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出版者:W. H. Freeman

作者:Jerrold E. Marsden

出品人:

页数:533

译者:

出版时间:1993-03-15

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780716724438

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 多元微积分
• 数学
• 高等数学
• Calculus
• Multivariable Calculus
• 数学分析
• 工程数学
• 理工科
• 教材

好的，这是一份针对一本假定的、与《Basic Multivariable Calculus》内容不冲突的、独立数学著作的详细简介。为确保内容的丰富性和专业性，我们将围绕高等数学的一个相关但不同的分支展开，例如《Complex Analysis and its Applications in Physics》。 --- 《复分析及其在物理学中的应用》（Complex Analysis and its Applications in Physics） 书籍概览与定位 《复分析及其在物理学中的应用》是一本深度聚焦于复变函数理论（Complex Variable Theory）及其在现代物理学中核心应用的高级教材与参考书。本书旨在为数学、理论物理学、工程物理学以及高年级本科生和研究生提供一个严谨的理论框架，并辅以大量来自电磁学、流体力学、量子场论和弦理论的实例。本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，同时强调几何直观与解析工具的完美结合。 本书并非对多元微积分的简单延伸，而是深入探索了复数域上函数的特殊性质——全纯性（Holomorphicity）或解析性（Analyticity）——如何提供远超实变量分析的强大工具。 第一部分：复数域与解析函数的奠基 本书的前半部分专注于构建复分析的理论基础，确保读者对复数系统具有深刻的理解，并掌握解析函数的本质特征。 第一章：复数域的几何与代数结构 本章首先回顾了复数的基本代数运算，并深入探讨了复平面的几何解释（如莫比乌斯变换）。重点讲解了复数的极坐标表示、欧拉公式的深刻含义，以及复数域 $mathbb{C}$ 作为二维实向量空间 $mathbb{R}^2$ 的代数扩展，同时强调了 $mathbb{C}$ 上的乘法结构比 $mathbb{R}$ 上的乘法结构更加“完备”和“旋转友好”。 第二章：复变函数与极限、连续性 本章介绍了复变函数 $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$ 的概念。与实函数不同，复函数的连续性需要更强的条件。本章详细分析了复数域上的极限、路径依赖性（或路径无关性），并为下一章的微分概念做铺垫。 第三章：解析函数的本质：柯西-黎曼方程 这是本书理论核心的起点。本章详尽推导了复函数可微（解析）的充要条件——柯西-黎曼（Cauchy-Riemann, C-R）偏微分方程组。我们不仅求解了 C-R 方程，还深入讨论了如果一个函数在某区域满足 C-R 方程，它必然是无限次可微的这一“奇迹”性质，并引入了调和函数（Harmonic Functions）的概念，展示了它们在物理学（如静电势）中的直接关联。 第四章：复积分与柯西积分定理 本章将分析的工具提升到积分层面。首先定义了沿路径的复线积分，并讨论了其路径无关性与保守场的关系。随后，本书建立了复分析中最核心的定理之一：柯西积分定理（Cauchy’s Integral Theorem）。本章通过构造性证明展示了封闭区域上解析函数的线积分恒为零的深刻几何意义。 第五章：柯西积分公式与解析函数的幂级数表示 柯西积分公式是复分析的“核武器”。本章详细推导了此公式，并利用它证明了解析函数可以被完全展开为泰勒级数（幂级数），并可以逐项求导。这与实分析中函数的全局光滑性要求截然不同，再次突显了解析性的强大约束力。 第二部分：奇点、留数与应用 本书的后半部分转向了处理函数在“非良态”点上的行为，以及如何利用这些工具解决复杂的积分问题和物理模型。 第六章：孤立奇点与洛朗级数 本章处理函数在定义域内不可解析的点——奇点。我们区分了三类孤立奇点：可去奇点、极点和本质奇点。核心内容是洛朗级数（Laurent Series）的展开，它允许我们在奇点附近表示函数，并揭示了奇点处的局部结构。 第七章：留数定理与复平面上的积分计算 留数（Residue）是函数在极点处的“残余”信息。本章定义了留数的计算方法，并构建了复分析中最强大的积分工具——留数定理（Residue Theorem）。本书随后利用此定理系统地计算了大量在实分析中极其困难的定积分，包括： 1. 涉及三角函数的定积分（如 $int_0^{2pi} R(cos heta, sin heta) d heta$）。 2. 涉及瑕疵积分（Improper Integrals）的计算，特别是使用半圆形或矩形闭合路径的技巧。 第八章：共形映射与几何意义 本章回归几何直觉，探讨解析函数如何充当共形映射（Conformal Mappings）。共形映射保持了曲线的局部角度，是理解物理场形变的有力工具。重点分析了莫比乌斯变换（Möbius Transformations）作为共形映射在黎曼球上的作用，以及巴赫（Schwarz-Christoffel）变换在处理物理边界问题中的应用。 第三部分：物理学中的核心应用 最后一部分将理论与实践紧密结合，展示复分析在物理学中的不可替代性。 第九章：电磁场与流体力学的势论 本章专门探讨调和函数在二维静电场和不可压缩、无旋流体流动中的应用。利用复势函数 $Phi(z) = phi(x, y) + i psi(x, y)$，其中 $phi$ 是电势或速度势，$psi$ 是磁流函数或速度流函数。通过 C-R 方程，我们保证了 $phi$ 和 $psi$ 同时满足拉普拉斯方程，从而简化了边界值问题的求解。 第十-十一章：高级应用：量子力学与散射理论 在量子力学中，复分析是理解散射振幅和微分散射截面的基础。第十章介绍了解析延拓（Analytic Continuation）的概念，以及其在连接不同物理区域的重要性。第十一章则深入到当代物理：利用留数定理计算费曼图中的虚部（例如，涉及传播子的积分），并初步探讨了S矩阵的解析性质，为理解粒子的衰变和稳定性提供了数学框架。 --- 本书特色 1. 严格性与直观性并重： 理论推导严谨，同时配有大量的几何图示和物理情景来增强读者的直观理解。 2. 物理驱动： 所有理论工具的引入都紧密围绕着一个具体的物理问题（如静电场的二维解、翼型绕流等）。 3. 详尽的积分实例： 包含超过一百个详尽计算的定积分示例，是工程和物理计算的宝贵资源库。 4. 现代性： 包含了对共形映射在物理建模中应用的专门讨论，而非仅仅停留在数学理论的展示。 本书适合作为高等数学物理方向、理论物理学研究方向的指定教材，对于希望将数学工具应用于解决真实世界复杂问题的工程师和研究人员，也是一本不可或缺的工具书。

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我之前用过几本不同的微积分教材，它们大多要么过于侧重于工程应用而牺牲了理论的严谨性，要么就是理论推导过于晦涩，让学习过程充满了挫败感。这本书的平衡感做得非常到位。它在保持数学严谨性的同时，也为实际应用留出了足够的空间。举个例子，在讲解拉格朗日乘数法时，作者不仅给出了详细的代数证明，还用了一个关于资源最优分配的经济学模型来实际演示如何运用这一工具来求解带约束条件的极值问题。这种“理论先行，应用佐证”的模式，让我能够清晰地看到每一步数学操作的意义所在。更值得称赞的是，这本书对“极限”这个微积分的基石概念的处理方式，既没有像某些初级教材那样一带而过，也没有陷入纯粹的 $epsilon-delta$ 语言的泥潭而让人望而却步。它通过巧妙的几何极限过程来培养读者的直觉，再辅以必要的分析论证，构建了一个既坚固又易于理解的理论基础。对于想深入理解微积分核心思想的研究生或者对数学有更高追求的本科生来说，这本书无疑是一个极佳的选择。

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老实说，我是一个对书本的阅读体验要求比较高的人，因为长时间面对密集的数学符号很容易产生视觉疲劳。这本书的装帧质量和纸张选择都相当出色，长时间阅读下来眼睛也不会感到特别酸涩。但更重要的是，其内容的组织结构极其符合人类的学习认知规律。作者在每一章节的开头都会设置一个“动机与目标”的概述，明确告诉你为什么要学习接下来的内容，以及学完之后能达到什么目标。这种清晰的目标导向性，极大地提高了我的学习效率。我发现，以前觉得晦涩难懂的曲面积分，在这本书里通过“表面上的通量”和“向量场在面上的积分”这两个角度反复强化，直到我完全掌握为止。此外，书中附带的一些“陷阱与常见错误”的提示栏非常实用，它们精准地指出了初学者最容易犯的逻辑错误，比如混淆了通量与环量的概念，或者在使用散度定理时错误地定义了积分区域的边界方向。这些细微之处的关照，体现了编者对教学实践的深刻理解，使得学习过程更加顺畅无阻，极大地减少了试错成本。

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这本书的封面设计简洁有力，蓝白相间的配色让人联想到清澈的天空和严谨的数学公式，但一翻开内页，我立刻被其中详尽的理论推导和丰富多样的例题深深吸引住了。作者在处理多变量函数这一复杂领域时，展现出了非凡的洞察力。他们没有简单地罗列定理，而是通过非常直观的几何图像来辅助解释偏导数、方向导数和梯度这些核心概念，这对于我这种更偏爱“视觉化”学习的人来说，简直是福音。特别是关于多重积分的部分，作者对坐标系转换的讲解极其细致，无论是圆柱坐标还是球坐标，每一步的变量替换都解释得清清楚楚，让我这个曾经在切换坐标系时感到头晕脑胀的读者，找到了清晰的路径。书中的习题难度梯度设置得非常合理，从基础的计算巩固到后面需要综合运用多个概念的综合题，循序渐进，保证了学习的连贯性和挑战性。我花了大量时间在那些“挑战极限”的习题上，它们确实能有效检验我对微积分深层原理的掌握程度，绝非市面上许多教材那种流于表面的题海战术可比拟。总而言之，这本书的结构编排和内容深度，完全符合一本优秀的高等数学教材应有的水准，它为我构建起了一个坚实的多变量分析知识体系的框架。

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拿到这本书时，我正处于一个对微积分感到非常沮丧的时期，感觉自己好像总是在公式的海洋里挣扎，对那些抽象的符号感到无从下手。然而，这本书的叙述风格简直像是一位经验丰富、耐心十足的导师在耳边细语。它最让我欣赏的一点是，它非常注重“为什么”而不是仅仅停留在“如何做”。比如，在阐述格林公式、斯托克斯公式以及散度定理这些看似深不可测的线面积分定理时，作者并没有直接抛出复杂的积分表达式，而是花费了大量的篇幅来解释这些定理背后的物理意义和几何直觉。他们巧妙地将向量场沿着曲线或曲面的积分过程，与流体运动、电磁场的概念联系起来，使得这些定理不再是冷冰冰的数学公式，而像是描述自然规律的有力工具。我特别喜欢书中穿插的一些历史性注解，比如某个重要概念是如何被发现和完善的，这极大地激发了我对数学史的兴趣，也让我对这些伟大的数学家们肃然起敬。这本书的排版清晰，注释详尽，即便是在处理像雅可比行列式这样需要极高精确度的计算时，错误率也几乎为零，这为我的自学过程提供了极大的信心保障。

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我借阅过很多不同版本的微积分教材，但很少有能像这本书一样，将“连续性”和“可微性”这两个核心概念在多变量环境下进行如此清晰而深入的探讨。作者没有将多元函数的链式法则视为一个需要死记硬背的公式集合，而是将其分解为一个个独立的、可追踪的路径导数，通过图示法清晰地展示了依赖关系。特别是在处理隐函数定理和反函数定理时，作者引入了线性近似的观点，将高维空间中的复杂非线性问题转化为线性代数中的易于处理的问题，这种跨学科的联系处理得非常自然且富有洞察力。书中对于“偏导数不连续导致不可微”这一反直觉现象的论证，尤其令人印象深刻。他们通过构造一个精心设计的反例，不仅证明了结论，更重要的是，解释了为什么仅有偏导数的存在性不足以保证函数的“平滑性”。这种对微积分深刻本质的挖掘，远远超越了基础的计算层面，它真正培养了读者分析问题的数学思维，这本书绝对是学术进阶的宝贵资源。

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