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出版者:Dover Publications

作者:Erwin Kreyszig

出品人:

页数:366

译者:

出版时间:1991-6

价格:USD 14.95

装帧:Pap

isbn号码:9780486667218

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《微分几何》的详尽导读 本书《微分几何》是一扇通往迷人几何世界的大门，它以严谨的数学语言描绘了曲面、曲线以及更高级的几何形体的内在结构和性质。本书旨在为读者提供一个坚实的基础，使他们能够理解和掌握现代数学和物理学中大量应用的几何概念。 本书核心内容概览： 本书的起点是曲线论，这是微分几何的基石。我们将从欧几里得空间中的曲线出发，学习如何描述其形状——曲率和挠率，以及它们如何决定曲线的弯曲和扭转程度。我们会深入探讨参数方程、切向量、法向量、曲率向量等基本工具，并研究诸如扭摆线、螺旋线等经典曲线的几何特性。更进一步，本书将引导读者进入曲面论的殿堂。在这里，我们关注的是三维空间中“光滑”表面的几何性质，而这些性质与其嵌入方式无关，仅取决于其自身的内在结构。 内在几何的探索： 本书的核心思想之一便是“内在几何”。这意味着我们关注的是曲面本身固有的性质，例如测地线——曲面上两点之间“最短”路径的概念，以及高斯曲率——衡量曲面在某一点如何弯曲的指标。高斯曲率尤其重要，它揭示了曲面在局部是像球面一样向外凸起，还是像马鞍面一样既凸起又凹陷。我们将通过高斯映射、第一基本形式和第二基本形式来量化这些性质。第一基本形式允许我们度量曲面上的长度和面积，而第二基本形式则捕捉了曲面如何嵌入到外部空间中。 联系与桥梁： 本书将清晰地阐述高斯方程和Codazzi方程。高斯方程直接将曲面的高斯曲率与第一基本形式的系数联系起来，揭示了曲面的内在几何与其可度量性之间的深刻关系。Codazzi方程则建立了第二基本形式系数之间的联系，并表明这些系数与第一基本形式的系数之间存在着一种特殊的协调性。这些方程是曲面论的支柱，它们的重要性在于，在一定条件下，它们能够完全确定一个曲面的形状。 微分几何的语言： 为了深入研究，本书会引入微分形式和流形的概念。微分形式提供了一种强大而统一的语言来处理曲面上的积分、度量和微分运算。读者将学习到外微分、内乘、拉普拉斯算子等概念，以及它们在几何中的应用。流形是本书更进一步的升华，它将微分几何的概念推广到了更高维度，并脱离了对嵌入空间的依赖。本书将介绍切空间、张量场、联络等核心概念，这些是理解黎曼流形及其几何性质的必备工具。 核心概念的展开： 度量张量： 在流形上，度量张量扮演着决定性的角色，它允许我们在切空间中度量向量的长度，并计算流形上任意两个向量之间的内积。这为定义测地线、曲率等概念提供了基础。 联络： 联络允许我们在流形上“平行移动”向量，这对于定义协变导数、曲率张量以及理解向量场如何随流形变化至关重要。 曲率张量： 这是黎曼流形的核心不变量，它量化了流形在不同方向上的弯曲程度。曲率张量蕴含了关于流形几何的丰富信息，例如截面曲率、Ricci曲率和标量曲率。 测地线方程： 基于联络，我们将推导出测地线方程，并探讨其性质，如唯一性、存在性以及与流形几何的关系。 理论与应用的连接： 本书不仅注重理论的严谨性，还力求展现微分几何在其他学科中的广泛应用。我们将触及广义相对论中时空的几何描述，其中引力被看作是时空几何的弯曲。同时，在微分拓扑、复几何以及微分方程等领域，本书介绍的工具和思想也扮演着关键角色。 学习目标： 通过学习本书，读者将能够： 掌握描述和分析曲线与曲面几何性质的基本工具。 理解并运用内在几何的概念，摆脱对嵌入空间的依赖。 熟练掌握微分形式和张量分析，为更高级的数学学习打下基础。 理解黎曼流形的定义及其关键几何不变量，如曲率张量。 初步领略微分几何在现代物理学（如广义相对论）中的重要应用。 本书是一次深入探索数学之美和空间结构的旅程，它将开启你对几何学更深刻的理解和欣赏。

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这本关于**拓扑学**的经典著作，简直是对“空间”概念的终极解构与重塑。作者的笔调极为严谨，但又带着一种对抽象美学的执着追求。它从点集拓扑的严格基础开始，毫不含糊地建立了开集、闭集、紧致性以及连通性的定义体系。我反复品读了关于Urysohn引理和Tietze扩展定理的部分，其证明过程充满了数学家特有的优雅和力量感。这本书的价值在于，它迫使你跳出欧几里得空间的直观限制，去思考事物本质的连接方式。与市面上许多侧重于代数拓扑的教材不同，本书对一般拓扑空间的深挖，为理解流形和微分几何（我猜想，因为我没读过那方面的书）打下了无法动摇的基础。阅读它需要极大的耐心和心智上的投入，但一旦掌握，你对“邻域”和“连续性”的理解将彻底被提升到一个新的维度，感觉就像获得了看透宇宙结构的新视角。

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这本关于**泛函分析**的著作，简直是数学爱好者心中的一座灯塔。作者以极其清晰的笔触，层层递进地构建了泛函分析的宏伟殿堂。开篇对赋范线性空间的讨论扎实而细致，每一个定义和引理都如同精心雕琢的宝石，闪耀着逻辑的光芒。我尤其欣赏作者在处理巴拿克空间的完备性时所展现的洞察力，那种将抽象概念具象化的能力，让原本枯燥的证明过程变得引人入胜。书中穿插的许多经典例子，比如 $L^p$ 空间和索伯列夫空间（虽然侧重于理论基础而非应用），极大地拓宽了读者的视野。对于想要深入理解算子理论和变分法基础的读者来说，这本书无疑是不可或缺的指南。读完前三章，我感觉自己对无限维空间的几何直觉有了质的飞跃，那种驾驭无穷的掌控感令人振奋。唯一美中不足的或许是某些证明的跳跃性略大，对于初学者而言，可能需要反复研读才能完全消化其中的深意。

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我不得不称赞这本**量子场论**的参考书，它在处理路径积分表述方面展现出了无与伦比的清晰度。通常，场论书籍在引入路径积分时总会因为数学的复杂性而显得晦涩难懂，但这本却巧妙地通过一些启发性的类比和渐进式的推导，将费曼的思想脉络清晰地勾勒了出来。作者对于规范场论的引入更是精妙，从拉格朗日量的一般性要求出发，逐步过渡到杨-米尔斯理论的构建，每一步都充满了逻辑上的必然性，而不是生硬的“假设”。对于非初学者，书中关于重整化群的介绍也颇具洞见，它不仅仅是关于“如何消除无穷大”，更是关于“物理尺度下理论的演变”。虽然这本书的数学背景要求较高，但对于那些渴望真正理解标准模型背后数学框架的进阶学习者来说，它提供了一个坚实而富有启发性的路径，远超一般课程的教学深度。

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对于**计算物理学**的入门者来说，这本教材简直是为我们量身定制的宝典。它避开了纯粹的数学推导的泥潭，转而聚焦于如何将物理模型转化为可执行的数值算法。书中对有限差分法的介绍详尽到令人发指的地步，无论是对热传导方程还是波动方程的离散化处理，作者都清晰地指出了稳定性和收敛性的关键考量点。我个人对其中关于蒙特卡洛方法的章节印象最为深刻，它不仅仅罗列了算法，还深入探讨了伪随机数的生成质量对结果精度的影响，这一点在实际模拟中至关重要。更难能可贵的是，书中大量的C++代码示例不仅清晰易懂，而且结构合理，可以直接用于工程实践。这本书的实用性毋庸置疑，它成功地架起了理论物理与高性能计算之间的鸿沟，让复杂的物理现象变得触手可及，真正实现了“计算出智慧”。

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我最近沉迷于**数理统计**的这本教材，它以一种近乎艺术性的方式阐释了概率论和统计推断之间的桥梁。这本书的叙事风格非常流畅，它没有一上来就抛出复杂的公式，而是从实际问题出发，引导读者自然而然地接触到大数定律、中心极限定理这些核心概念。作者对于似然函数的构建和最大似然估计（MLE）的推导，简直是教科书级别的示范——逻辑严密，推导过程毫无遗漏，每一步都像是精确校准的齿轮在咬合。书中关于假设检验的章节尤其精彩，作者引入了Neyman-Pearson引理的几何解释，使得“拒绝域”的概念不再是僵硬的规则，而是一种最优选择的体现。我花了整整一个周末来琢磨如何从几何上理解功效函数的概念，这本书提供了我所见过的最佳解释。对于那些希望不仅停留在“会计算”的层面，更渴望理解统计推断“为什么有效”的读者，这本书的深度和广度都令人赞叹。

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"不知所云，十分无语"

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有习题有答案。。。。一本十刀的书 what more could I ask for

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