解释了如何通过若尔当块来系统地表示任意线性算子，这对于求解高阶常微分方程组具有不可替代的价值。此外，对于实对称矩阵，本章证明了谱定理，并展示了正交相似变换在将二次型化为标准型中的应用。 第二部分：抽象代数的核心结构 第二部分转向更抽象的代数结构，这是现代数学思想的精髓所在。 第四章：群论基础 本章从集合上的二元运算出发，严格定义了群的四个公理。我们考察了常见的群实例，如整数加法群、非零有理数乘法群、以及对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$。循环群、子群、陪集（Cosets）的概念被清晰界定。拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）作为群论的里程碑式成果，被细致证明，并由此引出子群的指数和阶的概念。群同态和同构被引入，用以比较不同群之间的结构相似性。我们随后深入探讨了正规子群（Normal Subgroups）和商群（Quotient Groups）的构造，并证明了第一同构定理，这是理解群结构分解的关键。最后，本章讨论了 $p$-群和Sylow定理，这是有限群结构分类的有力工具。 第五章：群的应用与结构分解 本章专注于应用和更复杂的群结构。我们讨论了作用在集合上的群（Group Actions）的概念，及其与轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）的关系，并证明了群作用的轨道-稳定子定理。这为Burnside引理和Polya计数定理的应用奠定了基础。在结构分解方面，本章详述了直积（Direct Products）和半直积（Semi-Direct Products）的构造，并以内部直积的形式来分析有限阿贝尔群的结构分类定理。 第六章：环论与理想 环是比群更复杂的代数结构，它拥有加法和乘法两种运算。本章定义了环、交换环、单位元等基本概念，并考察了诸如整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$ 等典型例子。重点在于理想（Ideals）的概念，它扮演着类似于群中正规子群的角色。本章详细探讨了主理想、素理想（Prime Ideals）和极大理想（Maximal Ideals）之间的关系，并证明了商环（Quotient Rings）的构造。同态定理在环论中的对应形式也被严格证明，从而揭示了环结构分解的深度。 第七章：整环、域与多项式环 本章集中于具有特殊性质的环。我们定义了整环（Integral Domains）和域（Fields），并探讨了域的特征（Characteristic）。无零因子性在保证乘法结构良好性方面的重要性被强调。随后，我们深入研究了多项式环 $F[x]$ 的性质，证明了它是一个欧几里得整环（Euclidean Domain），并据此推导出其具有唯一因式分解的性质（Unique Factorization Domain, UFD）。最后，本章讨论了域的扩张（Field Extensions）这一高级主题，为理解伽罗瓦理论（Galois Theory）的背景打下基础，特别是可分离扩张和正规扩张的初步概念。 本书特色 概念的清晰界定与严格证明： 每一条核心定理都附有详尽、逻辑严密的证明过程，确保学习者理解“为何如此”。 丰富的例题与习题： 每章末尾配备了大量的练习题，难度梯度合理，从基础计算到高阶证明均有覆盖，旨在巩固理论知识并培养解题能力。 理论的互联性： 明确展示了线性代数与抽象代数之间的内在联系，例如向量空间结构在群论和环论中的泛化体现。 适用的深度： 内容覆盖了标准的研究生入学考试（如GRE Subject Test in Mathematics或国内数学专业期末考试）的全部核心内容，同时为后续深入学习代数几何、拓扑学和数学物理提供了坚实的基础。 本书适合数学、物理、计算机科学、工程学等专业的高年级本科生和研究生作为教材或参考书使用。它不仅教授“如何做”，更引导读者思考“为什么如此”，从而真正掌握现代数学的思维方式。

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