Lower Central and Dimension Series of Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Passi, Inder Bir Singh

出品人:

页数:346

译者:

出版时间:

价格:$ 90.34

装帧:

isbn号码:9783540858171

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• 群论
• 代数拓扑
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• 群表示
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• 代数结构
• 抽象代数

纯粹代数结构：群论的深度探索与应用 一本关于代数系统、对称性与结构性分析的权威著作 本书旨在为代数结构的研究者、高级数学专业的学生以及对抽象数学有浓厚兴趣的读者，提供一套全面、严谨且富有洞察力的群论分析工具。我们聚焦于群（Group）这一核心代数概念，并将其从基础定义推向更深层次的结构剖析、分类理论以及其在不同数学分支中的关键作用。本书并非对特定系列或维度进行划分的描述，而是致力于描绘群的内在一致性、拓扑联系以及抽象代数领域中的普遍规律。 第一部分：群论的基石与基础结构 本部分构建了读者理解复杂群论概念所需的坚实基础。我们首先从群的公理化定义出发，详细阐述了封闭性、结合律、单位元和逆元这四大要素的严格含义及其在具体数学对象中（如整数加法群、非零有理数乘法群）的体现。 1.1 基础概念的深化： 我们不仅定义了子群（Subgroup）、陪集（Coset）和左/右不变性，更深入探讨了这些概念如何构建起群的内部层次。拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）的证明及其在有限群阶数分析中的必然性被细致分解。 1.2 同态与同构： 映射在群论中的地位至关重要。本章详细区分了同态（Homomorphism）与同构（Isomorphism），强调了同构如何揭示不同看似迥异的群在结构上的等价性。核（Kernel）和像（Image）作为衡量映射“破坏”程度的关键指标，被赋予了深刻的分析。我们引入了第一同构定理（First Isomorphism Theorem），将其视为连接商群与像群的桥梁。 1.3 规范子群与商群的构造： 规范子群（Normal Subgroup）的判定标准被详尽阐述，并解释了为何它们是构造商群（Quotient Group）的唯一可行途径。商群的结构分析是理解“模去”特定对称性的结果，这对于理解因式分解和模运算至关重要。 第二部分：群的分类与结构分解 本部分将目光投向如何对有限群进行系统性的分解和识别，这是抽象代数的核心目标之一。我们关注那些能够将复杂群分解为更简单、更易处理的构件的定理。 2.1 充分可解群与简单群： 我们深入研究了正规列（Normal Series）的概念，并引入了充分可解群（Solvable Group）的定义。这直接导向了简单群（Simple Group）的研究，简单群被视为群论中的“素数”，是所有群的不可再分的基石。本部分将提供对非阿贝尔简单群（Non-Abelian Simple Groups）的结构概述，暗示了这些结构在分类问题中的极端重要性。 2.2 直积与半直积： 对于由两个子群直接组合而成的群，直积（Direct Product）提供了一种清晰的结构描述。然而，更具普遍性的是半直积（Semidirect Product），它允许一个子群对另一个子群施加“外部”作用。我们将详细分析半直积的构造条件，并展示如何使用它们来明确描述许多重要的群，例如二面体群（Dihedral Groups）的构成。 2.3 Sylow 定理的威力： Sylow 定理是有限群理论的支柱。本章将提供这三个关键定理的完整证明，并展示它们如何保证高阶素数幂的子群的存在性。我们将运用 Sylow 定理来确定特定阶数群的可能性结构，例如，如何利用它们来证明所有阶数为 $p^2$ 的群（$p$ 为素数）都是阿贝尔群。 第三部分：群作用与应用视角 本部分超越了纯粹的代数结构本身，探讨了群如何“作用”于集合，以及这种作用如何揭示集合的内在几何或组合结构。 3.1 群作用的动力学： 群作用（Group Action）的定义及其在集合上的等价关系——轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）——被详细分析。我们推导出了轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem），这是一个将群的阶、轨道的长短与稳定子的阶数联系起来的强大工具。 3.2 Burnside 计数引理： 基于群作用的概念，我们引入了 Burnside 引理（或称 Cauchy–Frobenius 引理），该引理是组合计数领域（尤其是在计数具有对称性的对象时，如着色问题）的决定性工具。我们将通过实际的例子，展示如何利用固定点（Fixed Points）的数量来精确计算不同本质的排列总数。 3.3 矩阵群与线性代数关联： 群论与线性代数的交集构成了矩阵群（Matrix Groups）。本章专注于一般线性群 $ ext{GL}(n, F)$、特殊线性群 $ ext{SL}(n, F)$ 等经典矩阵群。我们探讨了这些群的子群结构，例如正交群（Orthogonal Groups）和酉群（Unitary Groups），它们在几何变换和量子力学中扮演着基础角色。这些群的结构往往与其基础域（Field）的性质紧密相关。 第四部分：群论的拓展与拓扑联系 本部分开始触及更高级的主题，探索群论如何与其他数学领域连接，特别是与拓扑学和更一般的代数结构（如环与域）的交叉点。 4.1 生成元与表示法： 我们探讨如何用最小的元素集合来“生成”整个群，即生成元（Generators）。自由群（Free Group）作为最不加限制的群结构，被用作研究生成与关系（Relations）的起点。通过展示如何从生成元和关系出发构造出特定群的表示（Presentation），我们为群的描述提供了一种简洁的语言。 4.2 有限生成群的局限性： 虽然本书的核心关注点是结构分析，但本章会简要提及无限群的复杂性。我们将讨论如何识别和区分某些重要的无限群，例如离散群与连续群之间的界限，以及某些特定无限群（如自由群）的独特性质。 4.3 群与环论的桥梁： 群论是研究环和域的理想前导知识。本章将回顾群论在环论中的应用，特别是单位群（Group of Units）在环结构分析中的作用，以及伽罗瓦群（Galois Group）在域扩张理论中对根式解的决定性影响。 本书力求严谨性与启发性并重，旨在为读者提供一个坚不可摧的群论知识体系，使其能够自信地应对高级代数、几何、拓扑或理论物理中的结构性挑战。

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