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出版者:

作者:Borden, Robert S.

出品人:

页数:416

译者:

出版时间:1997-7

价格:$ 19.15

装帧:

isbn号码:9780486672908

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 高等数学
• 数学分析
• 实分析
• 函数
• 极限
• 连续性
• 微分
• 积分
• 序列与级数

《微分几何导论：从欧几里得空间到黎曼流形》 本书旨在为读者提供一个严谨而直观的微分几何基础，它聚焦于从经典欧几里得空间中的曲线与曲面理论出发，逐步过渡到更抽象的黎曼流形的概念和结构。本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，同时辅以丰富的几何直觉和应用实例，确保读者不仅掌握形式化的工具，更能理解背后的几何意义。 第一部分：欧几里得空间中的几何基础 本书的开端建立在读者对多变量微积分和线性代数已有扎实理解的基础上。我们首先细致地回顾和深化了 $mathbb{R}^n$ 空间中的基础概念，重点在于微分学在向量值函数上的推广。 第一章：曲线的微分几何 (Curves in $mathbb{R}^3$) 本章详细探讨了三维欧几里得空间中曲线的局部性质。我们引入参数化曲线的概念，并定义了弧长参数化，这是进行内在几何研究的关键步骤。 1.1 运动标架（Frenet-Serret Frame）： 深入分析了切向量、主法向量和副法向量构成的Frenet标架。通过严格的微分方程组——Frenet-Serret 公式，我们将曲线的局部几何特性（曲率 $kappa$ 和挠率 $ au$）与标架的瞬时变化联系起来。本节将详尽推导这些公式，并探讨其在空间曲线形状分析中的应用。 1.2 曲线的等距变换： 讨论了在 $mathbb{R}^3$ 中保持曲线距离不变的变换（刚体运动）。利用Frenet标架的稳定性，我们证明了只要曲率和挠率在对应点上相同，两条曲线之间就存在一个局部等距映射，这是“局部等距”概念的经典体现。 1.3 应用实例： 引入了螺旋线和圆锥曲线的例子，展示如何运用曲率和挠率来精确描述它们的形状特征。同时，探讨了在物理学中，如粒子运动轨迹分析中， Frenet 标架的实际意义。 第二章：曲面的微分几何 (Surfaces in $mathbb{R}^3$) 本章将研究 $mathbb{R}^3$ 中的二维曲面。我们将从曲面的参数化表示出发，系统地建立描述曲面几何性质的工具。 2.1 曲面的参数化与第一基本形式： 定义了浸入 $mathbb{R}^3$ 的曲面 $S$。关键在于引入第一基本形式 $I = E du^2 + 2F du dv + G dv^2$。我们将详细推导 $E, F, G$ 分别是如何通过曲面在 $mathbb{R}^3$ 中的坐标表示和第一类结构张量（度量张量）定义的。第一基本形式是曲面内在几何研究的基石，它允许我们计算曲面上的长度、角度和面积，而无需提及曲面在外部空间中的嵌入方式。 2.2 法曲率与第二基本形式： 为了研究曲面如何“弯曲”于 $mathbb{R}^3$ 中，我们引入了法向量场。随后，定义了第二基本形式 $II = L du^2 + 2M du dv + N dv^2$，它描述了曲面法向量的变化率。我们将详细推导 $L, M, N$ 与曲面曲率的关系。 2.3 主曲率与主方向： 通过分析一个关键的特征方程，我们定义了主曲率 $kappa_1$ 和 $kappa_2$。这些值代表了曲面在特定方向上的最大和最小法曲率。本节将深入探讨高斯曲率 $K = kappa_1 kappa_2$ 和平均曲率 $H = frac{kappa_1 + kappa_2}{2}$ 的几何解释。 2.4 著名的定理： 重点阐述 高斯绝妙定理 (Theorema Egregium)。我们将提供严格的证明，说明高斯曲率 $K$ 仅依赖于第一基本形式的系数 $E, F, G$ 及其导数，从而成为一个内在不变量。这标志着从外在几何（依赖于 $mathbb{R}^3$ 嵌入）向内在几何的范式转变。 2.5 等度规曲面与极小曲面： 基于高斯曲率的内在性，我们研究了等度规（平坦）曲面（$K=0$）和极小曲面（$H=0$）的几何特性，并给出了寻常的例子，如平面、圆柱、悬链面等。 第二部分：流形的抽象概念与张量分析 在掌握了欧几里得空间中曲线曲面的局部几何后，本书进入更为抽象的微分几何领域，为更高级的理论（如黎曼几何）打下必要的数学工具基础。 第三章：流形的基础结构 (Manifolds and Tangent Spaces) 本章将流形的概念从 $mathbb{R}^n$ 推广到更一般的拓扑空间。 3.1 拓扑预备与流形定义： 回顾紧凑性、连通性和分离性等拓扑概念。然后，严格定义光滑 $n$ 维流形：一个拓扑空间 $M$，其上配备了卡 $（U_{alpha}, phi_{alpha}）$ 的集合，使得转移映射 $phi_{eta} circ phi_{alpha}^{-1}$ 是光滑的。 3.2 局部坐标与切空间： 解释了流形上的坐标图如何允许我们使用 $mathbb{R}^n$ 的微积分工具。关键是引入切空间 $T_p M$。我们将其定义为所有通过点 $p$ 的曲线的切向量构成的向量空间。我们将证明 $T_p M$ 的维数等于流形的维数 $n$，并展示如何通过坐标图来“具体化”这个抽象空间。 3.3 向量场与光滑函数： 定义了流形上的光滑函数和向量场。向量场被视为作用于光滑函数上的线性算子（导数算子）。我们将在不同的坐标卡之间推导向量场分量的转换律，强调其张量性质。 第四章：张量分析与微分形式 本章侧重于构建描述流形上几何结构所需的代数工具。 4.1 张量的概念与运算： 严格定义了 $(k, l)$ 张量作为多重线性函数。我们将张量分解为协变张量（余切空间上的线性函数）和反变张量（切空间上的线性函数）。详细讨论了指标提升与下降操作，以及张量场的坐标变换规则。 4.2 联络与共变导数 (Covariant Derivative)： 这是从平坦空间到弯曲空间的关键桥梁。我们认识到，在弯曲流形上，不同点的向量不能直接进行加法或比较。因此，引入联络 $ abla$ 来定义向量场的共变导数 $ abla_X Y$，它是一个满足特定性质的张量。 4.3 经典联络的恢复： 对于嵌入 $mathbb{R}^n$ 的曲面，我们将共变导数与第二基本形式联系起来，展示我们之前定义的法曲率计算如何自然地嵌入到共变导数的框架中。特别是，我们将阐述 Levi-Civita 联络的唯一性（基于度量张量 $g$ 的正交性和无挠性）。 4.4 微分形式与外微分： 引入微分 $k$ 形式 $omega$（即 $(0, k)$ 型张量场），它是 $Lambda^k(T_p^ M)$ 上的截面。重点讨论外微分算子 $d$，它将 $k$ 形式映射到 $(k+1)$ 形式。我们将展示 $d$ 算子如何推广了传统的梯度、旋度和散度，并严格验证 $d^2 = 0$ 的恒等式。 4.5 积分与黎曼积分： 简要介绍如何在流形上对微分形式进行积分，从而引入体积元和通量，为后续的广义斯托克斯定理做好铺垫。 第五章：黎曼几何的起点 在掌握了流形、切空间和共变导数之后，本书的最后一部分开始构建黎曼几何的框架。 5.1 黎曼度量 (Riemannian Metric)： 定义黎曼度量 $g$ 为一个光滑的、正定的、对称的 $(0, 2)$ 张量场。我们将展示 $g$ 如何诱导出切空间上的内积，从而赋予流形上每一点一个“局部欧几里得”结构。度量张量 $g_{ij}$ 构成了局部坐标系下的第一基本形式的推广。 5.2 测地线方程： 利用 Levi-Civita 联络和黎曼度量，我们定义了测地线——“两点间的最短路径的推广”。我们将推导出测地线方程，这是一个二阶常微分方程，其系数由克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）决定，而这些符号完全由度量张量及其一阶导数确定。 5.3 几何不变式的引入： 基于黎曼度量和 Levi-Civita 联络，我们引入了黎曼几何中最重要的不变量：黎曼曲率张量 $R_{ijk}^{ l}$。我们将详细推导其定义，并说明它如何量化了流形弯曲的程度，以及它与高斯绝妙定理中定义的曲率的关系。 结论： 本书的结构旨在引导读者从具体的、可视化的三维空间几何，逐步抽象到研究内在几何性质的流形理论。通过严谨的分析工具，特别是张量和微分形式，读者将能够理解和掌握现代微分几何的核心概念，为进一步深入学习广义相对论、拓扑学或纯粹的几何学打下坚实的基础。 --- 目标读者： 数学、理论物理学（如广义相对论预备知识）、工程学高年级本科生及研究生。 所需先修课程： 多变量微积分、线性代数、基础拓扑学（可选，但强烈推荐）。

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